Отношения эквивалентности, порядка и доминирования

Для теории выбора особое значение среди всех бинарных отношений имеют отношения, которые соответствуют предпочтению одной альтернативы перед другой или случаю невозможности отдать предпочтение одной из двух альтернатив. Эти отношения можно задать через строго определяемые отношения эквивалентности, порядка и доминирования.

Для их определения нам понадобятся некоторые свойства отношений вообще*. Бинарное отношение R на множестве X называется:

рефлексивным, если xRx для каждого x Î X;

антирефлексивным, если x x " x Î X (т.е. R может выполняться только для несовпадающих элементов);

симметричным, если xRy Þ yRx " x, y Î X;

асимметричным, если xRy Þ y x " x, y Î X (ясно, что асимметричное отношение R антирефлексивно);

антисимметричным, если для всех x, y Î X (xRy, yRx) Þ x = y;

транзитивным, если для всех x, y, z Î X (xRy, yRz) Þ xRz;

отрицательно транзитивным, если отношение транзитивно;

сильно транзитивным, если отношение R одновременно транзитивно и отрицательно транзитивно.

Теперь можно охарактеризовать отношения, используемые в теории выбора.

Отношение R на множестве X называется отношением эквивалентности (обозначение ~), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Примеры отношений эквивалентности: “быть четным”, “иметь одинаковый остаток от деления на 3” – на множестве натуральных чисел; “быть одноклассниками” – на множестве учеников данной школы; “быть подобными” – на множестве многоугольников. Задание отношения эквивалентности равносильно разбиению множества X на непересекающиеся классы ( при i ≠ j) эквивалентных элементов: x ~ y тогда и только тогда, когда x, y Î X_i (т.е. если x и y принадлежат одному классу эквивалентности).

Отношением нестрогого порядка (обозначение £ ) называется рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение. Отношением строгого порядка (обозначение < ) называется антирефлексивное, асимметричное и транзитивное отношение. Отношение нестрогого порядка можно рассматривать как объединение отношений < и ~.

Наконец, отношением доминирования называется отношение, обладающее антирефлексивностью и асимметричностью. Говорят, что “x доминирует y” (обозначается x » y), когда x в каком-то смысле превосходит y. (Очевидно, строгий порядок – частный случай доминирования, при котором имеет место еще транзитивность.)

Хотя при подробном рассмотрении выбора потребуются и другие факты теории отношений, введенные понятия позволяют составить представление о возможностях данного языка.

В случае конечных множеств X очень удобно находить наилучшие альтернативы с помощью графа предпочтений, стрелки которого направлены в сторону менее предпочтимой альтернативы (рис. 7.4). Выделив вершины графа, из которых стрелки только исходят (альтернативы 6 и 10 на рис. 7.4), мы находим недоминируемые, т.е. наилучшие, альтернативы. Можно показать, что если граф сильно транзитивен (т.е. транзитивен и по наличию, и по отсутствию стрелок) и антирефлексивен (отсутствуют петли), то описываемый выбор сводится к однокритериальному выбору. Другие типы графов описывают другие ситуации выбора.

В общем же случае выделение наиболее предпочтительных альтернатив возможно с помощью понятия оптимальности по отношению R, позволяющего придавать разный смысл понятию “наилучший” (задавая разные отношения R). Элемент x Î X называется мажорантой по отношению R на X, если для всех y Î X выполнено условие y x. Множество X₊(R) всех мажорант называется множеством R-оптимальных элементов.

Функция полезности

Важно обсудить ситуацию, возникшую при описании выбора на языке бинарных отношений в результате создания теории полезности [38]. П. Фишберн строго доказал теорему, смысл которой довольно ясен: если множество X конечно и между его элементами имеется отношение строгого порядка, то можно построить такую вещественную функцию u(x) на X, для которой

(x < y) Þ [u(x) < u(y)]

(в левой части < означает отношение предпочтения, в правой – знак “меньше”).

Функция u(x) называется функцией полезности. Ясно, что такая функция не единственна: произвольное монотонное преобразование сохраняет ее упорядочивающее свойство. Этот результат затем был обобщен на счетные и континуальные множества X, на нестрогий порядок и на многокритериальный случай (аддитивные функции полезности). Определение функции u(x) позволяет перейти от языка бинарных отношений к критериальному языку, взяв u(x) в качестве критериальной функции. Были развиты методы, позволяющие сузить класс функций полезности, например, благодаря рассмотрению иерархических парных предпочтений (см. § 6.2), повышая тем самым “точность определения u(x)”.

Создается впечатление, что от качественных порядковых измерений можно перейти к количественным. На самом деле мы здесь вновь сталкиваемся с такой ситуацией, когда “оцифровка” порядковой шкалы не делает ее числовой шкалой. Для воспроизводства упорядочения фиксированного попарно упорядоченного множества X, конечно, можно воспользоваться числовой функцией u(x); однако стоит дополнить X альтернативами, которые не рассматривались при первом упорядочении, как функцию u(x) потребуется определять заново. Более того, если два разных эксперта дадут разные упорядочения множества X, то можно доопределить функции полезности для каждого из них, но сравнивать их численно иначе как в отношении порядка не имеет смысла (см. пример в § 6.2), хотя обе они определены на одном множестве.

В тех случаях, когда количественная величина по каким-то причинам измеряется в порядковой шкале, оцифровка порядковых данных могла бы иметь смысл. Однако во многих приложениях теории полезности мы имеем дело с измерениями, которые в принципе не могут выйти из разряда порядковых.

Вывод. В ряде практических случаев критериальная функция не существует, т.е. оценку данной альтернативе можно дать только в результате ее сравнения с другой альтернативой. Это потребовало более общего описания выбора. Первым таким обобщением и является язык бинарных отношений.

Язык функций выбора

Некоторые особенности выбора привели к построению третьего, еще более общего языка его описания. Во-первых, нередко приходится сталкиваться с ситуациями, когда предпочтение между двумя альтернативами зависит от остальных альтернатив. Например, предпочтение покупателя между чайником и кофеваркой может зависеть от наличия в продаже кофемолки. Во-вторых, возможны такие ситуации выбора, когда понятие предпочтения вообще лишено смысла. Например, по отношению к множеству альтернатив довольно обычными являются правила выбора “типичного”, выбора “среднего”, выбора “наиболее отличного, оригинального”, теряющие смысл в случае двух альтернатив.

Язык функций выбора описывает выбор как операцию над произвольным множеством альтернатив X, которая ставит этому множеству в соответствие некоторое его подмножество C(X): C(X) Í X. (Обозначение связано с первой буквой английского слова choiсe – “выбор”.) Функция выбора как отображение совокупности множеств в совокупность множеств (поскольку для выбора могут предлагаться любые подмножества X_i Í X) без поэлементного отображения одного множества на другое и без отображения множеств на числовую ось является своеобразным и пока еще не полно изученным математическим объектом. Конечно, накладывая на функцию выбора определенные требования, мы можем на этом языке описывать и те варианты выбора, которые отражаются в предыдущих языках. Однако главное достоинство нового языка – возможность рассмотрения более сложных правил выбора. На такую возможность указывает хотя бы различие числа возможных функций выбора и числа возможных графов предпочтения на множестве n альтернатив. Число графов, отличающихся наличием или отсутствием хотя бы одной дуги, равно . Если для выбора предлагаются k из n альтернатив, то число функций выбора равно 2^k (каждая из альтернатив может либо входить в C(X_k), либо нет). Так как число возможных вариантов предъявления альтернатив равно , то общее число функций выбора равно

.

Как видим, разнообразие функций выбора намного превосходит разнообразие графов предпочтения. Кроме того, здесь сразу допускается отказ от выбора, т.е. пустой выбор C(X_i) = , что также расширяет множество правил выбора.

Итог. Язык функций выбора является весьма общим и потенциально может описать любой выбор. Однако его теория находится в начальной стадии развития и пока еще занимается преимущественно описанием старых ситуаций в новых терминах. Язык функций выбора (“глобальных функций множеств”) описывает результат выбора как некоторое подмножество множества альтернатив. Такое соответствие двух множеств без их поэлементного соответствия является новым понятием, расширяющим смысл термина “функция”. Оно позволяет описывать произвольные ситуации выбора, чего нельзя было сделать с помощью предыдущих двух языков.

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: