Законы и аппроксимации как этапы трансдукции

Когда научная концепция «приведена в порядок», то очевидно, что в концептуальном отношении принципы предшествуют зако-нам. Как правило, принципы и законы придумываются совместно. Л.И. Мандельштам в довольно детальном виде описал изобретение главного закона квантовой химии – уравнения Шрёдингера¹.

Имея дело с квантовыми чертами реальности, физикам необхо-димо было найти такие уравнения, решения которых выражались бы в целых числах. На этот счет для них образцовый характер име-ли волновые уравнения с граничными условиями. В случае коле-бания струн граничные условия выражаются в закрепленности их концов. Но как понять дискретность поведения элементарных час-тиц, которые явно не являются струнами музыкальных инструмен-тов? И вот тут Шрёдингеру пригодились его математические по-знания, знакомство с такими дифференциальными уравнениями, решения которых дискретны в силу интегрируемости квадрата мо-дуля решения и конечность его в особых точках. А еще он догадал-

¹ Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой ме-ханике. М., 1972. С. 330–331.

83

ся, что добытые им числа следует связать с энергией рассматри-ваемой системы. В уравнение входили разные величины, не все их Шрёдингеру удалось связать с признаками физических объектов.

История изобретения уравнения Шрёдингера показывает неор-динарность пути открытия научных законов. Научное открытие основополагающих законов выступает не как внезапное озарение, а финальным аккордом сложного поиска, настойчивого стремления привести в гармонию факты, законы и принципы. Этот поиск не ведется в пустую. Научное открытие всегда выступает как преодо-ление затруднений (проблем) устаревшей теории. Таким образом, исследователь знает, чего он желает, какова его цель.

Следует различать гипотетические и эмпирические законы. Рас-смотрение экспериментальных фактов позволяет выявить экспери-ментальные законы. Часто ученые рассуждают об универсальных законах. Универсальные физические и химические законы выра-жаются так называемым «универсальным условным утверждени-ем». Самый простой его тип записывается так:

(x) (Px ⊃ Qx)¹.

Это выражение читается следующим образом: для любого x, ес-ли х обладает признаком P, то он обладает также признаком Q. Крайне важно, что речь идет о любом x, таком, признаки которого, не противоречат закону. В данном случае невозможно определить, к каким именно x относится к закон. Закон выражает связь призна-ков всех возможных x, в связи с чем используются символьные значки переменных (x_i, P_{i ,} Q_i), i пробегает ряд целочисленных зна-чений от 1 до n, где n – общее число x.

В записи законов всегда используется представление о классе элементов. Элементы образуют класс, если они обладают хотя бы одним общим признаком. Это условие выполняется. Закон имеет дело с классами элементов, а не с произвольной выборкой из их числа. В случае отказа от рассмотрения классов элементов наука приобрела бы исключительно необычный вид. История ее развития недвусмысленно свидетельствует о целесообразности рассмотре-ния именно классов элементов. Но это обстоятельство определяет далеко не очевидный статус научных законов.

Карнап Р. Философские основания физики. М., 1971. С. 40.

84

Итак, мы изложили концепцию универсального закона. Как вы-ясняется, она не во всем удовлетворительна. В науке при встрече с ранее неизученными законами, строго говоря, руководствуются не универсальными, а гипотетическими законами. Они считаются справедливыми лишь для изучаемых явлений. Вполне допускается, что результаты познания вынудят отказаться от гипотетических законов. Таким образом, на них накладывается определенные огра-ничения.

Длительное время ученые считали, что гипотетические законы проверяются (подтверждаются) в экспериментах. Многое разъяс-нилось после выступлений критического рационалиста Карла Поп-пера, который не уставал подчеркивать, что гипотетический закон не удостоверяется, а фальсифицируется. Критика Поппера была направлена против неопозитивистов, в частности, Рудольфа Карна-па. Под натиском Поппера им пришлось отступить. Но, как ни странно, известную ошибку допустили обе стороны. Дело в том, что устанавливается эмпирический закон, а гипотетический закон вводится посредством операции расширяющей индукции. И Кар-нап, и Поппер не проводили четкого различения между гипотети-ческими и эмпирическими законами. Гипотетический закон фаль-сифицируется, а эмпирический удостоверяется экспериментом.

Рассмотрим теперь переход от гипотетических законов к пред-сказываемым фактам. В этой связи особое значение приобретает операция аппроксимации, о которой пойдет речь ниже.

Выше отмечалось, что «развертка» теории выступает как транс-дукция. Применительно к квантовой химии это означает, что не-достаточно всего лишь записать уравнение (закон) Шредингера, его еще и необходимо решить. История развития квантовой химии показывает, что в связи с этим невозможно обойтись без так назы-ваемых аппроксимаций (от лат. approximare – приближаться). Под аппроксимацией в науке обычно понимают выражение каких-либо величин через другие, признающиеся более простыми. В нашем случае имеется в виду, что следует упростить N-электронную вол-новую функцию (N – число электронов) таким образом, чтобы она стала вычислимой. Обычно это обстоятельство интерпретируется так: при N > 2 корректное описание электронной волновой функции

85

невозможно, поэтому не остается ничего другого, как перейти к упрощениям, сохранить теоретическое целомудрие невозможно, по крайней мере, при современном уровне науки.

На наш взгляд, такого рода аргументация неглубока. Действи-тельно, если бы нам был бы известен так называемый безупречно корректный подход, то мы могли бы содержательно характеризо-вать отход от него. Но поскольку он неизвестен, то следует воз-держаться от характеристики его противоположности, некоррект-ного подхода. По нашему мнению, теоретически содержательные аппроксимации следует понимать не как упрощения, а в качестве необходимых этапов трансдукции. В этом контексте тема упроще-ний имеет вторичное значение. В поддержку этого вывода приве-дем такой аргумент.

Достаточно часто используемые аппроксимации прекрасно со-гласуются с экспериментальными данными. В таком случае иссле-дователям нет никакой нужды настаивать на их некорректности. Впрочем, эта идиллия непременно нарушается, и тогда приходится вводить более утонченные аппроксимации. Как это следует пони-мать? Как продолжение научной трансдукции, которая предполага-ет рост научного знания. Таким образом, так как трансдукцию не-возможно реализовать без аппроксимаций, то они выступают ее вполне легитимными концептами. Рост научного знания вынужда-ет пересмотреть актуальность не всех аппроксимаций, а лишь тех их них, состоятельность которых оказалась опровергнутой. Дина-мику научного знания очень часто истолковывают как череду не-скончаемых заблуждений. В действительности же она выступает вереницей достижений. Рост научного знания обеспечивают не за-блуждения, а достижения. Далее мы предлагаем оценить проблему аппроксимации именно в контексте трансдукции. Не случайно, ап-проксимации, как правило, являются результатом исключительно самозабвенной работы исследователей.

Центральное место среди всех используемых в квантовой химии аппроксимаций занимает метод Хартри–Фока, поэтому обратимся к нему в первую очередь. Весьма показательна история развития этого метода. Эрвин Шрёдингер записал свое знаменитое уравне-ние в 1926 году. Уже на следующий год Дуглас Хартри предложил

86

метод для его решения. В этом методе волновая функция много-электронного атома представляется в виде произведения волновых функций отдельных электронов, соответствующих их различным квантовым состояниям в атоме. Движение каждого электрона оп-ределяется полем, создаваемым всеми другими частицами, усред-ненным определенным образом и задаваемым некоторыми потен-циалами. Замысел Хартри состоял в стремлении дать решение уравнение Шрёдингера ab initio, то есть исходя из основополагаю-щих квантово-механических принципов. Значимость его теорети-ческих новаций была осознана далеко не сразу. Случилось это лишь после того, как Дж. Слэтер показал, что метод Хартри обле-кает в теоретическую форму вариационного принцип: одноэлек-тронные волновые функции выбираются из условия минимума средней энергии.

В 1930 году В.А. Фок усовершенствовал метод Хартри, придав волновым функциям форму симметрии, обеспечивающей выполне-ние принципа Паули, то есть он учел наличие у электронов спи-нов. В результате Фок увязал рассматриваемый метод с теорией групп. В 1935 году Хартри сумел придать своему методу вид, при-годный для математических расчетов. Но их действенность выяви-лась лишь в начале 1950-х годов, после появления электронно-вычислительных машин. Таким образом, лишь через четверть века после первоначальной разработки метода Хартри–Фока выявилась его эффективность.

Электронное уравнение Шрёдингера для молекулярных систем часто разрешается в соответствии с так называемым методом ва-лентных связей. В этом случае волновая функция молекулы выра-жается через волновые функции составляющих ее атомов. Каждой валентной связи отвечает не одноэлектронная, а двухэлектронная функция X_AB (1, 2) = Ф(1, 2)σ (1, 2), где Х – пространственная, а σ – спиновая волновая функция, цифры 1 и 2 относятся к двум элек-тронам. При описании молекулярных систем, как правило, исполь-зуются линейные комбинации волновых функций нескольких ва-лентных связей. Коэффициенты в линейной комбинации опреде-ляют вариационным методом из условия минимума энергии.

Метод Хартри–Фока часто сопрягается с теорией возмущений, в рамках которой используется представление о невозмущенном, Ĥ ₀,

87

и возмущенном, Ĥ _e, гамильтониане. В качестве возмущения рас-сматривается разность между ними, а из поправок, зависящих от этой разности, учитываются лишь поправки низших порядков. Это-го достаточно для получения результатов, совместимых с экспери-ментальными данными.

В теории молекулярных образований, содержащих многоэлек-тронные атомы, центральное место занимает метод функционала плотности. Основная цель теории функционала плотности состоит в замене многоэлектронной волновой функции электронной плот-ностью. Это ведет к существенному упрощению задачи, поскольку многоэлектронная волновая функция зависит от 3N переменных – по 3 пространственных координаты на каждый из N электронов, в то время как плотность – функция всего лишь трех пространствен-ных координат. Но этот метод корректен лишь в случае достаточно равномерного распределения электронной плотности. Его несо-мненное достоинство состоит в возможности расчета молекуляр-ных систем, состоящих из сотен, а порой и тысяч, атомов. Разуме-ется, при этом не обходится без использования различных прибли-жений.

Теорию функционала плотности всегда подозревали в отходе от идеалов квантовой химии. Благодаря исследованиям Пьера Хоэн-берга и Вальтера Кона в значительной степени показана беспоч-венность этих подозрений. Теория функционала плотности восхо-дит к работам Л. Томаса 1927 года и Э. Ферми 1928 года, сумевших по концепту электронной плотности рассчитать энергию атома. Считалось, что их метод был превзойден методом Хартри–Фока. Но желание справиться с расчетом многоэлектронной системы вы-нуждало химиков возвращаться к идеям Томаса и Ферми. Их кван-товый характер во многом разъясняет вторая теорема Хоэнберга– Коэна (1964 г.), согласно которой энергия электронной подсисте-мы, записанная как функционал электронной плотности, имеет ми-нимум, равный энергии основного состояния, то есть она пред-ставляет собой вариационный принцип квантовой механики. Как доказывается в упомянутой теореме, волновая функция основного состояния Ф₀, является функционалом электронной плотности в основном состоянии n₀: Ф₀ = Ф₀(n₀). Таким образом, концепты вол-новой функции и электронной плотности тесно связаны друг с дру-

88

гом. Это особенно очевидно для основного состояния, но не только для него. Интересно, что увлечение методом функционала плотно-сти имеет два пика, разделенные промежутком в три десятка лет (1960-е и 1990-е годы). В обоих случаях они были связаны с разви-тием вычислительной техники.

Наш достаточно беглый обзор химических методов¹ показывает нетривиальное содержание различных путей осуществления транс-дукции в квантовой химии. Н.Ф. Степанов и Ю.В. Новаковская вполне правомерно указывают на необходимость проявления «должного внимания к тому, какие именно методы и в каком имен-но приближении могут и должны быть использованы при решении той или иной конкретной задачи»². Путь от основополагающих за-конов, в частности уравнения Шрёдингера, до непосредственного контакта с экспериментальными данными и труден, и тернист. Здесь концептуальные неожиданности поджидают исследователя на каждом шагу. Но, что крайне существенно, все шаги трансдук-ции сопряжены друг с другом.

К сожалению, очень часто трансдукцию сводят к использова-нию приближенных методов, якобы не соответствующих исходной строгости теории. Это ошибочное мнение мы рассмотрим далее на примере определенных интерпретаций проблемы аппроксимаций в квантовой химии. В этой связи исключительно большой интерес представляет статья Валентина Островского «Навстречу филосо-фии аппроксимаций в “точных” теориях»³. Правильно замечая, что проблеме аппроксимаций не уделяется должного внимания в фило-софской литературе, он заканчивает свою статью следующими че-тырьмя выводами, которые мы излагаем в сокращенном виде.

• Недопустимо рассматривать аппроксимации в качестве сла-бых мест «точных» наук, они в ней повсеместны. Этот вывод не опровергается наличием неоправданных приближений.

¹ См. подробнее: Степанов Н.Ф., Новаковская Ю.В. Квантовая химия сегодня //
Российский химический журнал. 2007. № 5. С. 5–17, а также указываемые этими
авторами первоисточники.

² Там же. С. 16.

³ Ostrovsky V.N. Towards a philosophy of approximations in the ‘exact’ sciences //Hyle
– international journal for philosophy of chemistry. 2005. Vol. 11. No. 2. P. 101–126.

89

• Научно оправданные аппроксимации – это не низшее в тео-риях, а отражение характеристик ее природы.

• Иерархия аппроксимаций создает уникальный путь воссоз-дания научных образов качественного характера. Они являются наиболее значимыми результатами научных исследований, кото-рые должны рассматриваться в философии науки в первую оче-редь.

• Так называемые количественные методы и качественные об-разы, которым мы обязаны аппроксимациям, дополняют друг друга в смысле принципа дополнительности Бора.

На наш взгляд, теория аппроксимаций Островского заслуживает высокой оценки. Именно поэтому мы уделяем ей особое внимание. Что касается нашей позиции, то она уже отмечалась выше. Мы рас-сматриваем аппроксимации как ступени внутринаучной трансдук-ции. В этой связи выясняются некоторые расхождения с теорией Островского.

Согласно точке зрения Островского, все основополагающие на-учные концепты являются аппроксимациями. В частности, само уравнение Шредингера является аппроксимацией, ибо в нем не учитываются релятивистские эффекты. Можно их учесть, но тогда выяснится, что не учли размеры частиц и т.д. Все принципы также являются аппроксимациями. По нашему мнению, аппроксимации занимают в трансдукции вполне определенное место, а именно, их час наступает тогда, когда мы переходим от принципов и законов к фактам: принципы – законы – факты. Крайне важно выразить ме-таморфозы трансдукции, ее концептуальные переключения.

Мир науки не сводится всего лишь к аппроксимациям. Любая теория проблематична, а потому она заслуживает быть поставлен-ной под огонь научной критики. Но нет никаких оснований ото-ждествлять проблематичность теории с наличием ступеней аппрок-симации в трансдукции.

В данном месте имеет смысл подчеркнуть целесообразность различения аппроксимаций и приближений. Их обычно отождест-вляют. Но в таком случае затрудняется постижение концептуально-го содержания трансдукции. Оперируя приближениями, исследова-тель сознательно, например, преследуя дидактические цели, отка-

90

зывается от наиболее развитой теории, которая, тем не менее, ви-тает перед его взором. Приближения – это, как правило, упроще-ния, отказ от рассмотрения определенных сторон изучаемой реаль-ности. Смысл же аппроксимаций состоит не в упрощениях, а в продолжении линии трансдукции, начатой предъявлением принци-пов и законов. Аппроксимации освобождают от заторов на линии трансдукции.

Это обстоятельство осознается лишь в последние годы. Ярким примером такого понимания является рассматриваемая теория Ва-лентина Островского. Исторически же случилось так, что аппрок-симации не отличали от приближений, их смысл истолковывался в буквальном соответствии с этимологий латинского слова approxi - mare, означающего приближение. Но в соответствии с научным строем теории аппроксимация выступает не приближением к зако-ну (уравнению), а разверткой его потенциала. Рост научного знания приводит к переоценке уже предпринятых в процессе трансдукции аппроксимаций, но это обстоятельство не должно вводить в заблу-ждения. Смысл аппроксимаций и приближений различен.

Валентин Островский очень точно характеризует природу ап-проксимаций на примере рассмотрения смысла аппроксимации Борна–Оппенгеймера, рассмотрения вопроса о наличии форм у мо-лекул и их движения по орбитам. Его линия рассуждений, которую он называет реалистической, состоит в непременном замыкании проводимых им рассуждений характеристикой фактического по-ложения дел. Это правильный способ аргументации, ибо недопус-тимо прерывать трансдукцию уже на подступах к осмыслению экс-периментальных результатов. В этой связи Островский относится критически к концепту теоретического (субъективного, или иде-ального) артефакта, который является всего лишь подспорьем в деятельности исследователя, не имеющего прямого отношения к химической реальности.

Аппроксимация Борна–Оппенгеймера учитывает различие масс ядер и электронов (М_я > > М _e) и их скоростей (v_e > > v_я). Если оба условия выполняются, то ядра считаются фиксированными, распо-ложенными друг от друга на определенном расстоянии. Но если не выполняется условие v_e > > v_я, например, применительно к некото-

91

рым возбужденным состояниям молекул, то упомянутое расстоя-ние перестает быть признаком атомов и молекул. Островский дока-зывает, что введение представления о признаках атомов и молекул всегда связано с некоторыми аппроксимациями, но все они не имеют абсолютного характера, ибо если они не соответствуют хи-мической реальности, то от них следует отказаться.

Исключительно большой интерес вызвало у ученых понятие квантовой орбиты. Некоторые методологи химической науки стали утверждать, что они не существуют¹, а являются всего лишь мате-матическими конструктами и, следовательно, не могут быть на-блюдаемыми². И в оценке вопроса о реальности квантовых орбит позиция Островского нам представляется весьма взвешенной. Он отмечает, что в рамках аппроксимации Хартри–Фока, согласно ко-торой каждый отдельный электрон движется под воздействием ус-редненного поля, образуемого нуклонами и другими электронами, представление о квантовых орбитах не только уместно, но и неиз-бежно. Оно имеет физический смысл. Что же касается наблюдений орбит, то они также возможны, например, в энергетическом при-ближении. Мы можем судить о признаках химической реальности не иначе, как на основании аппроксимаций. С другой стороны, на-учно оправданная аппроксимация в той или иной форме свидетель-ствует о чертах самой реальности.

По мнению Островского, философское осмысление темы ап-проксимаций предполагает обращение к принципу дополнительно-сти Нильса Бора. «“Точные” количественные методы и вдохнов-ленные интуицией аппроксимации образуют дополнительную пару в универсальном смысле дополнительных отношений, существую-щих, по Нильсу Бору, в обществе и природе. В этом двойственном отношении количественные методы представляют более объек-тивную сторону природы, тогда как качественные, порожденные аппроксимациями образы, остаются на субъективной стороне ин-терпретации природы исследователями. Очень часто мы прогрес-

¹ Ogilvie J.F. The origin of chemical bonds – there are no such things as orbitals //
Journal of chemical education. Vol. 67. P. 280–289.

² Scerri E.R. Have orbitals really been observed? // Journal of chemical education. 2000.
Vol. 77. P. 1492–1494.

92

сируем в науке благодаря развитию методов аппроксимации»¹. Не-сколько ранее Островский объясняет вводимую им дополнитель-ность следующим образом: чем «точнее» уравнения, тем меньше их объяснительная сила. И, наоборот, чем выше эвристический по-тенциал аппроксимаций, тем они менее «точные».

На наш взгляд, обращение Валентина Островского в попытке создать теорию аппроксимаций к принципу дополнительности Бора является философской ошибкой. Количественные и качественные определения не находятся в дополнительном, в смысле Бора, от-ношении друг к другу. Проще всего это можно показать, рассмот-рев любую химическую переменную, например, массу атома того или иного химического элемента m_i. В данном случае m – качество, а его i-я величина является количеством, m_i – некоторая мера. Здесь нет отношения, предполагаемого принципом Бора, согласно кото-рому одно уменьшается, а другое, наоборот, увеличивается. Суть дела не меняется при переходе к уравнениям, ибо в них фигурирует все те же переменные. Чем точнее решения, тем основательнее на-ши знания о химической реальности. В данном случае нет основа-ний брать слово точнее в кавычки. Островский же всегда не забы-вает ставить слова точная (например, наука), точное (в частности, решение) в кавычки. В этом, как нам представляется, проявляется его осторожность, ибо он отлично понимает, что имеющих хими-ческий смысл точных решений не добиться без аппроксимаций. Но, обратившись к принципу Бора, он, забыв о необходимости научной бдительности, сопоставляет точное, количественное (в кавычках) с качественным (без кавычек). Только в этом случае получается столь привлекательная для него дополнительность. Несостоятельна также попытка Островского прописать объективное в основном по ведомству количества, а субъективное по ведомству качества. Эта попытка декларативна, ибо категории субъективного и объективно-го рассматриваются вскользь, без должной аргументации.

Отмеченные недостатки теории аппроксимаций Островского не отменяют ее несомненные достоинства. В его интерпретации ап-проксимации выступают как далеко не рядовые, а основополагаю-

¹ Ostrovsky V.N. towards a philosophy of approximations in the ‘exact’ sciences // Hyle – international journal for philosophy of chemistry. 2005. Vol. 11. No. 2. P. 121.

93

щие концепты научной теории. Этот вывод, безусловно, заслужи-вает всяческого внимания. Но согласно нашей аргументации, если мы хотим понять методы аппроксимации в систематической фор-ме, то их следует рассматривать в качестве серединного звена трансдукции. Впрочем, остаются существенные трудности в пони-мании внутреннего механизма трансдукции, в том числе и приме-нительно к аппроксимациям. На наш взгляд, ее следует понимать как разновидность вероятностно-игровой стратегии.

Рассмотрим еще одну интерпретацию аппроксимаций, а именно в качестве характеристики ограниченных возможностей познания. По мнению знаменитого американского физика и космолога Джейм-са Хартла, наше познание имеет пределы троякого рода: а) различие между наблюдаемым и предсказываемым (имеется в виду, что на-блюдать мы можем очень сложные явления, а предсказывать отно-сительно простые, ибо законы просты), б) невозможность обеспе-чить желаемый объем расчетов, в) ограниченные возможности по-знания теорий посредством индукции и их проверки¹.

Отталкиваясь от идей Хартла, итальянский химик Андреа Тон-тини, стремится установить пределы химического познания, обра-щая особое внимание на невозможность синтезировать желаемую химическую субстанцию². Как нам представляется, и Хартл, и Тон-тини не обращают должного внимания на одну крайне существен-ную тонкость. Так называемые ограничительные теоремы указы-вают не на границы возможностей наших познавательных способ-ностей, а на устройство изучаемой реальности. Соотношение неоп-ределенностей Гейзенберга характеризует сам химический мир, а не наши познавательные способности. Прогресс познания свиде-тельствует о его неограниченных возможностях. Ни в физике, ни в химии не указаны такие явления, познание которых недоступно человеку. Дилемма «мир сложен – законы просты» представляет собой не научное, а метафизическое противопоставление. На осно-

¹ Hartle J.B. Scientific knowledge from the perspective of quantum cosmology // Casti
J.L., Karlqvist A. (eds.). Boundaries and barriers: on the limits to scientific knowledge.
Addison-Wesley, 1996. P. 116–117.

² Tontini A. On the limits of chemical knowledge // Hyle – international journal for phi­
losophy of chemistry. 2004. V. 10. No.1. P. 23–46.

94

ве научного материала допустимо лишь сделать вывод, что слож-ный мир познается посредством научных законов, а само познание лишено каких-либо границ. Познание имеет незаконченный харак-тер, это верно, но отсюда не следует вывод, что оно бессильно пе-ред чем-либо. Аппроксимации выражают особенности изучаемых явлений, а не наше бессилие перед их сложностью.

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: