Критерий для проверки гипотезы о математическом ожидании.

 

Пусть генеральная совокупность Х имеет нормальное распределение, и требуется проверить предположение о том, что ее математическое ожидание равно некоторому числу а₀. Рассмотрим две возможности.

1) Известна дисперсия σ ² генеральной совокупности. Тогда по выборке объема п найдем выборочное среднее и проверим нулевую гипотезу Н₀: М(Х) = а₀. Учитывая, что выборочное среднее является несмещенной оценкой М(Х), то есть М( ) = М(Х), можно записать нулевую гипотезу так: М( ) = а₀. Для ее проверки выберем критерий

. (3)

Это случайная величина, имеющая нормальное распределение, причем, если нулевая гипотеза справедлива, то М(U) = 0, σ (U) = 1.

Выберем критическую область в зависимости от вида конкурирующей гипотезы:

- если Н₁: М( ) ≠ а₀, то и_кр: , критическая область двусторонняя, , и, если |U_набл| < u_кр, то нулевая гипотеза принимается; если |U_набл| > u_кр, то нулевая гипотеза отвергается.

- если Н₁: М( ) > а₀, то и_кр: , критическая область правосторонняя, и, если U_набл < u_кр, то нулевая гипотеза принимается; если U_набл > u_кр, то нулевая гипотеза отвергается.

- если Н₁: М( ) < а₀, то и_кр: , критическая область левосторонняя, и, если U_набл > - u_кр, то нулевая гипотеза принимается; если U_набл < - u_кр, то нулевая гипотеза отвергается.

Итак, для проверки гипотезы о генеральном среднем, имеем

Гипотеза	H0: a = a0
Предположение	Генеральная совокупность нормальна; параметр s известен	Генеральная совокупность нормальна; параметр s неизвестен
Оценки по выборке
Статистика K
Распределение статистики K	Стандартное нормальное N(0; 1)	Распределение Стьюдента T(n – 1)

Эти же статистики используются, если распределение генеральной совокупности неизвестно (при n > 30 используется статистика с нормальным распределением, для с распределением Стьюдента).

Пример. Техническая норма предусматривает в среднем 40с на выполнение определенной технологической операции на конвейере по производству часов. От работниц поступили жалобы, что они в действительности затрачивают на эту операцию больше времени. Для проверки жалобы проведены хронометрические измерения времени выполнения операции у 36 работниц, и получено среднее время выполнения этой операции с. Можно ли по имеющимся данным на уровне значимости отклонить гипотезу о том, что среднее время выполнения этой операции соответствует норме, если известно, что среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности с?

Сформулируем основную и альтернативную гипотезы.

– неизвестное генеральное среднее равно заданному значению (время выполнения технологической операции соответствует норме).

– время выполнения технологической операции больше нормы.

По условию задачи , значит, воспользуемся статистикой ~ . Ее наблюдаемое значение равно: .

Так как альтернативная гипотеза правосторонняя, то и критическая область тоже правосторонняя , по таблице функции Лапласа К_кр = 2, 33.

Получили, что наблюдаемое значение , т.е. попадает в критическую область, следовательно, на данном уровне значимости основная гипотеза отвергается в пользу альтернативной.

Уровень значимости характеризует надежность нашего утверждения: более чем с 99% надежностью можно утверждать, что среднее время выполнения технологической операции превышает норму. Следовательно, жалобы работниц обоснованы.

Ответ. Можно утверждать, что среднее время выполнения технологической операции превышает норму. ◄

2) Дисперсия генеральной совокупности неизвестна. В этом случае выберем в качестве критерия случайную величину

, (4)

где S – исправленное среднее квадратическое отклонение. Такая случайная величина имеет распределение Стьюдента с k = n – 1 степенями свободы. Рассмотрим те же, что и в предыдущем случае, конкурирующие гипотезы и соответствующие им критические области. Предварительно вычислим наблюдаемое значение критерия:

. (5)

- если Н₁: М( ) ≠ а₀, то критическая точка t_{двуст.кр.} находится по таблице критических точек распределения Стьюдента по известным α и k = n – 1.

Если | T_набл | < t_{двуст.кр.}, то нулевая гипотеза принимается.

Если | T_набл | > t_{двуст.кр.}, то нулевая гипотеза отвергается.

- если Н₁: М( ) > а₀, то по соответствующей таблице находят t_{правост.кр.}(α, k) – критическую точку правосторонней критической области. Нулевая гипотеза принимается, если T_набл < t_{правост.кр.}.

- при конкурирующей гипотезе Н₁: М( ) < а₀ критическая область является левосторонней, и нулевая гипотеза принимается при условии T_набл > - t_{правост.кр.}. Если T_набл < - t_{правост.кр.}., нулевую гипотезу отвергают.

Итак для проверки гипотеза о генеральной дисперсии, имеем

Гипотезы
Предположение	Генеральная совокупность нормальна; параметр a известен	Генеральная совокупность нормальна; параметр a неизвестен
Оценки по выборке
Статистика K
Распределение статистики K	«хи-квадрат»	«хи-квадрат»

Пример. Точность работы станка-автомата проверяется по дисперсии контролируемого размера деталей, которая не должна превышать . По выборке из 25 случайно отобранных деталей рассчитаны оценки генерального среднего и генеральной дисперсии, при этом . На уровне значимости 0, 05 проверить, обеспечивает ли станок требуемую точность.

Решение. Сформулируем основную и альтернативную гипотезы:

– станок обеспечивает требуемую точность.

– точность не обеспечивается.

По условию задачи n = 25 < 30, = 0, 05. Так как генеральное среднее неизвестно (оценивается по выборке), то будем использовать статистику K= из последней колонки. Ее наблюдаемое значение

Критическая область правосторонняя, ее границу K_кр определим по таблице распределения «хи-квадрат»: . , т.е. наблюдаемое значение попадает в критическую область. Значит, основную гипотезу нужно отвергнуть в пользу альтернативной.

Ответ. Станок не обеспечивает требуемую точность и требует наладки.◄

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: