Общая схема принятия статистических решений

Обстоятельства принятия статистических решений иллюстрирует схема, приведенная на рис.7.8 [33]. На этой схеме точкой q Î Q изображено то, что нам неизвестно, но необходимо определить; Q – множество всех предполагаемых возможностей относительно q. Точкой x Î X изображена выборка (протокол наблюдений) x = = (x₁, ..., x_N); X – множество всех возможных выборок. Тот факт, что на реализовавшееся значение выборки оказывает влияние не только искомая закономерность q, но и совокупность случайных факторов, изображен на схеме как результат совместного отображения q и некоторого случайного воздействия n в пространство X с помощью некоторого оператора

7.8 Общая схема принятия статистических решений

.

Зная x, мы должны сделать выбор относительно q, принять решение, какую из множества альтернатив Q мы примем за истинную. Чтобы не путать принимаемое решение и “истинное” состояние q, обозначим пространство, на котором производится выбор, через Г. Очевидно, что в Г входят все элементы множества Q, но могут войти и дополнительные решения (типа отказа от выбора, требования увеличить число наблюдений или провести рандомизацию и т.п.). Процедура выбора изображена как действие некоторого оператора δ над выборкой x: каждой выборке x этот оператор, называемый решающей функцией, ставит в соответствие решение

γ .

Здесь аргумент i введен, во-первых, для того чтобы подчеркнуть, что одну и ту же выборку можно обрабатывать по-разному, получая решения различного качества, и, во-вторых, чтобы сделать акцент на том, что качество решения зависит не только от того, какой протокол обрабатывается, но и от того, какие априорные предположения вошли в структуру алгоритма.

Итак, и проблема синтеза статистических процедур (построения решающих функций), и проблема анализа их качества (оценивания степени близости между γ и θ ) тесно связаны с ролью априорной информации.

Определим конкретнее, что именно в статистике понимается под априорной информацией. В нее включают любые сведения, имеющиеся до того, как мы приступили к синтезу новой процедуры δ, в том числе и любую информацию о природе наблюдений (но не саму выборку x, считающуюся информацией апостериорной). Конкретнее априорные сведения характеризуют: 1) пространство ситуаций Q; 2) природу случайных факторов n; 3) оператор μ, определяющий характер взаимодействия q и n; 4) пространство наблюдений X; 5) требования потребителя к качеству решений (нумерация та же, что и на рис. 7.8).

Понятие о байесовом подходе

Априорная информация может быть более или менее полной и точной; в зависимости от этого по-разному ставятся и решаются статистические задачи выбора. Можно даже утверждать, что разным уровням априорной информации соответствуют различные специфические ветви математической статистики.

Так как вся информация о случайном объекте содержится в его распределении вероятностей, то любая статистическая задача, по существу, может быть сведена к выбору определенного распределения из некоторого множества распределений. Априорная информация для такого выбора выражается некоторым функционалом от распределения, значение которого надо оценить. Апостериорная информация для этого содержится в выборке. Различные предположения о том, что именно известно о природе выборки, порождают различные ветви математической статистики.

Самое полное описание случайного объекта состоит в задании распределения вероятностей на множестве возможных состояний этого объекта, поэтому наиболее подробное и полное задание априорной информации состоит в том, что считаются известными:

- распределение P(q), q Î Q;

- условное распределение выборочных значений F(x|q), x Î X, q Î Q;

- функция потерь l(γ, q), выражающая отношение потребителя решений к расхождению между γ, т.е. тем, что он должен использовать вместо истинного q, и действительным состоянием q.

Такой уровень априорной информации соответствует байесову направлению статистики (Т. Байес – известный английский статистик). Среднее значение потерь l, связанное с конкретным алгоритмом γ обработки наблюдений x, называемое байесовым риском R, принимается за меру качества этого алгоритма. Оптимальная в этом смысле процедура γ * (также называемая байесовой) и считается наилучшим решением задачи:

Наибольшее количество споров относительно байесовых задач вызывала необходимость задавать априорное распределение P(q). Постулат Лапласа – Байеса, предлагающий при неизвестности P(q) считать его равномерным в Q, приводит к противоречиям в случае деформаций пространства Q [39, § 17]. Не помогает и предположение о том, что неизвестное P(q) принадлежит некоторому классу распределений, с тем чтобы взять в этом классе “наихудшее” распределение и для него найти байесову процедуру. Такая минимаксная процедура гарантирует, что “хуже не будет”, если только P(q) действительно входит в заданный класс.

Спор между сторонниками байесова подхода и его противниками можно считать историческим недоразумением. В конце концов, было признано, что могут существовать и другие уровни априорной информации, для которых требуется создание своих методов синтеза процедур.

Следующим уровнем стал отказ от необходимости знать P(q); на этом уровне в синтезе алгоритмов участвует только информация о семействе функций F(x|q). Оказалось, что если подставить в функцию плотности f(x|q) выборочные значения x₁, ..., x_N, и рассматривать ее зависимость от q, то такая зависимость

L (q |x₁, ..., x_N) = f(x₁, ..., x_N |q)

обладает замечательными свойствами, из-за которых ее и назвали функцией правдоподобия. Например, если q – неизвестный числовой параметр распределения, то является очень хорошей оценкой рассматриваемого параметра (этот метод оценивания называется методом максимального правдоподобия).

В том случае, когда по выборке x₁, ..., x_N следует принять решение в пользу одной из конкурирующих гипотез H₀ и H₁, т.е. решить – это выборка из распределения с плотностью f (x|H₀) или f (x|H₁), лучшей процедурой является вычисление отношения правдоподобия f(x₁, ..., x_N|H₁) / f(x₁, ..., x_N|H₀) и выбор гипотезы H₁, если это отношение превышает заданный порог, и гипотезы H₀, если ниже его. В рамках этого уровня возможны и другие методы принятия статистических решений; обычно их использование вызвано соображениями простоты реализации, но по качеству получаемых с их помощью решений они не превосходят процедур, основанных на функции правдоподобия.

⇐ Предыдущая12345

Поделиться: