Анализ видов  и кинетических  

   параметров движений

Равномерное движение

Равномерное движение — это движение с постоянной скоро­стью:

              v = const.

Для прямолинейного равномерного движения (рис. 10.1а)

                                    

Полное ускорение движения точ­ки равно нулю: а = 0.

                               

При криволинейном равномер­ном движении (рис. 10.16)

        

Полное ускорение равно нормальному ускорению: а = а_п.

Уравнение (закон) движения точки при равномерном движении можно получить, проделав ряд несложных операций.

Так как v = const, закон равномерного движения в общем виде является уравнением прямой: S = So + vt, где So — путь, пройденный до начала отсчета.

72                                                                         Лекция 10

Равнопеременное движение

Равнопеременное движение — это движение с постоянным ка­сательным ускорением:                                

Для прямолинейного равнопеременного движения

          

Полное   ускорение     равно   касательному  ускорению.  Криволинейное равнопеременное   движение (рис. 10.2):

        

получим значение скорости при равнопеременном движении

                

После интегрирования будем иметь закон равнопеременного движения в общем виде, представляющий уравнение параболы:

                

где  v0 — начальная скорость движения;

S0 — путь, пройденный до начала отсчета;

a t — постоянное касательное ускорение.

Неравномерное движение

При неравномерном движении численные значения скорости и ускорения меняются.

Уравнение неравномерного движения в общем виде представля­ет собой уравнение третьей S = f ( t ³ ) и выше степени.

                                                             Тема 1.8. Кинематика точки                                       73

     Кинематические графики

  Кинематические графики — это графики изменения пути, ско­рости и ускорений в зависимости от времени.

Равномерное движение (рис. 10.3)

 

               

Равнопеременное движение (рис. 10.4)

 

 

           

                 

                               Примеры решения задач

Пример 1. По заданному закону движения S = 10 + 20t — 5t² ([ S ] = м; [ t ] = с) определить вид движения, начальную скорость и касательное ускорение точки, время до остановки.

(Рекомендуется обойтись без расчетов, использовать метод сравнения заданного уравнения с уравнениями различных видов дви­жений в общем виде.)

     Решение

1. Вид движения: равнопеременное

74                                                                              Лекция 10

2. При сравнении уравнений очевидно, что

— начальный путь, пройденный до начала отсчета 10 м;

— начальная скорость 20 м/с;

                                                                                                          a t

— постоянное касательное ускорение  — = — 5 м/с² ; at =—10 м/с² .

                                                                                                                                       2

— ускорение отрицательное, следовательно, движение замедлен­ное (равнозамедленное), ускорение направлено в сторону, противо­положную направлению скорости движения.

3. Можно определить время, при котором скорость точки будет равна нулю:

                                                                   20

v = S ´ = 20 - 2 • 5t; v = 20 – 10t; v = 0; t = — = 2 с.

                                                                   10

Примечание. Если при равнопеременном движении скорость растет, значит, ускорение — положительная величина, гра­фик пути — вогнутая парабола. При торможении скорость падает, ускорение (замедление) — отрицательная величина, график пути — выпуклая парабола (рис. 10.4).

Пример 2. Точка движется по желобу из точки А в точку D (рис. 10.5).

   Как изменятся касательное и нормальное ускорения при прохождении точки через В и С?

    Скорость движения считать постоянной. Радиус участка АВ = 10 м, радиус участка ВС= 5м.

                                                

Решение

1. Рассмотрим участок АВ. Касательное ускорение равно нулю (г> = const).

   Нормальное ускорение при переходе через точку В увеличивается в 2 раза, оно меняет направление, т. к. центр дуги АВ не совпадает с центром дуги ВС.

2. На участке ВС:                   

— касательное ускорение равно нулю: at = 0;

— нормальное ускорение при переходе через точку С меняется: до точки С движение вращательное, после точки С движение стано­вится прямолинейным, нормальное напряжение на прямолинейном участке равно нулю.

3. На участке CD полное ускорение равно нулю.

                                                              Тема 1.8. Кинематика точки                                             75

Пример 3. По заданному графику скорости найти путь, прой­денный за время движения (рис. 10.6).

                  

 

Решение

1. По графику следует рассмотреть три участка движения.

Первый участок — разгон из состояния покоя (равноускоренное движение).

    

Второй участок — равномерное движение: v = 8 м/с; а2 = 0.

Третий участок — торможение до остановки (равнозамедленное движение).

76                                                         Лекция 10

Пример 4. Тело, имевшее начальную скорость 36 км/ч, про­шло 50 м до остановки. Считая движение равнозамедленным, опре­делить время торможения.

Решение

1. Записываем уравнение скорости для равнозамедленного дви­жения:

          Контрольные вопросы и задания

1. Запишите формулу ускорения при прямолинейном движении.

2. Запишите формулу ускорения (полного) при криволинейном движении.

3. Тело скатывается по желобу (рис. 10.7). Какие параметры движения меняются при переходе через точку В и почему?

Ответы:

1. а_п.

2. а t.

3. v.

4. Параметры движения не меняются.                                                                             

                                                          

4. По заданному уравнению движения точки S = 25 + 1, 5t + 6t²определите вид движения и без расчетов, используя законы движе­ния точки, ответьте, чему равны начальная скорость и ускорение.

                      Тема 1.8. Кинематика точки                                   77

5. По заданному уравнению движения точки S = 22t — 4t ² по­стройте графики скорости и касательного ускорения.

6. По графику скоростей точки опреде­лите путь, пройденный за время движения (рис. 10.8).

7. Точка движется по дуге. Охарактеризуйте движение точки (рис. 10.9).

                                                 

                                                                                                                     

              

8. Ответьте на вопросы тестового задания.

Темы 1.7, 1.8. Кинематика.

Кинематика точки

    

78                                                                                       Лекция 10

 

 

 

             Тема 1.9. Простейшие движения твердого тела                              79

           ЛЕКЦИЯ 11

              Тема 1.9. Простейшие движения твердого тела

Иметь представление о поступательном движении, его осо­бенностях и параметрах, о вращательном движении тела и его параметрах.

Знать формулы для определения параметров поступательного и вращательного движений тела.

Уметь определять кинематические параметры тела при по­ступательном и вращательном движениях, определять параме­тры любой точки тела.

Поступательное  движение

Поступательным называют такое движение твердого тела, при котором всякая прямая линия на теле при движении остается парал­лельной своему начальному положению (рис. 11.1, 11.2).

При поступательном движении все точки тела движутся одина­ково: скорости и ускорения в каждый момент одинаковы. Поэтому для описания движения тела можно рассматривать движение одной его точки, обычно центра масс.

Поступательное движение может быть прямолинейным и кри­волинейным.

 

               

 

Вращательное движение

При вращательном движении все точки тела описывают окруж­ности вокруг общей неподвижной оси.

80                                                                        Лекция 11

Неподвижная ось, вокруг которой вращаются все точки тела, называется осью вращения.

При этом каждая точка движется по окружности, радиус кото­рой равен расстоянию точки до оси вращения. Точки на оси враще­ния не перемещаются.

Для описания вращательного движения тела вокруг непо­движной оси можно использовать только угловые параметры (рис, 11.3):

φ — угол поворота тела, [φ ] = рад;

ω — угловая скорость, определяет изменение угла поворота в единицу времени, [ω ] = рад/с.

                                 

Для определения положения тела в любой момент времени ис­пользуется уравнение φ = f ( t ).

Следовательно,  для   определе­ния   угловой   скорости   можно   пользоваться

                         d φ

выражением ω = —.

                         d t

Иногда для оценки быстро­ты вращения используют угловую частоту вращения п, которая оце­нивается в оборотах в минуту.

Угловая скорость и частота вращения физически близкие ве­личины  ω  

Изменение угловой скорости во времени определяется угловым ускорением

           Частные случаи вращательного движения

Равномерное вращение (угловая скорость постоянна):

      

Уравнение (закон) равномерного вращения в данном случае име­ет вид:

          Тема 1.9. Простейшие движения твердого тела                           81

 

              

где φ 0 — угол поворота до начала отсчета.

Кинематические графики для этого вида движения изображены на рис. 11.4.

                        

Равнопеременное вращение (угловое ускорение постоянно):

Уравнение (закон) равнопеременного вращения

        

где ω 0— начальная угловая скорость.

Угловое ускорение при ускоренном движении — величина поло­жительная; угловая скорость будет все время возрастать.

Угловое ускорение при замедленном движении — величина от­рицательная; угловая скорость убывает.

Для данного движения кинематические графики представлены, на рис. 11.5.

                 

                

      Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Тело вращается вокруг точки О. Определим параметры дви­жения точки А, расположенной на расстоянии  rA от оси вращения (рис. 11.6, 11.7).

82                                                             Лекция 11

 

             

 

Путь точки A: S a = φ r A.

  Линейная скорость точки A: v A = ω r A.

Ускорения точки A: at A = ε r A — касательное; а_п А = ω ² r A — нормальное, где r A— радиус окружности, траектории точки А.

Примеры решения задач

Пример 1. По заданному графику угловой скорости (рис. 11.8) определить вид вращательного движения.

 

           

Решение

1. Участок 1 — неравномерное ускоренное движение, ω = φ ´; ε = ω '.

2. Участок 2 — скорость постоянна — движение равномерное, ω = const.

3. Участок 3 — скорость  убывает  равномерно — равнозамедленное  движение,   ε = ω ' < 0.

               Тема 1.9. Простейшие движения твердого тела                                 83

Пример 2. Ротор электродвигателя вращается со скоростью, описываемой уравнением  ω = 2π t. Определить вид движения.

       Решение

1. Анализируем выражение для скорости: скорость меняется и зависит от времени линейно. Следовательно, угловое ускорение — постоянно, ε = ω ´ = 2ω π = const.

2. Движение равнопеременное (равноускоренное, т. к. ускорение положительно).

Пример 3. Тело вращалось равноускоренно из состояния покоя и сделало 360 оборотов за 2 мин. Определить угловое ускорение.

       Решение

1. Один оборот равен 2π радиан. Следовательно:

      

2. Закон равнопеременного вращательного движения

Пример 4. Тело вращалось с угловой частотой 1200 об/мин. Затем движение стало равнозамедленным, и за 30 секунд скорость упала до 900 об/мин. Определить число оборотов тела за это время и время до полной остановки.

      Решение

1. Построить график изменения скорости за 30 с (рис. 11.9). Определяем угловую скорость вращения тела:

      

84                                                                           Лекция 11

Определяем угловое ускорение:

                 

2. Определяем время до полной остановки. Скорость при остановке равна нулю, ω = 0.

   

 

Пример 5. Маховое колесо вращается равномерно со скоро­стью 120 об/мин (рис. 11.10). Радиус колеса 0, 3 м. Определить ско­рость и полное ускорение точек на ободе колеса, а также скорость точки, находящейся на расстоянии 0, 15 м от центра.

                    Решение

 

             Тема 1.9. Простейшие движения твердого тела                         85

 

  Касательное ускорение точки A a tA = 0; нормальное ускорение точки А а_{п A} = ω ² r A; а_{п A} = (12, 56)² • 0, 3 = 47, 3м/с².

  5. Полное ускорение точек на ободе колеса

           

 

    Контрольные вопросы  и задания

1. Какими кинематическими параметрами характеризуется по­ступательное движение и почему?

2. Запишите уравнение равномерного поступательного движе­ния твердого тела.

3. Запишите уравнение равнопеременного поступательного дви­жения твердого тела.

4. Запишите уравнения равномерного и равнопеременного вра­щательного движений твердого тела.

5. Задано уравнение движения тела S = f ( t ). Как определяют скорость и ускорение?

6. Для заданного закона (уравнения) движения φ = 6, 28 + 12 t + +3t² выберите соответствующий кинематический график движения (рис. 11.11).

 

                                        

 

7. Для движения, закон которого задан в вопросе б, определите
угловое ускорение в момент t = 5 с.

86                                                      Лекция 12

ЛЕКЦИЯ 12

      Тема 1.10. Сложное движение точки.

          Сложное движение твердого тела

Иметь представление о системах координат, об абсолютном, относительном и переносном движениях.

Знать разложение сложного движения на относительное и переносное, теорему сложения скоростей.

Знать разложение плоскопараллельного движения на посту­пательное и вращательное, способы определения мгновенного цен­тра скоростей.

Основные   определения

Сложным движением считают движение, которое можно разло­жить на несколько простых. Простыми движениями считают посту­пательное и вращательное.

Для рассмотрения сложного движения точки выбирают две си­стемы отсчета: подвижную и неподвижную.

Движение точки (тела) относительно неподвижной системы от­счета называют сложным, или абсолютным.

Подвижную систему отсчета обычно связывают с движущимся телом. Движение подвижной системы отсчета относительно непо­движной называют переносным.

Движение материальной точки (тела) по отношению к подвиж­ной системе называют относительным.

Примером может служить движение человека по эскалатору ме­тро. Движение эскалатора — переносное движение, движение чело­века вниз или вверх по эскалатору — относительное, а движение по отношению к неподвижным стенам станции — сложное (абсолют­ное) движение.

При решении задач используют теорему о сложении скоростей:

При сложном движении точки абсолютная скорость в ка­ждый момент времени равна геометрической сумме переносной ( v_e ) и относительной ( v_r ) скоростей:

а — угол между векторами v_е и v_r

               Тема 1.10. Сложное движение точки                                          87

     Плоскопараллельное движение твердого тела

Плоскопараллельным, или плоским, называется такое движение твердого тела, при котором все точки тела перемещаются парал­лельно некоторой неподвижной в рассматриваемой системе отсчета плоскости.

Плоскопараллельное движение мож­но изучать, рассматривая любое плос­кое сечение тела, параллельное непо­движной плоскости, называемой основной (рис. 12.1).

Все точки тела, расположенные на пря­мой, перпендикулярной к основной плос­кости, движутся одинаково.

Плоскопараллельное движение изуча­ется двумя методами: методом разложе­ния сложного движения на поступатель­ное и вращательное и методом мгновен­ных центров скоростей.

                                     

Метод разложения сложного движения на поступа­тельное и вращательное

Плоскопараллельное движение раскладывают на два движения: поступательное вместе с некоторым полюсом и вращательное от­носительно этого полюса.

Разложение используют для определения скорости любой точки тела, применяя теорему о сложении скоростей (рис. 12.2).

                   

Точка    А    движется    вместе    с    точкой    В, а    затем    поворачивается

88                                                                  Лекция 12

вокруг В с угловой скоростью ш, тогда абсолютная скорость точки А будет равна                             

                           

       Примером плоскопараллельного движения может быть движе­ние колеса на прямолинейном участке дороги (рис. 12.3).

                        

    Скорость точки    М       v М = v e + v r,

v_e — скорость центра колеса переносная;

v_r — скорость вокруг центра относительная.

уОх — неподвижная система координат,

у 1 0 1 Х 1 — подвижная система координат, связанная с осью колеса.

        Метод  определения  мгновенного    центра    скоростей

  Скорость любой точки тела можно определять с помощью мгновенного центра скоростей. При этом сложное движение пред­ставляют в виде цепи вращений вокруг разных центров.

  Задача сводится к определению положения мгновенного центра вращений (скоростей) (рис. 12.4).

                          

   Мгновенным центром скоростей (МЦС) является точка на плоскости, абсолютная скорость которой в дан­ный момент равна нулю.

   Вокруг этой точки тело совершает поворот со скоростью ω.

    Скорость точки А в данный мо­мент равна    v a = ω OA,

 т.к. va — линейная скорость точки А, вращающейся вокруг МЦС.

    Существуют три способа определения положения мгновенного центра скоростей.

   Первый способ. Известна скорость одной точки тела v a  и угловая скорость вращения тела ω (рис. 12.5).

Точку О находим на перпендикуляре к вектору скорости v a.

        Тема 1.10. Сложное движение точки                                        89

       

Второй способ. Известны скорости двух точек тела v a и vB они не параллельны (рис. 12.6).

Проводим из точек А и В два перпендикуляра к известным век­торам скоростей.

      На пересечении перпендикуляров находим МЦС. Далее можно найти скорость любой точки

Третий способ. Известны скорости двух точек тела, и они па­раллельны (v a ║ vB) (рис. 12.7).

                

Соединяем концы векторов, МЦС находится на пересечении ли­нии, соединяющей концы  векторов  с  линией  АВ  ( рис. 12.7 ). При  поступательном движении  тела (рис. 12.7в) МЦС отсутствует.

90                                                                       Лекция 12

Примеры  решения  задач

Пример 1. Рассмотрим механизм, в котором стержень ОА вра­щается вокруг точки О со скоростью ω. Вдоль стержня перемеща­ется ползун М со скоростью v m (рис. 12.8). Определить абсолютную скорость точки М.

                                            

Решение

      1. Относительное движение — вдоль стержня; скорость v_r = v m.

       2. Переносное движение — вращение стержня; скорость v_e = ω ОМ.

       3. Скорость абсолютного движения

                                                                              

      Пример 2. Стержень А В соскальзывает вниз, опираясь концами о стену и пол (рис. 12.9). Длина стержня 1, 5 м; в момент, изображенный на чертеже, скорость точки В v b = 3 м/с. Найти скорость точки А.

                               Решение

1. Найдем положение МЦС. Скорости точек А и В направлены
вдоль стены и вдоль пола. Восстана­вливая перпендикуляры к векторам
скоростей, находим МЦС.

2. По известной скорости v b определяем угловую скорость ω стержня:

                  Тема 1.10. Сложное движение точки                                  91

           Контрольные вопросы и задания

1. Какое движение называют сложным?

2. Какие движения твердого тела называют простыми?

3. Какие системы координат выбирают при определении скоростей твердых тел при сложном движении?

4. Какое движение считают переносным, а какое — относительным?

5. Сформулируйте теорему сложения скоростей.

6. Какое движение называют плоским?

7. Какие способы применяют для определения скоростей точек тела при плоско-параллельном  движении?

8. Что  такое  мгновенный  центр  скоростей, как  его  определяют и  для чего используют?

9. Ответьте на вопросы тестового задания.

Темы 1.10, 1.11. Кинематика.                       

  Сложное    движение    точки.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: