Пространственная сходящаяся система сил

Пространственная сходящаяся система сил — система сил, не лежащих в одной плоскости, линии действия которых пересе­каются в одной точке.

Равнодействующую пространственной системы сил можно опре­делить, построив пространственный многоугольник (рис. 7.3),

     

Доказано, что равнодействующая системы сходящихся сил при­ложена в точке пересечения линий действия сил системы.

Модуль равнодействующей пространственной системы сходя­щихся сил можно определить аналитически, использовав метод про­екций.

52                                                                         Лекция 7

Совмещаем начало координат с точкой пересечения линий дей­ствия сил системы. Проецируем все силы на оси координат и сум­мируем соответствующие проекции (рис. 7.4). Получим проекции равнодействующей на оси координат:                                   

                                      

 

               

 

Модуль равнодействующей системы сходящихся сил определим по формуле    

                                     

Направление вектора  равнодействующей   определяется   углами

           

            Произвольная пространственная система сил

Приведение произвольной пространственной системы сил к центру О

Дана пространственная система сил (рис. 7.5а). Приведем ее к центру О.

Силы необходимо параллельно перемещать, при этом образует­ся система пар сил. Момент каждой из этих пар равен произведению модуля силы на расстояние до центра приведения.

                 Тема 1.5. Пространственная система сил                                53

В центре приведения возникает пучок сил, который может быть заменен суммарной силой (главный вектор) - F _гл (рис. 7.56).

Моменты пар сил можно сложить, получив суммарный момент системы М_гл (главный момент).

Таким образом, произвольная пространственная система сил приводится к главному вектору и главному моменту.

               

 

Главный вектор принято раскладывать на три составляющие, направленные вдоль осей координат (рис. 7.5в).

Обычно суммарный момент раскладывают на составляющие: три момента относительно осей координат.

Абсолютное значение главного вектора (рис. 7.56) равно

 

                     

54                                                     Лекция 7

         Уравнения равновесия пространственной системы сил

При равновесии F_гл= 0; М_гл = 0. Получаем шесть уравнений  равновесия:

            

Шесть уравнений равновесия пространственной системы сил со­ответствуют шести независимым возможным перемещениям тела в пространстве: трем перемещениям вдоль координатных осей и трем вращениям вокруг этих осей.

Примеры решения задач

Пример 1. На тело в форме куба с ребром а — 10 см действуют три силы (рис. 7.6). Определить моменты сил относительно осей координат, совпадающих с ребрами куба.

                                        

Решение

1. Моменты сил относительно оси Ох:                                      

 

2. Моменты сил относительно оси Оу:

  

                Тема 1.5. Пространственная система сил                                    55

Пример 2. На горизонтальном валу закреплены два колеса, r1 = 0, 4 м; гз = 0, 8 м. Остальные размеры — на рис. 7.7. К коле­су 1 приложена сила F1, к колесу 2 — силы F ₂ = 12 кН, F 3 = 4кН.

Определить силу F1и реакции в шарнирах А и В в состоянии равновесия.

Напомним:

1. При равновесии вы­полняются шесть рав­нений равновесия.

Уравнения моментов следует составлять от­носительно опор А и В.

2. Силы F ₂ \\ Ox; F 1\\ Oy; F 3 \\Оу.

Моменты этих сил относительно соответ­ствующих осей равны нулю.

3. Расчет следует завершить проверкой, ис­пользовав дополнительные уравнения равновесия. 

                              

 

Решение

1. Определяем силу F 1, составив уравнение моментов сил отно­сительно оси Oz:

              

2. Определяем реакции в опоре А. На опоре действуют две со­ставляющие реакции ( Y а; Х A ).

Составляем уравнение моментов сил относительно оси Ох' (в опоре B).

Поворот вокруг оси Ох' не происходит:

                  

56                                                Лекция 7

Знак «минус» означает, что реакция направлена в противоположную сторону.

Поворот вокруг оси Оу' не происходит, составляем уравнение моментов сил относительно оси Оу' (в опоре В):

         

 

3. Определяем реакции в опоре В. На опоре действуют две составляющие реакции (Х В; Yb ). Составляем уравнение моментов сил
относительно оси Ох (опора А):

               

Составляем уравнение моментов относительно оси Оу (опора А):

                   

 

4. Проверка. Используем уравнения проекций:

              

Расчет выполнен верно.

 

Контрольные вопросы и задания

1. Запишите формулы для расчета главного вектора простран­ственной системы сходящихся сил.

              Тема 1.5. Пространственная система сил                                   57

2. Запишите формулу для расчета главного вектора простран­ственной системы произвольно расположенных сил.

3. Запишите формулу для расчета главного момента простран­ственной системы сил.

4. Запишите систему уравнений равновесия пространственной системы сил.

5. Какое из уравнений равновесия нужно использовать для опре­деления реакции стержня R 1 (рис. 7.8)?

                    

 

6. Определите главный момент системы сил (рис. 7.9). Точка
приведения — начало координат. Координатные оси совпадают с
ребрами куба, ребро куба равно 20 см; F 1 = 20 кН; F 2 = 30 кН.

                   

 

7. Определите реакцию Х В (рис. 7.10). Вертикальная ось со
шкивом нагружена двумя горизонтальными силами. Силы F 1 и F 2   параллельны оси Ох. АО = 0, 3 м; О B = 0, 5 м; F 1 = 2 кН; F 2 = 3, 5 кН.

Рекомендация. Составить уравнение моментов относительно оси Оу' в точке А.

58                                                   Лекция 7

8. Ответьте на вопросы тестового задания.

Тема 1.5. Статика.

Пространственная система сил

             

          Тема 1.5. Пространственная система сил                                        59

                 

60                                                      Лекция 8

ЛЕКЦИЯ 8

Тема 1.6.   Центр   тяжести

Иметь представление о системе параллельных сил и центре системы параллельных сил, о силе тяжести и центре тяжести.

Знать методы для определения центра тяжести тела и фор­мулы для определения положения центра тяжести плоских фигур.

Уметь определять положение центра тяжести простых гео­метрических фигур, составленных из стандартных профилей.

Сила   тяжести

Сила тяжести — равнодействующая сил притяжения к Земле, она распределена по всему объему тела. Силы притяжения, прило­женные к частицам твердого тела, образуют систему сил, линии действия которых сходят­ся в центре Земли (рис. 8.1). Поскольку ради­ус Земли значительно больше размеров лю­бого земного тела, силы притяжения можно  считать параллельными.                                                                             

                                     

           Точка  приложения  силы   тяжести

Для определения точки приложения силы тяжести (равнодей­ствующей параллельных сил) используем теорему Вариньона о мо­менте равнодействующей:

Момент равнодействующей относительно оси равен алгебра­ической сумме моментов сил системы относительно этой оси.

Изображаем тело, составленное из некоторых частей, в про­странственной системе координат (рис. 8.2).

Тело состоит из частей, силы тяжести которых q k приложены в центрах тяжести (ЦТ) этих частей.

Пусть равнодействующая (сила тяжести всего тела) приложена в неизвестном пока центре С.

ХС, УС, ZС  — координаты центра тяжести С.

Xk, У k и Zk  — координаты центров тяжести частей тела.

                   Тема 1.6. Центр тяжести                                             61

Из теоремы Вариньона следует:                   

              

        Центр тяжести однородных плоских тел         

                               (плоских фигур)

Очень часто приходится определять центр тяжести различных плоских тел и геометрических плоских фигур сложной формы. Для плоских тел можно записать: V = Ah, где А — площадь фигуры, h — ее высота.

Тогда после подстановки в записанные выше формулы получим:

 

            

62                                                                  Лекция 8

            

Координаты центра тяжести сечения можно выразить через статический момент:

        

Оси, проходящие через центр тяжести, называются центральны­ми осями. Статический момент относительно центральной оси равен нулю.

           Определение координат центра тяжести

                                    плоских фигур

Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии.

Центр тяжести стержня находится на середине высоты. Поло­жения центров тяжести простых геометрических фигур могут быть рассчитаны по известным формулам (рис. 8.3: а) — круг; б) — ква­драт, прямоугольник; в) — треугольник; г) — полукруг).

 

           

 

При решении задач используются следующие методы:

                     Тема 1.6. Центр тяжести                                             63

1) метод симметрии: центр тяжести симметричных фигур находится на оси симметрии;

2) метод разделения: сложные сечения разделяем на несколько
простых частей, положение центров тяжести которых легко определить;

3) метод отрицательных площадей: полости (отверстия) рассматриваются как часть сечения с отрицательной площадью.

       Примеры   решения   задач

Пример 1. Определить положение центра тяжести фигуры, представленной на рис. 8.4.

Решение

               

 

Пример 2. Определить координаты центра тяжести составного сечения. Сечение состоит из листа и прокатных профилей (рис. 8.5).

Примечание. Часто рамы сваривают из разных профилей, создавая необходимую конструкцию. Таким образом, уменьшается расход металла и образуется конструкция высокой прочности.

Для стандартных прокатных профилей собственные геометри­ческие характеристики известны. Они приводятся в соответствую­щих стандартах.

64                                                              Лекция 8

 

                   

Решение

1. Обозначим    фигуры   номерами  и   выпишем   из   таблиц   необходимые данные:

1 — швеллер № 10 (ГОСТ 8240-89); высота h = 100 мм; ширина полки b = 46 мм; площадь сечения А 1 = 10, 9 см²;

2 — двутавр № 16 (ГОСТ 8239-89); высота 160 мм; ширина пол­ки 81 мм; площадь сечения А 2 = 20, 2 см²;

3 — лист 5x100; толщина 5 мм; ширина 100 мм; площадь сече­ния Аз = 0, 5 • 10 = 5 см².

2. Координаты   центров  тяжести  каждой  фигуры   можно   опреде­лить   по чертежу.

Составное сечение симметрично, поэтому центр тяжести нахо­дится на оси симметрии и координата X с = 0.

 

 

                     

 

                Тема 1.6. Центр тяжести                                                 65

               Контрольные  вопросы  и  задания

1. Почему силы притяжения к Земле, действующие на точки тела, можно принять за систему параллельных сил?

2. Запишите формулы для определения положения центра тя­жести неоднородных и однородных тел, формулы для определения положения центра тяжести плоских сечений.

3. Повторите формулы для определения положения центра тяже­сти простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции и половины круга.

4. Что называют статическим моментом площади?

5. Вычислите статический момент данной фигуры относительно оси Ox. h = 30 см; b = 120 см; с = 10 см (рис. 8.6).

 

           

6. Определите координаты центра тяжести заштрихованной фигуры (рис. 8.7). Размеры даны в мм.

7. Определите координату у фигуры 1 составного сечения
(рис. 8.8).

При решении воспользоваться справочными данными таблиц ГОСТ «Сталь горячекатанная» (см. Приложение 1).

 

                    

 

 

66                                                      Лекция 9

ЛЕКЦИЯ 9

              Тема 1.7. Основные понятия кинематики.  

                                 Кинематика точки

Иметь представление о пространстве, времени, траектории, пути, скорости и ускорении.

Знать способы задания движения точки [естественный и координатный).

Знать обозначения, единицы измерения, взаимосвязь кинема­тических параметров движения, формулы для определения скоро­стей и ускорений (без вывода).

Кинематика рассматривает движение как перемещение в про­странстве. Причины, вызывающие движение, не рассматриваются. Кинематика устанавливает способы задания движения и определяет методы определения кинематических параметров движения.

           Основные  кинематические   параметры

Траектория

Линию, которую очерчивает материальная точка при движении в пространстве, называют траекторией.

Траектория может быть прямой и кривой, плоской и простран­ственной линией.

Уравнение траектории при плоском движении: у = f ( x ).

Пройденный путь

Путь измеряется вдоль траектории в направлении движения. Обозначение — S, единицы измерения — метры.

Уравнение движения точки

Уравнение, определяющее положение движущейся точки в зави­симости от времени, называется уравнением движения.

Положение точки в каждый момент времени можно опреде­лить по расстоянию, пройденно­му   вдоль   траектории   от   некоторой   неподвижной   точки,   рассмат-

                                

                    Тема 1.7. Основные понятия кинематики                                    67

риваемой как начало отсчета (рис. 9.1). Такой способ задания дви­жения называется естественным.

Таким образом, уравнение движения можно представить в виде S = f ( t ). Положение точки можно также определить, если известны ее координаты в зависимости от времени (рис. 9.2). Тогда в случае движения на плоскости должны быть заданы два уравнения:

В случае пространственного движе­ния добавляется и третья координата z= f3( t ).

Такой способ задания движения на­зывают координатным.       

                                          

Скорость движения

Векторная величина, характеризующая в данный момент бы­строту и направление движения по траектории, называется скоро­стью.

Скорость — вектор, в любой момент направленный по каса­тельной к траектории в сторону направления движения (рис. 9.3).                

                                       

Если точка за равные промежутки времени проходит равные расстояния, то движение называ­ют равномерным. Средняя скорость на пути  AS определяется как         

 где AS — пройденный путь за время Д*; At — промежуток времени.

Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то движение называют неравномерным.

В этом случае скорость — величина переменная и зависит от времени v = f ( t ).

При рассмотрении малых промежутков времени (∆ t —► 0) сред­няя скорость становится равной истинной скорости движения в дан­ный момент. Поэтому скорость в данный момент определяют как

68                                                      Лекция 9

 

производную пути по времени:

                                                          

За единицу скорости принимают 1 м/с. Иногда скорость измеряют в км/ч,

          1000
1 км/ч = ------ = 0, 278 м/с.

                3600

Ускорение точки

Векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и направлению, называется ускорением точки.

Скорость точки при перемещении из точки М 1 в точку M 2 ме­няется по величине  и  направлению. Среднее  значение  ускорения  за   этот  промежуток       

                                     

При рассмотрении бесконечно ма­лого промежутка времени среднее ускорение превратится в ускорение в  данный момент:

                                                              

Обычно для удобства рассматривают две взаимно перпен­дикулярные составляющие ускорения: нормальное и касательное (рис. 9.5).

Нормальное ускорение а_п характеризует изменение скорости по направлению и определяется как

         

где г — радиус кривизны траектории в данный момент времени.

Нормальное ускорение всегда направлено перпендикулярно ско­рости к центру  дуги.

Касательное ускорение  аt   характеризует  изменение  скорости  по величине  и  всегда   направлено   по  касательной  к  траектории;  при ускорении   его   направление   совпадает  с   направлением   скорости,  а

              Тема 1.7. Основные понятия кинематики                                     69

при замедлении оно направлено противоположно направлению век­тора скорости.

Формула для определения касательного ускорения имеет вид:

            

Значение полного ускорения определяется как
                                                                                    (рис. 9.6).                                                                                                                               

 

 

Примеры решения задач

Пример 1. Дано уравнение движения точки: S = 0, 36t² + 0, 18t. Определить скорость точки в конце третьей секунды движения и среднюю скорость за первые 3 секунды.

Решение

Пример 2.

Точка движется по кривой радиуса r = 10 м со­гласно уравнению S = 2, 5t² + 1, 2t + 2, 5 (рис. 9.6).

70                                                                         Лекция 9

Определить полное ускорение точки в конце второй секунды движения и указать направление касательной и нормальной соста­вляющих ускорения в точке М.

                                        Решение

                                                               d v

     1.  Касательное ускорение определяется как at = —.

dS                              d t

   Уравнение скорости: v = ----.

dt

  Скорость будет равна v = 2 • 2, 5 t + 1, 2; v = 5 t + 1, 2 (м/с).

Касательное ускорение: at = v' = 5 м/с² .

Вывод: касательное ускорение не зависит от времени, оно по­стоянно.

                                                                                           v²

2. Нормальное ускорение: а_п = —.

                                                                                           r

 Скорость на второй секунде будет равна v 2 = 5 ∙ 2+1, 2 = 11, 2 м/с.

  (11, 2)²

 Величина нормального ускорения: аn2 = ——— = 12, 54 м/с² .

                                                                                                                              10

3. Полное ускорение: а = √ a t² + an² .
Полное ускорение в конце второй секунды:
а₂ = √ 5² + 12, 54² = 13, 5 м/с².

4. Нормальное ускорение направлено перпендикулярно скорости к центру дуги.

Касательное ускорение направлено по касательной к кривой и совпадает с направлением скорости, т. к. касательное ускорение — положительная величина (скорость растет).

         Контрольные вопросы и задания

1. Запишите в общем виде закон движения в естественной и ко­ординатной форме.

2. Что называют траекторией движения?

3. Как определяется скорость движения точки при естественном способе задания движения?

4. Запишите формулы для определения касательного, нормаль­ного и полного ускорений.

5. Что характеризует касательное ускорение и как оно напра­влено по отношению к вектору скорости?

6. Что характеризует и как направлено нормальное ускорение?

                     Тема 1.8. Кинематика точки                                        71

             ЛЕКЦИЯ 10

          Тема 1.8.  Кинематика   точки

Иметь представление о скоростях средней и истинной, об ускорении при прямолинейном и криволинейном движениях, о раз­личных видах движения точки.

Знать формулы (без вывода) и графики равномерного и равно­переменного движений точки.

Уметь определять параметры движения точки по заданному закону движения, строить и читать кинематические графики.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: