![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Критерий Пирсона для проверки гипотезы о виде закона распределения случайной величины. Критерий Колмогорова.
Ранее рассматривались гипотезы, в которых закон распределения генеральной совокупности предполагался известным. Теперь займемся проверкой гипотез о предполагаемом законе неизвестного распределения, то есть будем проверять нулевую гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по некоторому известному закону. Обычно статистические критерии для проверки таких гипотез называются критериями согласия. Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Это численная мера расхождения между эмпирическим и теоретическим распределением. Основная задача. Дано эмпирическое распределение (выборка). Сделать предположение (выдвинуть гипотезу) о виде теоретического распределения и проверить выдвинутую гипотезу на заданном уровне значимости α. Решение основной задачи состоит из двух частей: 1. Выдвижение гипотезы. 2. Проверка гипотезы на заданном уровне значимости. Рассмотрим подробно эти части. 1. Выбор гипотезы о виде теоретического распределения удобно делать с помощью полигонов или гистограмм частот. Сравнивают эмпирический полигон (или гистограмму) с известными законами распределения и выбирают наиболее подходящий. Приведём графики важнейших законов распределения:
Примеры эмпирических законов распределения приведены на рисунках:
а) б) в) В случае (а) выдвигается гипотеза о нормальном распределении, в случае (б) — гипотеза о равномерном распределении, в случае (в) — гипотеза о распределении Пуассона. Основанием для выдвижения гипотезы о теоретическом распределении могут быть теоретические предпосылки о характере изменения признака. Например, выполнение условий теоремы Ляпунова позволяет сделать гипотезу о нормальном распределении. Равенство средней и дисперсии наводит на гипотезу о распределении Пуассона. На практике чаще всего приходится встречаться с нормальным распределением, поэтому в наших задачах требуется проверить только гипотезу о нормальном распределении. Проверка гипотезы о теоретическом распределении отвечает на вопрос: можно ли считать расхождение между предполагаемыми теоретическим и эмпирическим распределениями случайным, несущественным, объясняемым случайностью попадания в выборку тех или иных объектов, или же это расхождение говорит о существенном расхождении между распределениями. Для проверки существуют различные методы (критерии согласия) — c2 (хи-квадрат), Колмогорова, Романовского и др.
Критерий Пирсона. Достоинством критерия Пирсона является его универсальность: с его помощью можно проверять гипотезы о различных законах распределения. 1. Проверка гипотезы о нормальном распределении. Пусть получена выборка достаточно большого объема п с большим количеством различных значений вариант. Для удобства ее обработки разделим интервал от наименьшего до наибольшего из значений вариант на s равных частей и будем считать, что значения вариант, попавших в каждый интервал, приближенно равны числу, задающему середину интервала. Подсчитав число вариант, попавших в каждый интервал, составим так называемую сгруппированную выборку: варианты………..х1 х2 … хs частоты………….п1 п2 … пs, где хi – значения середин интервалов, а пi – число вариант, попавших в i-й интервал (эмпирические частоты). По полученным данным можно вычислить выборочное среднее
где аi и bi - границы i-го интервала. Умножив полученные вероятности на объем выборки п, найдем теоретические частоты: пi =n· pi.Наша цель – сравнить эмпирические и теоретические частоты, которые, конечно, отличаются друг от друга, и выяснить, являются ли эти различия несущественными, не опровергающими гипотезу о нормальном распределении исследуемой случайной величины, или они настолько велики, что противоречат этой гипотезе. Для этого используется критерий в виде случайной величины
Смысл ее очевиден: суммируются части, которые квадраты отклонений эмпирических частот от теоретических составляют от соответствующих теоретических частот. Можно доказать, что вне зависимости от реального закона распределения генеральной совокупности закон распределения случайной величины (7) при
где α – уровень значимости. Следовательно, критическая область задается неравенством Итак, для проверки нулевой гипотезы Н0: генеральная совокупность распределена нормально – нужно вычислить по выборке наблюдаемое значение критерия:
а по таблице критических точек распределения χ 2 найти критическую точку Пример. Результаты исследования спроса на товар представлены в таблице:
Выдвинуть гипотезу о виде распределения и проверить её на уровне значимости a=0, 01. I. Выдвижение гипотезы. Для указания вида эмпирического распределения построим гистограмму
120 160 180 200 220 280
По виду гистограммы можно сделать предположение о нормальном законе распределения изучаемого признака в генеральной совокупности. II. Проверим выдвинутую гипотезу о нормальном распределении, используя критерий согласия Пирсона. 1. Вычисляем
2. Найдём интервалы (Zi; Zi+1): За левый конец первого интервала примем (-¥ ), а за правый конец последнего интервала - (+¥ ). Результаты представлены в табл. 4. 3. Найдем теоретические вероятности Рi и теоретические частоты
Таблица 4
4. Сравним эмпирические и теоретические частоты. Для этого: а) вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Вычисления представлены в табл.5. Таблица 5
б) по таблице критических точек распределения c2 при заданном уровне значимости a=0, 01 и числе степеней свободы k=m–3=5–3=2 находим критическую точку Сравниваем Замечание. Интервалы, содержащие малочисленные эмпирические частоты (ni< 5), следует объединить, а частоты этих интервалов сложить. Если производилось объединение интервалов, то при определении числа степеней свободы по формуле K=m-3 следует в качестве m принять число оставшихся после объединения интервалов. Пример. По выборке из 24 вариант выдвинута гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности. Используя критерий Пирсона при уровне значимости Найдем число степеней свободы
где Так как нормальное распределение имеет 2 параметра (
По таблице критических точек распределения В случае а) для значений В случае б) для значений 36, 37, 38 гипотезу отвергают, так как
2. Проверка гипотезы о равномерном распределении. При использовании критерия Пирсона для проверки гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности с предполагаемой плотностью вероятности необходимо, вычислив по имеющейся выборке значение
где а* и b* - оценки а и b. Действительно, для равномерного распределения М(Х) = Затем, предполагая, что Здесь s – число интервалов, на которые разбита выборка. Наблюдаемое значение критерия Пирсона вычисляется по формуле (7`), а критическое – по таблице с учетом того, что число степеней свободы k = s – 3. После этого границы критической области определяются так же, как и для проверки гипотезы о нормальном распределении.
3. Проверка гипотезы о показательном распределении. В этом случае, разбив имеющуюся выборку на равные по длине интервалы, рассмотрим последовательность вариант Затем сравниваются наблюдаемое и критическое значение критерия Пирсона с учетом того, что число степеней свободы k = s – 2. Пример. Для выборки, интервальный статистический ряд которой имеет вид
проверить при уровне значимости α = 0, 05 гипотезу о: а) показательном; б) равномерном; в) нормальном законе распределения генеральной совокупности с помощью критерия Пирсона. Объем выборки п = 70. Будем считать вариантами середины частичных интервалов: х1 = 3, 5, х2 = 6, 5, …, х6 = 18, 5. Найдем а) Вычислим теоретические частоты в предположении о показательном распределении генеральной совокупности при
б) Для равномерного распределения
в) Теоретические частоты для нормального распределения:
Критерий Колмогорова. Этот критерий применяется для проверки простой гипотезы Н0 о том, что независимые одинаково распределенные случайные величины Х1, Х2, …, Хп имеют заданную непрерывную функцию распределения F(x). Найдем функцию эмпирического распределения Fn(x) и будем искать границы двусторонней критической области, определяемой условием
А.Н.Колмогоров доказал, что в случае справедливости гипотезы Н0 распределение статистики Dn не зависит от функции F(x), и при где - критерий Колмогорова, значения которого можно найти в соответствующих таблицах. Критическое значение критерия λ п(α ) вычисляется по заданному уровню значимости α как корень уравнения Можно показать, что приближенное значение вычисляется по формуле
На практике для вычисления значения статистики Dn используется то, что
а
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-05-11; Просмотров: 4314; Нарушение авторского права страницы