Сложное движение твердого тела

92                                                                          Лекция 12

 

 

                 Тема 1.12. Основные понятия и аксиомы динамики                       93

ЛЕКЦИЯ 13

Тема 1.12. Основные понятия и аксиомы динамики. Понятие о трении

Иметь представление о массе тела и ускорении свободного па­дения, о связи между силовыми и кинематическими параметрами движения, о двух основных задачах динамики.

Знать аксиомы динамики и математическое выражение основного закона динамики.

Знать зависимости для определения силы трения.

Содержание и задачи динамики

Динамика — раздел теоретической механики, в котором уста­навливается связь между движением тел и действующими на них силами.

В динамике решают два типа задач:

— определяют параметры движения по заданным силам;

— определяют силы, действующие на тело, по заданным кине­матическим параметрам движения.

При поступательном движении все точки тела движутся одина­ково, поэтому тело можно принять за материальную точку.

Если размеры тела малы по сравнению с траекторией, его то­же можно рассматривать как материальную точку, при этом точка совпадает с центром тяжести тела.

При вращательном движении тела точки могут двигаться не­одинаково, в этом случае некоторые положения динамики можно применять только к отдельным точкам, а материальный объект рас­сматривать как совокупность материальных точек.

Поэтому динамику делят на динамику точки и динамику мате­риальной системы.

Аксиомы динамики

      Законы динамики обобщают результаты многочисленных опы­тов и наблюдений. Законы динамики, которые принято рассматри­вать как аксиомы, были сформулированы Ньютоном, но первый и четвертый законы были известны Галилею. Механику, основанную на этих законах, называют классической механикой.

94                                                                                               Лекция 13

Первая аксиома (принцип инерции)

Всякая изолированная материальная точка находится в со­стоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не выведут ее из этого состояния.

Это состояние называют состоянием инерции. Вывести точку из этого состояния, т.е. сообщить ей некоторое ускорение, может внешняя сила.

Всякое тело (точка) обладает инертностью. Мерой инертности является масса тела.

Массой называют количество вещества в объеме тела, в клас­сической механике ее считают величиной постоянной. Единица из­мерения массы — килограмм (кг).

Вторая аксиома (второй закон Ньютона — основной закон динамики)

Зависимость между силой, действующей на материальную точ­ку, и сообщаемым ею ускорением следующая:

             

где т — масса точки, кг; а — ускорение точки, м/с².

Ускорение, сообщенное материальной точке силой, пропорци­онально величине силы и совпадает с направлением силы.

Основной закон динамики в дифференциальной форме:

              

На все тела на Земле действует сила тяжести, она сообщает телу ускорение свободного падения, направленное к центру Земли:

           

где g = 9, 81 м/с, ускорение свободного падения.

    Третья аксиома (третий закон Ньютона) Силы взаимодействия двух тел равны по величине и направле­ны по одной прямой в разные стороны (рис. 13.1):

                 

                 Тема 1.12. Основные понятия и аксиомы динамики                                95

Откуда               

При взаимодействии ускорения обратно пропорциональны массам.                                  

                                          

Четвертая аксиома (закон независимости действия сил)

Каждая сила системы сил действует так, как она действовала бы одна.

Ускорение, сообщаемое точке системой сил, равно геометриче­ской сумме ускорений, сообщенных точке каждой силой в отдельно­сти (рис. 13.2):

             

                                    Понятие о трении. Виды трения

Трение — сопротивление, возникающее при движении одного шероховатого тела по поверхности другого. При скольжении тел воз­никает трение скольжения, при качении — трение качения. Природа сопротивлений движению в разных случаях различна.

Трение скольжения

Причина — механическое зацепление выступов. Сила сопроти­вления движению при скольжении называется силой трения сколь­жения (рис. 13.3а).

Законы трения скольжения:

1. Сила трения скольжения прямо пропорциональна силе нор­мального давления:                                     

где R — сила нормального давления, направлена перпендикулярно опорной поверхности;

f — коэффициент трения скольжения.

96                                                   Лекция 13

                  

               

 

В случае движения тела по наклонной плоскости (рис. 13.36)

             

где а — угол наклона плоскости к горизонту.

Сила трения всегда направлена в сторону, обратную напра­влению движения.

2. Сила трения меняется от нуля до некоторого максимального
значения, называемого силой трения покоя (статическое трение):

              

Ff_Q — статическая сила трения (сила трения покоя).

3. Сила трения при движении меньше силы трения покоя. Сила
трения при движении называется динамической силой трения (Ff):

               

Поскольку сила нормального давления, зависящая от веса и на­правления опорной поверхности, не меняется, то различают стати­ческий и динамический коэффициенты трения:

               

Коэффициент трения скольжения зависит от следующих фак­торов:

— от материала: материалы делятся на фрикционные (с боль­шим коэффициентом трения) и антифрикционные (с малым коэффи­циентом трения), например f = 0, 1: 0, 15 (при скольжении стали по стали всухую), f = 0, 2: 0, 3 (при скольжении стали по текстолиту);

               Тема 1.12. Основные понятия и аксиомы динамики                    97

— от наличия смазки, например f = 0, 04: 0, 05 (при скольжении стали по стали со смазкой);

— от скорости взаимного перемещения.

Трение качения

Сопротивление при качении связано с взаимной деформацией грунта и колеса и значительно меньше трения скольжения.

Обычно считают грунт мягче колеса, тогда в основном дефор­мируется грунт, и в каждый момент колесо должно перекатываться через выступ грунта. Для равномерного качения колеса необходимо прикладывать силу F ДВ (рис. 13.4).

                                           

Условие качения колеса состоит в том, что  движущийся момент должен быть не меньше момента сопротивле­ния:

где к — максимальное значение пле­ча (половина колеи) принимается за коэффициент трения качения, размерность — сантиметры.

Ориентировочные значения к (опре­деляются экспериментально): сталь по стали — к = 0, 005 см; рези­новая шина по шоссе — к = 0, 24 см.

Примеры решения задач

Пример 1. Свободная материальная точка, масса которой 5 кг, движется согласно уравнению S = 0, 48t² + 0, 2t. Определить величи­ну движущей силы

                                                  Решение

1. Ускорение точки: а = v ' = S "; v = S ' = 0, 96t + 0, 2; а = v ' = 0, 96 м/с².

2. Действующая сила согласно основному закону динамики F = ma; F = 5 • 0, 96 = 4, 8 Н.

Пример 2. К   двум   материальным  точкам   массой   m 1 = 2 кг   и

4 - 8060 Олофинская

98                                                                                                                         Лекция 13                        

m2 = 5 кг приложены одинаковые силы. Сравнить величины уско­рений.

Решение

Согласно третьей аксиоме динамики ускорения обратно пропор­циональны массам:

        

Пример 3. На материальную точку действует система сил (рис. 13.5). Определить числовое значение ускорения, полученного материальной точкой т = 7 кг. Остальные данные представлены на чертеже.

Решение

            

          

1-й вариант.

1. Определяем суммарную силу, действующую на точку:

             

 

2. Определяем ускорение, сообщенное точке:

         

          Тема 1.12. Основные понятия и аксиомы динамики                                   99

2-й вариант.

Определяем ускорения от каждой из сил системы (рис. 13.56):

                 

               Контрольные вопросы и задания

1. Что называют массой тела? Назовите единицу измерения массы в системе СИ.

2. Что является мерой инертности тела?

3. Запишите основной закон динамики в векторной и дифференциальной форме.

4. На материальную точку действует постоянная сила. Как дви­жется точка?

5. Какое ускорение получит точка, если на нее действует сила,
равная удвоенной силе тяжести?

6. После столкновения двух материальных точек с массами
m1 = 6 кг и m2 = 24 кг первая точка получила ускорение 1, 6 м/с² .
Чему равно ускорение, полученное второй точкой?

7. В чем заключается принцип независимости действия сил?

8. Перечислите законы трения скольжения.

9. Перечислите факторы, влияющие на величину коэффициента
трения скольжения.

10. Тело движется по наклонной плоскости вверх (рис. 13.6). Масса тела 10 кг, коэффициент трения 0, 2. Определите возникающую силу трения.

                                           

 

100                                                                    Лекция 14

ЛЕКЦИЯ 14

     Тема 1.13.   Движение  материальной   точки.

                           Метод    кинетостатики

Иметь представление о свободных и несвободных материаль­ных точках, о силах инерции, об использовании силы инерции для решения технических задач.

Знать формулы для расчета силы инерции при поступатель­ном и вращательном движениях, знать принцип Даламбера и уметь определять параметры движения с использованием законов динамики и метода кинетостатики.

         Свободная и несвободная точки

Материальная точка, движение которой в пространстве не огра­ничено какими-нибудь связями, называется свободной. Задачи реша­ются с помощью основного закона динамики.

Материальные точки, движение которых ограничено связями, называются несвободными.

Для несвободных точек необходимо определять реакции связей. Эти точки движутся под действием активных сил и ограничиваю­щих движение реакций связей (пассивных сил).

Несвободные материальные точки освобождаются от связей: связи заменяются их реакциями. Далее несвободные точки можно рассматривать как свободные (принцип освобождаемое от связей).

Сила  инерции

Инертность — способность сохранять свое состояние неизмен­ным, это внутреннее свойство всех материальных тел.

Сила инерции — сила, возникающая при разгоне или торможе­нии тела (материальной точки) и направленная в обратную сторо­ну от ускорения. Силу инерции можно измерить, она приложена к «связям» — телам, связанным с разгоняющимся или тормозящимся телом.

Рассчитано, что сила инерции равна    Fин =‌ ‌ ‌ /‌ ma/.

 

 

                  Тема 1.13. Движение материальной точки                                 101

Таким образом, силы, действующие на материальные точки m1 и m2 (рис. 14.1), при разгоне платформы соответственно равны

                      Разгоняющееся тело (плат­форма с массой т (рис. 14.1)) силу инерции не воспринимает, иначе разгон платформы вооб­ще был бы невозможен. При вращательном движении (криволинейном) возникающее ускорение принято представлять в виде двух составляющих: нор­мального а_п и касательного a t (рис. 14.2).                                                            

                                  

Поэтому при рассмотрении кри­волинейного движения могут воз­никнуть две составляющие силы инерции: нормальная и касательная    

                            

   При равномерном движении по дуге всегда возникает нормаль­ное ускорение, касательное ускорение равно нулю, поэтому действует только нормальная составляющая силы инерции, направленная по радиусу из центра дуги (рис. 14.3).

                                                         ω = const

                                           

               Принцип кинетостатики (принцип Даламбера)

Принцип кинетостатики используют для упрощения решения ряда технических задач. Реально силы инерции приложены к телам, связанным с разго­няющимся телом (к связям).

102                                                                      Лекция 14

Даламбер предложил условно прикладывать силу инерции к ак­тивно разгоняющемуся телу. Тогда система сил, приложенных к ма­териальной точке, становится уравновешенной, и можно при реше­нии задач динамики использовать уравнения статики.

Принцип Даламбера:

Материальная  точка под  действием  активных  сил,  реакций  связей  и условно приложенной силы инерции находится в равнове­сии:  

                  

   Порядок  решения  задач   с  использованием  принципа  Даламбера

1. Составить расчетную схему.

2. Выбрать систему координат.

3. Выяснить направление и величину ускорения.

4. Условно приложить силу инерции.

5. Составить систему уравнений равновесия.

6. Определить неизвестные величины.

Примеры решений задач

Пример 1. Рассмотрим движение платформы по шероховатой поверхности с ускорением (рис. 14.4).

Решение

Активные силы: движущая сила, сила трения, сила тяжести. Ре­акция в опоре R . Прикладываем силу инерции в обратную от ускоре­ния сторону. По принципу Даламбера, система сил, действующих на платформу, становится уравновешенной, и можно составить уравне­ния равновесия. Наносим систему координат и составляем уравнения проекций сил.

             

               Тема 1.13. Движение материальной точки                                  103

          

Пример 2. Тело весом 3500 Н движется вверх по наклонной плоскости согласно уравнению S = 0, 16t² (рис. 14.5). Определить ве­личину движущей силы, если коэффициент трения тела о плоскость f = 0, 15.

Решение

1. Составим расчетную схему, выберем систему координат с осью
Ох вдоль наклонной плоскости.

Активные силы: движущая, си­ла трения, сила тяжести. Наносим реакцию в опоре перпендикулярно плоскости. Чтобы верно направить силу инерции, необходимо знать на­правление ускорения, определить это можно по уравнению движения.

При а > 0 движение равноуско­ренное.

 

                                      

2.Определяем ускорение движения: а = v ' = S "; v = S ' = 0, 32t; а = v ' = 0, 32 м/с² > 0.

Силу  F_ин направим в обратную от ускорения сторону.

3.По принципу Даламбера составим уравнения равновесия:

                  

104                                                    Лекция 14

4. Подставим все известные величины в уравнения равновесия:

             

Выразим неизвестную силу и решим уравнение:

         

Пример 3. График изменения скорости лифта при подъеме из­вестен (рис. 14.6). Масса лифта с грузом 2800 кг. Определить натя­жение каната, на котором подвешен лифт на всех участках подъема.

      

Решение

1. Рассмотрим участок 1 — подъем с ускорением.

Составим схему cил (рис. 14.7). Уравнение равновесия кабины лифта:

               

где Т — натяжение каната; G — сила тяжести; Fин — сила инерции, растягивающая канат.

Для определения ускорения на участке 1 учтем, что движение на этом участке равнопеременное, скорость v = v0 + at; v0= 0. Следовательно, ускорение:

         

                Тема 1.13. Движение материальной точки                            105

   Определяем   усилие   натяжения   каната   при  подъеме  с   ускорением   2800(9, 81 + 1, 25) = 30 968 Н; Т 1 = 30, 97 кН.

     2. Рассмотрим участок 2 — равномерный подъем.

   Ускорение и сила инерции равны нулю. На­тяжение каната равно силе тяжести.    

                                                                      

     3.  Участок 3 — подъем с замедлением.

Ускорение направлено в сторону, обрат­ную направлению подъема. Составим схему сил  (рис. 14.8).

Уравнение равновесия: Fин₃+ Тз — G = 0. Отсюда Тз = G — Fин₃ = mg — ma3. Ускорение (замедление) на этом участке определяется с учетом того, что v = 0.       

Таким образом, натяжение каната меняется при каждом подъеме и опускании, канат выхо­дит из строя в результате усталости материала. Работоспособность зависит от времени.

Пример 4. Самолет выполняет «мертвую петлю» при скоро­сти 160 м/с², радиус петли 1000 м, масса летчика 75 кг. Определить величину давления тела на кресло в верхней точке «мертвой петли».

106                                                 Лекция 14

          Решение

1. Схема сил, действующих на летчика (рис. 14.9):

     

      Контрольные  вопросы  и   задания

1.Объясните разницу между понятиями «инертность» и «сила
инерции».

2. К каким телам приложена сила инерции, как направлена и по
какой формуле может быть рассчитана?

3. В чем заключается принцип кинетостатики?

4. Задано уравнение движения материальной точки S = 8, 6t².
Определите ускорение точки в конце десятой секунды движения.

5. Тело движется вниз по наклонной плоскости (рис. 14.10). На­
несите силы, действующие на тело; используйте принцип Даламбера, запишите уравнение равновесия.

6. Лифт спускается вниз с ускорением (рис. 14.11). Нанесите силы, действующие на кабину лифта, используя принцип кинетоста­тики, запишите уравнения равновесия.

            Тема 1.13. Движение материальной точки                               107

 

           

 

7. Автомобиль въезжает на арочный мост с постоянной скоро­стью v (рис. 14.12). Нанесите силы, действующие на автомобиль в середине моста, используя принцип кинетостатики, запишите урав­нения равновесия.

8. Ответьте на вопросы тестового задания.

Темы 1.12, 1.13. Динамика.

Движение   материальной   точки.

Метод  кинетостатики

    

108                                                                     Лекция 14

 

                Тема 1.14. Работа и мощность                                          109

ЛЕКЦИЯ 15

      Тема 1.14.   Работа   и   мощность

Иметь представление о работе силы при прямолинейном и криволинейном перемещениях, о мощности полезной и затрачен­ной, о коэффициенте полезного действия.

Знать зависимости для определения силы трения, формулы для расчета работы и мощности при поступательном и враща­тельном движениях.

Уметь рассчитывать работу и мощность с учетом потерь на трение и сил инерции.

Работа

Для характеристики действия силы на некотором перемещении точки ее приложения вводят понятие «работа силы».

Работа служит мерой действия силы, работа — скалярная ве­личина.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: