Проверка гипотезы о генеральной доле

Гипотеза
Предположение	Схема испытаний Бернулли
Оценки по выборке		; ;
Статистика К
Распределение статистики К	Стандартное нормальное N (0; 1)	Стандартное нормальное N (0; 1)

При проверке гипотез о генеральной доле предполагают, что испытания проводятся по схеме Бернулли (независимы, вероятность р появления события А в каждом опыте постоянна). По выборке объема n определяют относительную частоту р* появления события А: , где m – количество появления события А в серии из n испытаний. При проверке гипотез о генеральной доле используется статистика, имеющая при достаточно большом объеме выборки стандартное нормальное распределение.

Пример. Партия изделий принимается, если вероятность того, что изделие окажется стандартным, составляет не менее 0, 97. Среди случайно отобранных 200 изделий проверяемой партии оказалось 193 стандартных. Можно ли на уровне значимости a = 0, 02 принять партию?

Сформулируем основную и альтернативную гипотезы.

– неизвестная генеральная доля р равна заданному значению р₀ = 0, 97. Вероятность того, что деталь окажется стандартной, равна 0, 97, т.е. партию изделий можно принять.

– вероятность того, что деталь окажется стандартной, меньше 0, 97, т.е. партию изделий нельзя принять. По условию задачи: р₀ = 0, 97, n = 200, m = 193, .

Так как критическая область левосторонняя, критическое значение найдем по таблице Лапласа из равенства: , отсюда . Критическая область является интервалом . Наблюдаемое значение не принадлежит критической области, значит, на данном уровне значимости нет оснований отвергать основную гипотезу.

Ответ. Партию изделий можно принять.◄

Пример. Менеджер торговой фирмы должен заключить контракт на поставку изделий с заводом, производящим данные изделия. Таких заводов два. Одним из критериев выбора служит качество, производимой продукции. Для оценки качества сделаны выборки из продукции этих заводов и получены следующие результаты. Среди отобранных 200 изделий первого завода оказалось 20 бракованных, среди 300 изделий второго завода – 15 бракованных. На уровне значимости a = 0, 025 выяснить, имеется ли существенная разница в качестве изготовляемых этими заводами изделий. Т.е. может ли менеджер отдать предпочтение одному из заводов, в виду того, что качество изделий у этого завода лучше?

Задача на сравнение генеральных долей. Сформулируем основную и альтернативную гипотезы.

– генеральные доли равны (качество продукции одинаково).

– заводы изготавливают изделия разного качества.

По условию задачи .

;

Так как критическая область двусторонняя, то критическое значение статистики К ~ N (0; 1) найдем по таблице функции Лапласа из соотношения:

.

При двусторонней критической области область допустимых значений основной гипотезы имеет вид . Наблюдаемое значение попадает в этот интервал, т.е. на данном уровне значимости нет оснований отвергать основную гипотезу. Заводы изготавливают продукцию одинакового качества.

Ответ. Менеджер отдать предпочтение одному из заводов, в виду того, что качество изделий у этого завода лучше не может, так как заводы изготавливают продукцию одинакового качества.◄

Проверка гипотезы о значимости выборочного

Коэффициента корреляции

 

Пусть имеется выборка объема п из нормально распределенной двумерной генеральной совокупности (Х, Y), и по ней найден выборочный коэффициент корреляции r_B ≠ 0. Требуется при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции:

H_o: r_Г = 0 при конкурирующей гипотезе Н₁: r_Г ≠ 0. Критерием является случайная величина

,

имеющая при справедливости нулевой гипотезы распределение Стьюдента с k = n – 2 степенями свободы. Критическая область при заданном виде конкурирующей гипотезы является двусторонней и задается неравенством |T| > t_кр, где t_кр(α , k) находится по таблице критических точек распределения Стьюдента.

 

Пример. По выборке объема п = 150, извлеченной из нормально распреде-ленной двумерной генеральной совокупности, вычислен выборочный коэффициент корреляции r_B = - 0, 37. Проверим при уровне значимости α = 0, 01 нулевую гипотезу H_o: r_Г = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе Н₁: r_Г ≠ 0.

Критическая точка t_кр(0, 01; 150) = 2, 58. Вычислим наблюдаемое значение критерия: Поскольку |T_набл | > t_кр, нулевая гипотеза отвергается, то есть Х и Y коррелированны.

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: