Определение дисперсии, стандартного отклонения, выборочной дисперсии

Дисперсия определяет характер варьирования признака в выборке. Это показатель получил широкое распространение в математической статистике для описания статистических совокупностей. Дисперсия – средний квадрат отклонений вариант данной совокупности от их средней величины. Существует закономерность: чем больше разброс значений показателя, тем больше дисперсия. Допустим, для расчета имеем два статистических ряда:

 

№ п\п	Ф.И.О. исследуемого		Результат исследования (ЧСС, уд \ мин)
	Иванов. П	Х1
	Петров В.	Х2
	Сидоров В.	Х3
	Купцов М.	Х4
	Сидорчук К.	Х5
n = 5
М = 19, 8

 

 

№ п\п	Ф.И.О. исследуемого		Результат исследования (ЧСС, уд \ мин)
	Ильин В.	Х1
	Кукшкин. С	Х2
	Галкин М.	Х3
	Столяров К.	Х4
	Филиппов Н.	Х5
n = 5
_ Х = 19, 8

 

Из таблицы видно, что в двух статистических совокупностях одинаковое значение n и Х, при этом выборки (значения переменных) различны. Поэтому, для сравнительной оценки средних величин изучаемых параметров рассчитывают дисперсию, стандартное отклонение и выборочную дисперсии.

Дисперсия рассчитывается по следующей формуле:

_ ₂

σ ² = (5.4.1)

_

Х – средняя арифметическая

n – общее число вариант, составляющих данную совокупность (выборка)

Х_i – значение вариант (Х_i= Х₁; Х_i= Х₂; Х_i= Х₃ …)

∑ - знак суммирования вариант в пределах от первой до n –ой варианты

σ ² – дисперсия

Стандартное отклонение (среднее квадратичное отклонение) рассчитывается по следующей формуле:

σ = (5.4.2)

_

Х – средняя арифметическая

n – общее число вариант, составляющих данную совокупность (выборка)

Х_i – значение вариант (Х_i= Х₁; Х_i= Х₂; Х_i= Х₃ …)

∑ - знак суммирования вариант в пределах от первой до n –ой варианты

σ -стандартное отклонение

 

Для малочисленной выборки используется следующая формула стандартного отклонения:

σ = (5.4.3)

_

Х – средняя арифметическая

n – общее число вариант, составляющих данную совокупность (выборка)

Х_i – значение вариант (Х_i= Х₁; Х_i= Х₂; Х_i= Х₃ …)

∑ - знак суммирования вариант в пределах от первой до n –ой варианты

σ – стандартное отклонение

Выборочная средняя определяется по формуле:

_

Sx = (5.4.4)

_

Sx - выборочная средння

n – общее число вариант, составляющих данную совокупность (выборка)

σ – стандартное отклонение

Допустим, при измерении частоты дыхания у подростков 14-15 лет были получены следующие результаты:

 

№ п\п	Ф.И.О. исследуемого		Результат исследования (ЧД, цикл \ мин)
	Иванов. П	Х1
	Петров В.	Х2
	Сидоров В.	Х3
	Купцов М.	Х4
	Сидорчук К.	Х5
n = 5
_ Х = 19, 8

 

Измеренные значения частоты дыхания подставляем в формулу и получаем следующее значение:

^{2 2 2 2 2}

σ = = 9, 25

_

Sx = = 4, 14

Таким образом, полученные значения среднего арифметического и выборочной средней частоты дыхания исследуемой группы составляет:

 

_ _

Х ± S x = 19, 8 ± 4, 14 (цикл/мин).

Определение коэффициента вариации

При одинаковых средних значениях признак может отличаться по величине и характеру варьирования. Допустим, определение среднестатистической величины температуры тела больных по палате не даст исчерпывающий ответ о состоянии здоровья пациентов, так как у одного пациента результат равен 40, 0^оС, а другого больного он может составлять 35, 5^оС. В результате среднее значение температуры тела по палате будет составлять значение физиологической нормы.

Поэтому, для характеристики варьирующих признаков рассчитывают коэффициент вариации (V) по формуле:

 

V = (σ / х)100% (5.5.1)

_

Х – средняя арифметическая

σ – стандартное отклонение

V – коэффициент вариации

На основе полученных данных делается заключение о степени варьирования признака:

Слабое варьирование признака - до 10 %

Среднее варьирование признака – 11-15 %

Сильное варьирование признака - > 25 %.

 

Например, необходимо определить степень варьирования частоты сердечных сокращений у детей 12-13 лет.

№ п\п	Ф.И.О. исследуемого		Результат исследования (ЧСС, уд \ мин)
	Иванов. П	Х1
	Петров В.	Х2
	Сидоров В.	Х3
	Купцов М.	Х4
	Сидорчук К.	Х5
	Пилипчук И.	Х6

 

Для определения коэффициента варьирования необходимо подставить значения в формулу:

_

Х = 19, 8 σ = 9, 25

 

V = (9, 25/19, 8) 100% = 46, 71 %

В результате, получаем сильное варьирование изучаемого признака.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: