Полигон частот. Выборочная функция распределения и гистограмма

Для наглядного представления о поведении исследуемой случайной величины в выборке можно строить различные графики. Один из них – полигон частот: ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (x₁, n₁), (x₂, n₂), …, (x_k, n_k), где x_i откладываются на оси абсцисс, а n_i – на оси ординат. Если на оси ординат откладывать не абсолютные (n_i), а относительные (w_i) частоты, то получим полигон относительных частот (рис.1). Рис. 1.

По аналогии с функцией распределения случайной величины можно задать некоторую функцию, относительную частоту события X < x.

Выборочной (эмпирической) функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < x. Таким образом,

, (1)

где п_х – число вариант, меньших х, п – объем выборки.

Замечание. В отличие от эмпирической функции распределения, найденной опытным путем, функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. F(x) определяет вероятность события X < x, а F*(x) – его относительную частоту. При достаточно больших п, как следует из теоремы Бернулли, F*(x) стремится по вероятности к F(x).

Из определения эмпирической функции распределения видно, что ее свойства совпадают со свойствами F(x), а именно:

1) 0 ≤ F*(x) ≤ 1.

2) F*(x) – неубывающая функция.

3) Если х₁ – наименьшая варианта, то F*(x) = 0 при х≤ х₁; если х_к – наибольшая варианта, то F*(x) = 1 при х > х_к.

Для непрерывного признака графической иллюстрацией служит гистограмма, то есть ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высотами – отрезки длиной n_i /h (гистограмма частот) или w_i /h (гистограмма относительных частот). В первом случае площадь гистограммы равна объему выборки, во втором –

 

единице. Рис.2.

 

Пример. Дана выборка, вариационный ряд которой имеет вид:

10, 8; 11, 1; 11, 7; 12, 2; 13, 1; 13, 4; 13, 9; 14, 3; 14, 3; 14, 4; 14, 8; 16, 5; 17, 7; 18, 2; 19, 9; 20, 0; 20, 3; 20, 8; 23, 1; 24, 2; 25, 1; 25, 1; 25, 7; 28, 4; 28, 5; 29, 3; 29, 8; 29, 9; 30, 2; 30, 4.

Составить статистический ряд распределения абсолютных и относительных частот, состоящий из пяти интервалов, и построить гистограмму относительных частот.

Объем выборки п = 30. Выберем в качестве границ интервала а = 10, 5 и b = 30, 5. Тогда и (a, b) разбивается на части (10, 5; 14, 5), (14, 5; 18, 5), (18, 5; 22, 5), (22, 5; 26, 5) и (26, 5; 30, 5). Статистический ряд при этом имеет вид:

 

Номер интервала	Границы интервала	Абсолютные частоты	Относительные частоты
	10, 5; 14, 5
	14, 5; 18, 5
	18, 5; 22, 5
	22, 5; 26, 5	5
	26, 5; 30, 5

Построим гистограмму:

x ◄

Пример. Выборочно обследовано 26 предприятий лёгкой промышленности по валовой продукции. Получены следующие результаты в млн. руб.: 15, 0; 16, 4; 17, 8; 18, 0; 18, 4; 19, 2; 19, 8; 20, 2; 20, 6; 20, 6; 20, 6; 21, 3; 21, 4; 21, 7; 22, 0; 22, 2; 22, 3; 22, 7; 23, 0; 24, 2; 24, 2; 25, 1; 25, 3; 26, 0; 26, 5; 27, 1. Составить интервальное распределение выборки с началом х₁=15 и длинами частичных интервалов h=2, 5. Построить гистограмму частот.

Для составления интервального распределения составим таблицу. В первой строке расположим в порядке возрастания интервалы, длина каждого из которых h=2, 5. Во второй строке запишем количество значений признака в выборке, попавших в этот интервал (т.е. сумму частот вариант, попавших в соответствующий интервал). Интервальный статистический ряд таков:

(xi, xi+1)	15–17, 5	17, 5–20	20–22, 5	22, 5–25	25–27, 5
ni

Объем выборки n=2+5+10+4+5=26. Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладываем частичные интервалы; на каждом из них строим прямоугольники высотой

 

10/2, 5

 

 

5/2, 5

2/2, 5

 

 

х_i – x_i+1

15 17, 5 20 22, 5 25 27, 5

 

Площадь каждого прямоугольника равна частоте интервала, на котором он построен. Сумма площадей этих прямоугольников равна объёму выборки. ◄

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Что понимается под генеральной сово­купностью?

2. Что такое выборка, размах выборки, объем выборки? Как обеспечивается представительность ее?

3. Объясните, как получают повторную и бесповторную выборки?

4. Что называют ошибкой репрезентативности?

5. Что такое частота появления варианты в выборке?

6. Как получают относительную частоту варианты в выборке?

7. Объясните, как получают вариационный ряд, статистический ряд распределения.

8. Что мы называем функцией распределения и статистической функцией распределения?

Какими свойствами обладает статистическая функция распределения?

9. Дайте определение группированного статистического ряда. Как строится гистограмма?

10. Что такое гамма-функция?

11. Запишите формулы плотности распределения для нормального, и распределения Стьюдента.

12. Как выполняется чертеж многоугольника распределения относительных частот?

13. Как выполняется чертеж гистограммы распределения плотности относи­тельных частот?

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: