Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Институт экономики и управления. Курс лекций



Институт экономики и управления

620100 Екатеринбург, Сибирский тракт, 37, оф. 1-136

 

Тел.  +7 (343) 262-96-08
Сайт: http://management-usfeu.ru/

 

 

Логика

Курс лекций

для студентов направлений

Менеджмент

Управление персоналом

Управление качеством

 

Разработчик – доцент Акчурина Г.А.

Екатеринбург 2015



Оглавление

Введение.. 3

Логика в системе других наук. 5

1. Исчисление высказываний.. 8

1.1. Язык формальной системы.. 9

1.2. Таблицы истинности в алгебре логики. 17

1.3. Равносильность формул. 20

1.4. Закон двойственности. 24

1.5. Тавтологии, противоречия и выполнимые формулы. 25

1.6. Проблема разрешимости. 27

1.7 Логическое следование. 31

1.8.Непротиворечивость множества высказываний. 45

Вопросы для самопроверки к главе 1. 51

Упражнения к главе 1. 52

2.Логика и анализ текстов.. 57

2.1. Законы логики. 57

2.2.Типы логических ошибок. 68

2.3 Логические основы вопросно-ответного мышления. 71

Упражнения к главе 2. 82

3. Элементы теории множеств.. 83

3.1. Понятие множества. 83

3.2. Операции над множествами. 85

3.3. Включения. Подмножество. Пустое множество. 87

3.4. Универсум. Дополнение. 89

3.5. Свойства операций над множествами. 90

3.6. Декартово произведение множеств. 92

3.7. Бинарные отношения. 93

Вопросы для самопроверки к главе 3. 99

Упражнения к главе 3. 99

Библиографический список.. 104

Основная литература. 104

Дополнительная литература. 105

Internet источники. 107


Введение

Математическая логика является важной и необходимой составляющей общечеловеческой культуры, как образец структуры знаний, «оружие для размышления». Она должна восприниматься, прежде всего, как образец построения концепций, что является важным для любой гуманитарной специальности. Особенность человеческой культуры - единство структуры знаний самой различной природы – (исходные понятия – концепции и предположения – правила логического вывода (доказательств) – техника – результаты и их интерпретация). Решение даже самой далекой от науки проблемы требует кроме мотивационных моделей еще и средств рациональных. Общие законы рационального анализа проблем, относящихся к любому виду знаний и сфер деятельности, являются необходимой составляющей решения частных проблем. Математика и, в частности, математическая логика – это некий образец языка и общего метода формулирования проблем и рационального их решения в любом виде человеческой деятельности. Осознать стоящую проблему, сформулировать, формализовать ее на языке, присущем той предметной области, к которой относится проблема, найти лучший метод решения, основанный на логически выверенных конструкциях и выводах – вот общий путь рационального решения проблемной ситуации.

Следует выделить три основных элемента рационального разрешения проблемы:

– видение и содержательное системное описание (модель) анализируемого объекта;

– правильные логические рассуждения, позволяющие получать глубокие новые знания об исследуемом объекте и выбор метода исследования и решения;

– анализ и интерпретация результатов (возможны следующие варианты: результат лежит в русле общепризнанных концепций и является их развитием, результат противоречит общепринятым представлениям и оказывается открытием, результат противоречит общепринятым представлениями оказывается ошибкой).

Для того, чтобы пройти эти этапы и дать правильную квалификацию результату (открытие или ошибка), необходимо иметь хорошую технику исследований, обеспечить полноту и корректность экспериментов, безупречность рассуждений и логических выводов.

Целью данного курса является обеспечение будущих менеджеров знаниями, умениями и навыками, необходимыми для освоения и использования современных технологий обработки информации, анализа систем и ситуаций, принципов рассуждений, принятия решений.

Задачи курса:

– сформировать у студентов представление о возможностях, предоставляемых моделями и методами математической логики, и направлениях их использования в практической деятельности.

– ознакомить студентов с моделями математической логики, не изучаемыми в рамках специализированных курсов, и соответствующими методами решения задач.

– развить у студентов умение переходить от содержательных формулировок задач к формальным моделям и выбирать эффективные методы решения.

– привить студентам технологические навыки, обеспечивающие эффективность процесса использования приобретаемых знаний в современных информационных средах.

– закрепить у студентов систему понятий, необходимую для овладения современными информационными технологиями на базе логического и объектно - ориентированного программирования, реляционных систем управления базами данных, экспертных систем.

Логика в системе других наук

Тот факт, что предмет логики не совпадает с предметом естествен­ных наук, таких, например, как физика, химия или биология, вполне очевиден. Трудности в понимании предмета логики возникают лишь при сравнении ее с философией, психологией и математикой, так как философия и психология традиционно считаются науками о мышлении в его различных аспектах, а математика, так же как и логика, изучает общие взаимосвязи между определенными абстрактными объектами.

В отличие от философии, которая часто определяется как «наука об общих принципах природы, общества и мышления», логика, во-первых, не изучает непосредственно ни природу, ни общество. Знание общих принципов природы и общества может быть получено в логике лишь опосредованно, через изучение логоса, форм и методов рацио­нального мышления. Во-вторых, логика в отличие от философии не изучает чисто субъективные, иррациональные аспекты человеческого мышления. Правомерно говорить о различных видах иррациональной (философии (например, об экзистенциализме, ницшеанстве и т. п.), но бессмысленно говорить об иррациональной логике в силу самого определения логики. Наконец, в-третьих, в отличие от философии современная символическая логика в процессе изучения рационального мышления использует не только естественный язык, но и различные формальные языки, различные методы дедуктивной формализации знании. В этом смысле можно сказать, что логика есть не что иное, как формализованная философия рационального мышления.

В отличие от логики психология непосредственно изучает не абстрактные объекты, не собственно рациональное мышление, а те специфические эмпирические объекты, в которых первоначально прояв­ляется (воплощается) мышление человека. Такими специфическими объектами являются перцепции (сенсорные образы), образующие в своей совокупности то, что принято называть сознанием, внутренним миром конкретного человека (см. гл. 12). Различие между перцепциями, воз­никающими в сознании конкретного человека, и абстрактными объ­ектами, доступными пониманию многих людей, носит весьма тонкий характер и часто не принимается во внимание. В конечном счете что приводит к психологизму — представлению о том, что логика есть якобы часть психологии. Еще в начале XX в. немецким философом Эдмундом Гуссерлем (1859—1938) психологизм в логике был подверг­нут обстоятельной критике. Впоследствии несостоятель­ность психологизма была подтверждена всем опытом развития логики как точной науки.

Что касается математики, то ее предметная область является частью предметной области логики. Математика (во всяком случае, классичес­кая) изучает универсальные взаимосвязи между числами и абстракт­ными объектами, производными от чисел. Поэтому ее можно считать своеобразной логикой чисел, или числовой логикой. В пользу того свидетельствует опыт развития как логики, так и математики. В силу ряда причин (в частности, в силу практических потребностей в эффективных методах счета) ма­тематика, или числовая логика, длительное время развивалась незави­симо от логики в целом и как точная наука сложилась задолго до того, как логика окончательно отделилась от философии в качестве самостоятельной науки. Несмотря на это, еще Г. В. Лейбницем (1646— 1716) был выдвинут тезис о том, что математика есть часть логики. Впоследствии Г. Фреге (1848—1925) показал, что основные понятия арифметики и классической теории множеств могут быть сведены к логическим понятиям. В начале XX в., в связи с обнаруженными парадоксами в основаниях классической теории множеств, работы по сведению математики к логике были прекращены и затем снова про­должены лишь в 80-е годы, после того, как было найдено объяснение парадоксов, согласующееся с основополагающими логическими прин­ципами. Помимо попыток логически обосновать матема­тику, происходит интенсивное проникновение математики в логику, совершенствуется формальный язык логики, разрабатываются точные алгоритмические методы логического вывода и доказательства, иссле­дуются проблемы применения логики в информатике.

Подводя итог, можно сказать, что логика, с одной стороны, есть точная философская наука (формализованная философия рациональ­ного мышления), а с другой стороны, она все больше сближается с математикой как своей естественной составной частью.


1. Исчисление высказываний

Предмет нашего изучения - логика, или, говоря более точно - формальная логика.

Обычно формальная логика занимается анализом предложений или суждений и доказательств; при этом основное внимание обращается на форму в отвлечении от содержания.

Формальная логика - наука о знаниях, полученных из ранее установленных и проверенных истин, без обращения в каждом конкретном случае к опыту, а только в результате применения законов и правил мышления.

Первой ступенью формальной логики является традиционнаялогика, которая изучает общечеловеческие законы правильного построения и сочетания мыслей в рассуждении (тождества, противоречия, законы исключенного третьего, законы достаточного основания) и формы связей мыслей в умозаключения (индукция, аналогия, дедукция).

Второй ступенью ФЛ является математическая логика, применяющая математические методы и специальный аппарат символов и исследующая мышление с помощью исчислений.

Введем понятие формальной системы логики

Первой частью формальной системы является ее язык. Язык должен быть выбран так, чтобы структура предложений по возможности отображала их смысл. Чтобы определить язык, нужно, прежде всего, определить его символы. В случае русского языка символами являются буквы, цифры и знаки препинания. Большинство наших искусственных языков будет иметь бесконечное множество символов. Любая конечная последовательность символов языка называется выражением этого языка. Мы будем требовать, чтобы в языке некоторые выражения выделялись как формулы этого языка, под ними мы будем понимать такие выражения, которые утверждают некоторый факт.

Следующей частью формальных систем являются ее аксиомы. Единственное требование состоит в том, чтобы аксиома была формулой языка формальной системы.

Третья часть формальной системы - это правила вывода. Каждое правило вывода утверждает, что при некоторых условиях одна формула, называемая заключением, может быть выведена из некоторых других формул, называемых посылками.

 

1.1. Язык формальной системы

Логическими постоянными являются «истина» и «ложь» .

В литературе встречается множество обозначений категорий “истина” и “ложь”.

Принятые обозначения истины – «И», «True», «Т», 1.

Принятые обозначения лжи - «Л», «False», «F», 0.



Элементарные высказывания

Одними из символов, используемых в формальной системе, являются переменные, т.е. символы, которые могут принимать различные значения на некотором множестве. Переменными (символами латинского языка) мы будем обозначать некоторые высказывания - элементарные повествовательные предложения, которые имеют то свойство, что они могут быть определены как либо истинные, либо ложные, но ни в коем случае одновременно и то, и другое вместе.

 

Примеры обозначений высказываний:

Москва – столица России - P,

1 декабря шел снег - Q,

Анальгин является болеутоляющим средством - А.

Каждому из этих высказываний можно придать значение или «истина», или «ложь».

Однако предложение «Да здравствуют наши спортсмены!» не является высказыванием, т.к. ему невозможно придать ни значение «истина», ни значение «ложь».

 

Логические операции

Операция Связка Обо-значение
Отрицание НЕ<высказывание А> ù А ~ А Ā
Конъюнкция <высказывание А> И <высказывание B> A & B A L B
Дизъюнкция <высказывание А> ИЛИ <высказывание B> А V B
Импликация ЕСЛИ <высказывание А>, ТО <высказывание B>
Эквиваленция <высказывание А> ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА <высказывание В> А « В
Антиэквиваленция ИЛИ<высказывание А>, ИЛИ<высказывание В> А Å В

Рассмотрим сущность этих операций.

² Операция отрицания

Отрицанием высказывания А называется новое высказывание ù А, которое является истинным, если высказывание А ложно, и ложным, если высказывание А – истинно. 

Проанализируем высказывание « 3- нечетное число».

Как записать это высказывание, используя язык формальной логики? Для начала перефразируем это высказывание: НЕ «3 есть четное число». Элементарным высказыванием является фраза «3 есть четное число», и его обозначим символом А. Т.о., на языке формальной логики заданная фраза будет записана как ù А.

 

² Операция конъюнкции

 Конъюнкцией двух высказываний А и В называется новое высказывание А & В, которое считается истинным, если оба входящие в нее высказывания имеют значение «истина», и ложным, если хотя бы одно из высказываний имеет значение ложь.

Союзы «И», «А», «НО», используемые при формализации конъюнкции, являются синонимами.

Рассмотрим следующее составное высказывание:

4 – четное число, а 6 – простое число.

Элементарное высказывание «4 – четное число», обозначим буквой Х, а высказывание «6 – простое число» - буквой Y. Высказывание «4 – четное число» имеет значение «истина», а высказывание «6 – простое число» имеет значение «ложь». Результирующее высказывание будет на языке формальной логики выглядеть следующим образом:

                        

² Операция дизъюнкции

Дизъюнкцией двух высказываний Х и Y называется новое высказывание Х Ú Y, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний имеет значение «истина», и ложным, если оба входящие в нее высказывания имеют значение «ложь».

Рассмотрим пример высказывания, содержащий операцию дизъюнкции.

2 – простое число, или 3 – нечетное число.

Обозначим буквой Р высказывание «2 – простое число», а буквой Q – высказывание – «3 – нечетное число». Результирующее высказывание будет следующее:

 

² Операция импликации

Составное высказывание, состоящее из двух высказываний Х и Y, между которыми стоит знак операции импликации (следования) - «®», называется импликацией.

Высказывание, стоящее слева от «®» - антецедент, справа - консеквент.

Импликация имеет значение «ложь» только в том случае, если антецедент - истина, а консеквент - ложь.

Импликация Х ® Y читается следующим образом: «если Х, то Y », «из Х следует Y ».

Употребление слов «если …, то …»в алгебре логики отличается от употребления их в обыденной речи, где, как правило, считается, что если высказывание Х ложно, то высказывание «если Х, то Y» вообще не имеет смысла. Импликация выражает соотношение причины и следствия таким образом, что Х всегда является достаточным основанием для того, чтобы наступило Y. Но для наступления Y само по себе Х не нужно, поскольку Y может наступить также в силу действия другой причины, т.е. Х для Y не является необходимым основанием.

Т.о., возможно построение таких конструкций, в которых основание и следствие по содержанию никак не связаны друг с другом (например, «Если управление предприятием нерационально, то февраль – морозный.»). Логическое значение импликации от этого не меняется.

Пример: Если 3 – нечетное число, то 3 не делится на 2.

Обозначим высказывание «3 – нечетное число» буквой P, а высказывание «3 не делится на 2» буквой Q. Составное высказывание в алгебре логики будет выглядеть следующим образом: 

P ® Q

и       и                     

Синонимы P ® Q:

P влечет за собой Q.

P только тогда, когда Q.

P есть достаточное условие для Q.

Q есть необходимое условие для P.

Q при условии P.

Q если P.

² Операция эквиваленции

Составное высказывание, состоящее из двух высказываний P и Q, между которыми стоит знак операции эквиваленции - ««», называется эквиваленцией. Эквиваленция имеет значение «истина», если оба высказывания имеют одновременно значение «истина», либо «ложь».

Синонимы    P « Q:

P эквивалентно Q.

P равнозначно Q.

Если P, то Q и если Q, то P.

Q есть необходимое и достаточное условие для P.

Как P, так и Q.

Пример: Число нечетно тогда и только тогда, когда оно не делится на 2.

Обозначим высказывание «Число нечетно» буквой P, а высказывание «оно не делится на 2» буквой Q.

Составное высказывание в алгебре логики будет выглядеть следующим образом: 

P « Q

и       и                     

 

² Операция анитиэквиваленции.

Составное высказывание, состоящее из двух высказываний А и В, между которыми стоит знак операции «антиэквиваленция» - «Å», называется антиэквиваленцией - А Å В.  Антиэквиваленция имеет значение «ложь», если оба высказывания имеют одновременно значение «истина», либо «ложь», в противном случае она истинна.

Словесная интерпретация операции антиэквиваленции - «или …, или …», что означает что два факта одновременно быть истинными или ложными не могут.

Например, рассмотрим высказывание: «Или контракт будет подписан, или состоится забастовка».

Обозначим буквой А высказывание «контракт будет подписан», а буквой В – высказывание – «состоится забастовка». Результирующее высказывание будет следующее: .

Это высказывание будет истинно только в двух случаях:

А=и, В=л;

А=л, В=и.

Таким образом, одновременно два события произойти не могут. Если же формализовать предложенное составное высказывание с использованием операции дизъюнкции (А Ú В),  это будет ошибкой, так как операция дизъюнкции предполагает возможность истинности одновременно двух событий.

Формулы алгебры-логики

Формулой алгебры-логики называется выражение, состоящее из логических постоянных, логических переменных, знаков логических операций и круглых скобок, изменяющих порядок выполнения операций, относительного стандартного.

Формулы соответствуют сложным или составным высказываниям. Для определения истинности или ложности высказывания, необходимо вычислить истинностное значение формулы. Для вычисления значения формулы должны быть известны входящие в нее переменные. Порядок выполнения операций следующий (в скобках указан приоритет выполнения операций): ù (1), & (2), V (3), ® (4), « (5),      Å (5). Операции одного старшинства выполняются слева направо. Порядок выполнения операций может быть измене с помощью скобок. Операции в скобках имеют более высокий приоритет.

Пример: Если «Пираты» или «Щенки» проиграют, а «Великаны» выиграют, то «Увертыши» потеряют первое место, и, кроме того, я проиграю пари.

Формализуем данное высказывание.

P - «Пираты» проиграют;

D - «Щенки» проиграют;

Q - «Великаны» выиграют;

G - «Увертыши» потеряют первое место;

C - я проиграю пари.

Составное высказывание будет выглядеть следующим образом:

 

1.2. Таблицы истинности в алгебре логики.

Для того чтобы определить значение формулы при различных комбинациях значений входящих в нее переменных, используют таблицы истинности.

Таблица истинности состоит из следующих частей:

- в левой части таблицы столбцы соответствуют логическим переменным, входящим в формулу (исходные данные);

-  далее следуют столбцы, отображающие результаты выполнения промежуточных операций в порядке их приоритетности (промежуточные результаты);

- крайний правый столбец отображает конечные значения формулы (результирующий столбец).

Каждая строка таблицы истинности заполняется определенным набором истинностных значений переменных и получаемым на этом наборе истинностным значением формулы. Все строки совокупности представляют полный набор возможных сочетаний истинностных значений переменных. Если в формулу входит N переменных, то всего в таблице должно быть 2 N  строк.

Таблицы истинности используются в качестве формального определения операций (см. табл. 1.2. – 1. 7).

 

Таблица 1.2.

Операция отрицания

Х ù C
Л И
И Л

Таблица 1.3.


Операция конъюнкции

Х У Х & U
Л Л Л
Л И Л
И Л Л
И И И

 

Таблица 1.4.

Операция дизъюнкции

Х У C V U
Л Л Л
Л И И
И Л И
И И И

 

Таблица 1.5.

Операция импликации

Х Y C ® U
Л Л И
Л И И
И Л Л
И И И

 


Таблица 1.6.


Операция эквиваленции

Х У C « U
Л Л И
Л И Л
И Л Л
И И И

 

Таблица 1.7.

Операция антиэквиваленции

Х  У C Å U
Л Л Л
Л И И
И Л И
И И Л

 

Пример 1: составить таблицу истинности для выражения ( P®Q ) & P

Формула содержит 2 переменные – P и Q, следовательно, в таблице истинности (табл. 1.8.) буде 22 = 4 строки. Расставим приоритеты операций: первое действие – импликация, второе действие – конъюнкция.

Таблица 1.8.

P Q P®Q (P®Q) &P
Л Л И Л
Л И И Л
И Л Л Л
И И И И

 

Пример 2: составить таблицу истинности для выражения

((A ® ù B) & C) « (( ù (A&B)&C)

Формула содержит 3 переменные – A , В, С, следовательно, в таблице истинности (табл. 1.8.) буде 23 = 8 строк. Расставим приоритеты операций:

Таблица 1.9.

А В С ù B A ® ù B (A ® ù B) & C A&B ù (A&B) ù (A&B)&C ((A®ù B) & C) «((ù (A&B)&C)

Приоритеты операций

1 2 3 4 5 6 7
Л Л Л И И Л Л И Л И
Л Л И И И И Л И И И
Л И Л Л И Л Л И Л И
Л И И Л И И Л И И И
И Л Л И И Л Л И Л И
И Л И И И И Л И И И
И И Л Л Л Л И Л Л И
И И И Л Л Л И Л Л И

1.3. Равносильность формул.

Пусть имеются две формулы: А ( x 1 , …, х n ) и B ( x 1 , …, xn ). Формулы называются равносильными, если они принимают одни и те же значение на всех наборах значений переменных х1, …, хп. Другими словами, формулы равносильны, если результирующие значения их таблиц истинности совпадают.

Факт равносильности обозначают «eq».

Важнейшие равносильности алгебры логики можно разбить на три группы.

Основные формулы равносильности:

1. C Ú Л eq X

2. X Ú И eq И

3. X & И eq X

4. C & Л eq Л

5. C & ù C eq Л - закон противоречия

6. C Ú ù C eq И – закон исключенного третьего

7.

законы идемпотентности
X Ú X Ú … Ú X eq X

8. C & C & ... & C eq X

9. ùù C eq Х - закон снятия двойного отрицания

10.

законы поглощения
Х & ( C Ú Y ) eq Х

11. Х Ú ( C & U ) eq Х

Формулы равносильности, выражающие одни логические операции через другие:

12. C ® U eq ù C Ú Y

13. C ® U eq ù ( C & ù U )

14. C « U eq ( C ® U ) & ( U ® C )

15. C « U eq ( ù C & ù U ) V(X&Y)

16. C « U eq ( ù C Ú U ) & ( C Ú ù U )

17. ù ( C Ú Y ) eq ù C & ù U

18.

Законы де Моргана
ù ( ù C Ú ù U ) eq X Ú Y

19. ù ( C & U ) eq ù C Ú ù U

20. ù ( ù C & ù U ) eq X Ú Y  

Формулы равносильности, выражающие основные законы алгебры логики:

21. C Ú Y eq Y Ú Xкоммутативность дизъюнкции;

22. C & U eq U & C - коммутативность дизъюнкции;

23. ( X Ú Y ) Ú Z eq X Ú ( Y Ú Z ) eq X Ú Y Ú Zассоциативность дизъюнкции;

24. ( X & Y ) & Z eq X & ( Y & Z ) eq X & Y & Zассоциативность конъюнкции;

25. C & ( U Ú Z ) eq ( X & Y ) Ú ( X & Z ) - дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции;

26. X Ú (Y&Z) eq (X Ú Y)&(X Ú Z) - дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции;

Используя формулы равносильных преобразований 1-26, часть формулы или всю формулу можно заменить равносильной ей формулой. Такие преобразования называются равносильными.

Пример 3: доказать равносильность формул

Х →(X & ù (Y Ú Z))   (1)

ù X Ú ( ù Y & ù Z)  (2)

составив таблицы истинности для них, а также проведя равносильные преобразования.

Поскольку в каждой формуле содержится 3 переменных, строк в таблицах истинности для каждой формулы будет 23=8. Составим таблицы истинности для обеих формул (табл. 1.10, 1.11):


Таблица 1.10

Таблица истинности для формулы (1)

X Y Z Y Ú Z ù ( Y Ú Z ) X & ù ( Y Ú Z ) Х→( X & ù ( Y Ú Z ))
Л Л Л Л И Л И
Л Л И И Л Л И
Л И Л И Л Л И
Л И И И Л Л И
И Л Л Л И И И
И Л И И Л Л Л
И И Л И Л Л Л
И И И И Л Л Л

Таблица 1.11

Таблица истинности для формулы (2)

X Y Z ù X ù Y ù Z ù Y & ù Z ù X Ú ( ù Y & ù Z)
Л Л Л И И И И И
Л Л И И И Л Л И
Л И Л И Л И Л И
Л И И И Л Л Л И
И Л Л Л И И И И
И Л И Л И Л Л Л
И И Л Л Л И Л Л
И И И Л Л Л Л Л

Из таблиц истинности формул 1.10, 1.11 видно, что истинностные значения формул, находящихся в результирующих столбцах каждой из таблиц, совпадают.

Теперь докажем равносильность этих двух формул, используя равносильные преобразования (в этом примере в скобках указан номер формулы равносильности, на основании которой проведено преобразование)

Х→( X & ù ( Y Ú Z )) eq (17) Х→( X & ( ù Y & ù Z )) eq (12)

ù X Ú (X & ( ù Y& ù Z)) eq (26) ( ù X Ú X) & ( ù X Ú ( ù Y& ù Z)) eq(6)

И & ( ù X Ú ( ù Y & ù Z )) eq (3) ( ù X Ú ( ù Y & ù Z ))

1.4. Закон двойственности

Операции конъюнкции является двойственной по отношению к операции дизъюнкции, а операции дизъюнкции – двойственна по отношению к операции конъюнкции.

Если А(х1, …, хп) - некоторая формула алгебры логики, то формула, полученная из нее заменой всех операций двойственными им, называется двойственной формулой для А и обозначается А *1, …,хп) .

Например, для формулы А º (х Ú y )& z двойственной будет формула

А * º (х & y ) Ú z

Преобразования двойственности являются обратимыми, т.е.

* ) *

Утверждение1: Любая операции может быть представлена через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание.

Утверждение2: Если для записи некоторой формулы алгебры логики А используются только знаки операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, то отрицание такой формулы равносильно двойственной формуле от отрицания всех входящих в нее переменных.

ù А(х1, …, хп) eq А*( ù х1, …, ù хп)

А(х1, …, хп) eq ù А*( ù х1, …, ù хп)

Утверждение равносильности: если две формулы равносильны, то равносильны и двойственные им:

A eq B « (A* eq B*)

(A* eq B*) « A eq B

1.5. Тавтологии, противоречия и выполнимые формулы.

Формула, которая принимает значение истина при любых наборах входящих в нее переменных, называется тавтологией (тождественно истинной, общезначимой).

Для указания на тавтологию используют знак «D ». Например:

D(P®Q)&(Q®R)&P®R

Формула, которая принимает значение «ложь» при любых наборах значений входящих в нее переменных, называется противоречием (тождественно ложной).

Формула, принимающая значение «истина» на одних наборах переменных и значение «ложь» на других, называется выполнимой.

 Различные формулы, полученные подстановками других формул в тавтологию, не зависимо от их конкретного содействия, всегда являются истинными в силу одной только своей структуры. Иначе говоря, тавтологии можно рассматривать как некоторые логически-истинные схемы рассуждений или доказательств. Поэтому тавтологии играют роль законов в логике высказываний и претендуют на установление методов постановления правильных умозаключений. Существует бесконечное множество тавтологий, а, значит, и законов логики высказываний. В классической логике наиболее часто используются следующие законы:

1. Закон тождества P ® P

2. Закон исключенного третьего P Ú ù P

3. Закон противоречия ù ( P & ù P )

4. Закон двойного отрицания ùù P « P

5. Закон добавления антецедента (в популярной литературе: истина из чего угодно) P ® ( Q ® P )

6. Из ложного что угодно ù P ® ( P ® Q )

7. Закон отделения ( P ® Q ) & P ® Q

(Если из некоторого P следует Q, и существует P, то существует Q)

8. Закон от противного ( P ® Q ) & ù Q ® ù P

9. Закон силлогизма ( P ® Q ) & ( Q ® R ) ® ( P ® R )

10.  Закон контрпозиции ( P ® Q ) ® ( ù Q ® ù P )

Каждый из законов логики высказываний отображает в символической форме некоторую схему доказательства. Например:

1) В соответствии с законом отделения: если истинно, что из некоторого высказывания P следует высказывание Q, и, кроме того, P является истиной, то истиной будет и Q.

2)  В соответствии с законом от противного. Закон от противного применяется при доказательстве от противного, а именно, желая доказать утверждение P, мы предполагаем, что P - ложно и доказываем (выводим, что из P следует некоторое высказывание Q, о котором известно, что оно ложно (значит, ù Q -истина)). Отсюда заключаем, что P должно быть истиной.


Утверждение, связывающее равносильность с эквиваленцией .

(А « В) « (А eq В)

Тавтологии можно получать из равносильной замены «eq» на ««» и наоборот.

1.6. Проблема разрешимости

Как было сказано ранее, каждую формулу можно отнести к одному из классу: или тождественно истинные, или тождественно ложные, или выполнимые. В связи с этим возникает вопрос, каким образом определить, к какому классу относится формула, не составляя таблиц истинности. Ведь практическое использование таблиц истинности для формул с большим количеством переменных весьма трудоемкий процесс.

Эта задача и носит название проблемы разрешимости. Возможно преобразовать формулу к некоторому стандартному виду, обеспечивающему простоту и эффективность проверки при определенности истинных значений всех входящих в формулу переменных.

Существует ряд методов решения сформулированной проблемы. Рассмотрим метод приведения к нормальным формам.



Нормальные формы.

Назовем элементарной конъюнкцией такую конъюнкцию, которая содержит только переменные и их отрицания.

Например, формула ( X & ù Y & P & ù X ) является элементарной конъюнкцией.

Назовем элементарной дизъюнкцией такую дизъюнкцию, которая содержит только переменные и их отрицания.

Например, формула ( X Ú ù Y Ú P Ú ù Z ) является элементарной дизъюнкцией.

Формула, равносильная некоторой формуле Á и представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций, называется дизъюнктивной нормальной форма (ДНФ) формулы Á.

Например, формула ( X & ù Y & Z ) Ú ( X & ù Z & P ) Ú ( ù Y & Z & ù P ) является дизъюнктивной нормальной формой.

Формула, равносильная некоторой формуле Á и представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ) формулы Á.

Например, формула ( X Ú ù Y Ú Z ) & ( P Ú ù Q Ú ù Z Ú Y ) & ( X Ú ù P Ú Q ) является конъюнктивной нормальной формой.

Утверждения:

8 Для того чтобы элементарная дизъюнкция была тождественно истинной, необходимо и достаточно, чтобы она содержала хотя бы одну пару - переменную и ее отрицание.

8 Для того чтобы элементарная конъюнкция была тождественно ложной, необходимо и достаточно, чтобы она содержала хотя бы одну пару переменной и ее отрицания

8 Любая формула исчисления высказываний имеет равносильную дизъюнктивную и конъюнктивную нормальные формы.

8 Для того чтобы ДНФ была тождественно ложной, необходимо, чтобы все входящие в нее элементарные конъюнкции были тождественно ложными. То есть каждая элементарная конъюнкция, входящая в ДНФ должна содержать хотя бы одну пару- переменную и ее отрицание. 

8 Для того чтобы КНФ была тождественно истинной, необходимо чтобы все, входящие в нее элементарные дизъюнкции были тождественно истинными. То есть, каждая элементарная дизъюнкция, образующая КНФ должна содержать хотя бы одну пару- переменную и ее отрицание.

Если в каждом члене нормальной формы представлены все переменные прямо или с отрицанием, то она называется совершенной нормальной формой (СДНФ, СКНФ).

Утверждение: Для любой формулы существует одна и только одна СДНФ и одна СКНФ.

Существуют доказательства как выше приведенных утверждений, так и далее сформулированных утверждений, которые не будут приведены, так как основной задачей курса является использование аппарата формальной логики.

Прямой анализ

Теорема: для непротиворечивости системы высказываний любая посылка является логическим следствием всего множества высказываний.

Для установления непротиворечивости множества высказываний лучше использовать «прямой анализ», т.е. анализ исходит из предположения, что система не противоречива, а следовательно существует хотя бы один набор значений входящих в систему формул переменных, при котором все формулы истинны.

Пример1. Исследовать систему высказываний на непротиворечивость.

А ® ù (В & С)

(D Ú E) ® F

F ® ù (G Ú H)

ù C & E & F

Табличный способ исследования системы высказываний на противоречивость мы рассматривать не будем, т.к. в систему входит 8 переменных, а, следовательно, количество строк в таблице должно быть 28=256. Поэтому далее применим более эффективные методы исследования системы на противоречивость.

Доказательство прямым методом. Предположим, что система высказываний непротиворечива, т.е. существует, по крайней мере, одно такое распределение истинностных значений переменных, входящих в систему высказываний, что все формулы принимают значение «истина». Схема анализа системы высказываний на непротиворечивость приведена на рис. 1.5.

Мы не стали здесь порождать ветки по значениям переменной D, т.к. формула А ® ù (В & С) от D не зависит.

Т.о., существует, по крайней мере, один набор значений переменных, входящих в систему высказываний, на котором все формулы истинны.


 

 


Рис. 1.5

На самом деле мы нашли 8 наборов переменных, при которых система высказываний истинна:

С – Л Е – И F – И G – Л Н – Л D – И В – И А - И С – Л Е – И F – И G – Л Н – Л D – И В – И А - Л С – Л Е – И F – И G – Л Н – Л D – И В – Л А - И С – Л Е – И F – И G – Л Н – Л D – И В – Л А - Л С – Л Е – И F – И G – Л Н – Л D – Л В – И А - И С – Л Е – И F – И G – Л Н – Л D – Л В – И А - Л С – Л Е – И F – И G – Л Н – Л D – Л В – Л А - И С – Л Е – И F – И G – Л Н – Л D – Л В – Л А - Л

 


Доказательство приведением формулы - конъюнкции системы высказываний к КНФ.

 (А ® ù (В & С)) & ( ( D Ú E ) ® F ) & ( F ® ù ( G Ú H )) & ( ù C & E & F ) eq

(ùA Ú ù В Ú ù С) & (( ù D & ù E) Ú F) & ( ù F Ú ( ù G & ù H)) & ùC & E & F eq

( ù A Ú ù В Ú ù С ) & ù C & (( ù D & ù E) Ú F) & ( ù F Ú ( ù G & ù H)) & E & F eq

ù C & (( ù D & ù E) Ú F) & ( ù F Ú ( ù G & ù H)) & E & F eq

ù C & (( ù D & ù E) Ú F) & F & ( ù F Ú ( ù G & ù H)) & E eq

ù C & F & ( ù F Ú ( ù G & ù H)) & E eq ù C & ((F & ù F) Ú ( ù F & ù G & ù H) &E eq ù C & ( Л Ú ( ù F & ù G & ù H) &E eq ù C & ù F & ù G & ù H &E

Конъюнкция системы высказываний является выполнимой, т.е. существуют наборы переменных, при которых система высказываний истинна. Следовательно, система высказываний непротиворечива.

Пример2. Исследовать систему высказываний на непротиворечивость.

(A ® B& C) & ( D ® B & E)

((F ® ù A) & G) ® H

(C ® H) ® (F& D)

ù ( ù C ® E )

Доказательство прямым методом. Предположим, что система высказываний непротиворечива, т.е. существует, по крайней мере, одно такое распределение истинностных значений переменных, входящих в систему высказываний, при котором все формулы принимают значение «истина». Схема анализа системы высказываний на непротиворечивость приведена на рис. 1.6.



Рис. 1.6

Мы предположили, что существует хотя бы один набор, где все формулы истинны и пришли к противоречию. Следовательно, эта система высказываний противоречива.

Доказательство приведением формулы - конъюнкции системы высказываний к КНФ.

((A ® B& C) & ( D ® B & E)) & (((F ® ù A) & G) ® H) & ((C ® H) ® (F& D))&

( ù ( ù C ® E)) eq

( ù A Ú (B&C)) & ( ù D Ú (B& E)) & ( ù (( ù F Ú ù A) & G) Ú H) &( ù ( ù C Ú H) Ú (F&D)) &

( ù ( C Ú E)) eq

(ùA Ú (B&C)) & (ùD Ú (B & E)) & ((F & A) Ú ù G Ú H)& ((C & ù H) Ú (F&D)) &

ù C & ù E eq

(( ù A & ù C) Ú (B &C & ù C)) & (( ù D & ù E) Ú (B& E & ù E)) &((F & A) Ú ù G Ú H)& ((C & ù H) Ú (F&D)) eq

( ù A & ù C) &( ù D & ù E) &((F & A) Ú ù G Ú H)& ((C & ù H) Ú (F&D)) eq

ù A & ù C & ù D & ù E &((F & A) Ú ù G Ú H)& ((C &ù H) Ú (F&D)) eq

ù A & ù D & ù E &((F & A) Ú ù G Ú H)& ((C & ù H & ù C) Ú (F&D& ù C)) eq

ù A & ù D & ù E &((F & A) Ú ù G Ú H)& (F&D& ù C) eq

ù A & ùD & ù E &((F & A) Ú ù G Ú H)& F&D& ù C eq Л

Конъюнкция системы высказываний в результате приведения к КНФ оказалась тождественно ложной. Следовательно, система высказываний противоречива.

Вопросы для самопроверки к главе 1.

1. Понятие высказывания, элементарное высказывания, составные высказывания

2. Сентенциальные связки, логические операции, порядок выполнения логических операций.

3. Таблицы истинности для логических операций.

4. Понятие равносильных формул.

5. Равносильные преобразования.

6. Понятие двойственных операций, двойственных формул.

7. Соотношение равносильности для прямых и двойственных формул.

8. Понятие тавтологии, противоречия и выполнимой формулы.

9. Связь эквиваленции и равносильности.

10. Элементарная дизъюнкция, элементарная конъюнкция.

11. Конъюнктивная нормальная форма, дизъюнктивная нормальная форма.

12. Совершенная конъюнктивная нормальная форма, совершенная дизъюнктивная нормальная форма.

13. Алгоритм приведения к СКНФ, СДНФ.

14. Понятие логического следствия.

15. Доказательство логического следствия с помощью таблиц истинности.

16. Доказательство логического следствия прямым методом.

17. Доказательство логического следствия от противного.

18. Доказательство логического следствия приведением к ДНФ.

19. Понятие непротиворечивости системы высказываний.

20. Доказательство непротиворечивости системы высказываний с помощью таблиц истинности.

21. Доказательство непротиворечивости системы высказываний прямым методом.

22. Доказательство непротиворечивости системы высказываний от противного.

23. Доказательство непротиворечивости системы высказываний приведением к КНФ.

Упражнения к главе 1.

1. Среди следующих предложений определить, какие из них являются высказываниями, а какие не являются высказываниями. Для высказываний установить, истинны они или ложны.

a) Река Волка впадает в Каспийское море.

b) Всякий человек имеет брата.

c) Пейте томатный сок!

d) Существует человек, который моложе своего отца.

e) Который час?

f) Ни один человек не весит более 1000 кг.

g) 23 <5

h) Для всех действительных чисел справедливо равенство х+у = у+х

i) Х2 – 7Х +12.

j) Х2 – 7Х +12=0.

2. Формализовать следующие высказывания.

a) 45 кратно 3, и 42 кратно 3.

b) 45 кратно трем или 12 не кратно 3.

c)

d) Если число 212 делится на 3 и 4, то оно делится на 12.

e) Число 212 – трехзначное и кратно3 или 4.

f) Число 1269 делится на 9 тогда и только тогда, когда 18 делится на 9.

g) Любое натуральное число является или четным или нечетным.

3. Пусть А – высказывание «Студент Иванов изучает английский язык»,

В – высказывание «Студент Иванов успевает по математической логике».

Дать словесную формулировку высказываний:

a) А & ù B

b) A ® B

c) ù B « ù A

4. Составить таблица истинности для следующих выражений.

a) ((A ® B) & (B ® C)) ® (A ® C)

b) (A & B ® C) ® (A ® (B ® C))

c) (A ® B) ® (A Ú C ® B Ú C)

d) (A ® B) ® (A & C ® B & C)

e) (A « B) & (B « C) ® (A « C)

f) ( ù P V Q V (Q & (R V ù P))) « (P & ù Q) & ( ù Q V ( ù R & P))

g) (P ® Q) ® (S & ù P ® Q)

h) (A ® Ø ( B V C)) « A & B &C

i) (A & B ® C) « ù (A ® (B ® C))

5. С помощью таблиц истинности и с использованием формул равносильных преобразований доказать равносильность следующих пар формул.

a) X & ( X Ú Y) eq X

b) X Ú (X & Y) eq X

c) X & ( X Ú Y) & (X Ú ù Y) eq X

d) X Ú ( ù X & Y) eq X Ú Y

e) (X&Y&Z) Ú (X & Y& ù Z) Ú (X& ù Y&Z) Ú (X& ù Y& ù Z) eq X

6. Привести формулы с помощью равносильных преобразований к виду, содержащему только операции конъюнкции, дизъюнкции, отрицания:

a) ù ( ù (х Ú y ) → ù ( x & y )

b) ( X → Y ) →( ù X → ù Y )

c) ù (P →(Q→P))

d) ù P →(P→Q)

e) ù ((X →Z) →((Y→Z) →(X Ú Y →Z)))

7. Определить, используя равносильные преобразования, является формула тавтологией, противоречием или выполнимой:

a) ((A ® B) & (B ® C)) ® (A ® C)

b)  (A Ú B) Ú C « A Ú (B Ú C)

c)  (A & B ® C) ® (A ® (B ® C))

d)  (A ® B) ® (A Ú C ® B Ú C)

e)  (A ® B) ® (A & C ® B & C)

f)  (((A ® (B ® C)) ® ((A ® ù C) ® (A ® ù B)))

g)  (A « B) & (B « C) ® (A « C)

h) ((P ® Q) ® ((S & ù P) ® Q))

8. Привести к КНФ, к ДНФ, СКНФ, СДНФ следующие формулы:

a) A&(B&C ® A&B)

b) (X ® Y) ® ( ù X&Y) Ú ù Y

c) ( ù (X&Y) ® ù X)& ù ((X&Y) ® ù Y)

d) (X Ú ù Z) ® (Y&Z)

e) (A&B ® B&C) ® ((A ® B) ® (C ® B))

f) ( ù A ® ù B) ® (B&C ® A&C)

g) ( ù A ® C) ® ù ( ù B ® ù A)

9. Определить истинность логического следствия для следующих систем высказываний:

а) Увеличение денег в обращении влечет за собой инфляцию. Но рост денежной массы происходит по двум причинам: из-за денежной эмиссии или снижения товарооборота. Снижение товарооборота приводит к безработице и спаду производства. Из-за инфляции падает курс денежной единицы.

Следовательно: если увеличить денежную эмиссию и поднять производство, тогда избежим безработицы, и курс денежной единицы останется неизменным.

b) Падение авторитета власти происходит тогда и только тогда, когда нарастает анархия в обществе. Нарастание анархии в обществе равносильно появлению на политической арене безответственных политиков. Появление подобных политиков приводит к тому, что они высказывают абсурдные идеи. Высказывание политиками таких идей влечет за собой демонстрацию неспособности их управлять страной.

Следовательно: падение авторитета власти приводит к появлению политиков, не способных управлять страной.

c) Если в сети произойдет большой перепад напряжения, то сгорит предохранитель. Если предохранитель сгорит, то необходимо его заменить. Если телевизор включен в сеть, то телевизор работает нормально при условии целостности предохранителя. Если телевизор работает нормально, то я увижу «Новости».

Следовательно: я увижу «Новости» при условии целостности предохранителя, отсутствия перепада напряжения в сети и подключения телевизора к сети питания.

10. Исследовать на непротиворечивость систему высказываний.

Если конгресс отказывается принять новые законы, то забастовка не будет окончена, если только она не длится более года и президент фирмы не уходит в отставку. Либо конгресс примет новые законы, либо забастовка не окончится, хотя и продолжается более года.


 

2.Логика и анализ текстов

2.1. Законы логики

 

1. Закон тождества: всякая сущность тождественна себе.
(А = А)

2. Закон противоречия: никакое высказывание не может
быть одновременно и истинным и ложным

3. Закон исключенного третьего: для любого
высказывания истинно либо оно само, либо его отрицание (что не истинно, то ложно)

4. Закон достаточного основания: всякое принимаемое
суждение должно быть обосновано надлежащим образом (он же – закон
Лейбница)












Закон тождества

Первый и наиболее важный закон логики — это закон тождества, который был сформулирован Аристотелем в трактате «Метафизика» следующим образом: «…иметь не одно значение — значит не иметь ни одного значения; если же у слов нет значений, тогда утрачена всякая возможность рассуждать друг с другом, а в действительности — и с самим собой; ибо невозможно ничего мыслить, если не мыслить что-нибудь одно». Можно было бы добавить к этим словам Аристотеля известное утверждение о том, что мыслить (говорить) обо всем — значит не мыслить (не говорить) ни о чем.

Закон тождества утверждает, что любая мысль (любое рассуждение) обязательно должна быть равна (тождественна) самой себе, т. е. она должна быть ясной, точной, простой, определенной. Говоря иначе, этот закон запрещает путать и подменять понятия в рассуждении (т. е. употреблять одно и то же слово в разных значениях или вкладывать одно и то же значение в разные слова), создавать двусмысленность, уклоняться от темы и т п. Например, непонятен смысл фразы: «Из-за рассеянности на турнирах шахматист неоднократно терял очки». Очевидно, что по причине нарушения закона тождества появляются неясные высказывания (суждения). Символическая запись этого закона выглядит так: а →а, где а — это любое понятие, высказывание или целое рассуждение.

Когда закон тождества нарушается непроизвольно, по незнанию, тогда возникают просто логические ошибки; но, когда этот закон нарушается преднамеренно, с целью запутать собеседника и доказать ему какую-нибудь ложную мысль, тогда появляются не просто ошибки, а софизмы. Таким образом, софизм — это внешне правильное доказательство ложной мысли с помощью преднамеренного нарушения логических законов.

Приведем пример софизма: «Что лучше: вечное блаженство или бутерброд? Конечно же, вечное блаженство. А что может быть лучше вечного блаженства? Конечно же, ничто! Но бутерброд ведь лучше, чем ничто, следовательно, он лучше вечного блаженства». Попробуйте самостоятельно найти подвох в этом рассуждении, определить, где и как в нем нарушается закон тождества и разоблачить этот софизм.

Вот еще один софизм: «Спросим нашего собеседника: «Согласен ли ты с тем, что если ты что-то потерял, то у тебя этого нет?» Он отвечает: «Согласен». Зададим ему второй вопрос: «А согласен ли ты с тем, что если ты что-то не терял, то у тебя это есть?» — «Согласен», — отвечает он. Теперь зададим ему последний и главный вопрос: «Ты не терял сегодня рога?» Что ему остается ответить? «Не терял», — говорит он. «Следовательно, — торжествующе произносим мы, — они у тебя есть, ведь ты же сам вначале признал, что если ты что-то не терял, то оно у тебя есть». Попробуйте разоблачить и этот софизм, определить, где и как в данном внешне правильном рассуждении нарушается закон тождества.

Однако на нарушениях закона тождества строятся не только неясные суждения и софизмы. С помощью нарушения этого закона можно создать какой-нибудь комический эффект. Например, Николай Васильевич Гоголь в поэме «Мертвые души», описывая помещика Ноздрева, говорит, что тот был «историческим человеком», потому что где бы он ни появлялся, с ним обязательно случалась какая-нибудь «история». На нарушении закона тождества построены многие комические афоризмы. Например: «Не стой где попало, а то еще попадет». Также с помощью нарушения этого закона создаются многие анекдоты. Например:

– Я сломал руку в двух местах. – Больше не попадай в эти места.

Как видим, во всех приведенных примерах используется один и тот же прием: в одинаковых словах смешиваются различные значения, ситуации, темы, одна из которых не равна другой, т. е. нарушается закон тождества.

Нарушение этого закона также лежит в основе многих известных нам с детства задач и головоломок. Например, мы спрашиваем собеседника: «За чем (зачем) находится вода в стеклянном стакане?» — преднамеренно создавая двусмысленность в этом вопросе (зачем — для чего и за чем — за каким предметом, где). Собеседник отвечает на один вопрос, например он говорит: «Чтобы пить, поливать цветы», а мы подразумеваем другой вопрос и, соответственно, другой ответ: «За стеклом».

В основе всех фокусов также лежит нарушение закона тождества. Эффект любого фокуса заключается в том, что фокусник делает что-то одно, а зрители думают совершенно другое, т. е. то, что делает фокусник, не равно (не тождественно) тому, что думают зрители, отчего и кажется, что фокусник совершает что-то необычное и загадочное. При раскрытии фокуса нас, как правило, посещает недоумение и досада: это было так просто, как же мы вовремя этого не заметили.

Закон противоречия

Закон противоречия говорит о том, что если одно суждение что-то утверждает, а другое то же самое отрицает об одном и том же объекте, в одно и то же время и в одном и том же отношении, то они не могут быть одновременно истинными. Например, два суждения: «Сократ высокий», «Сократ низкий» (одно из них нечто утверждает, а другое то же самое отрицает, ведь высокий — это не низкий, и наоборот), — не могут быть одновременно истинными, если речь идет об одном и том же Сократе, в одно и то же время его жизни и в одном и том же отношении, т. е. если Сократ по росту сравнивается не с разными людьми одновременно, а с одним человеком. Понятно, что когда речь идет о двух разных Сократах или об одном Сократе, но в разное время его жизни, например в 10 лет и в 20 лет, или один и тот же Сократ и в одно и то же время его жизни рассматривается в разных отношениях, например, он сравнивается одновременно с высоким Платоном и низким Аристотелем, тогда два противоположных суждения вполне могут быть одновременно истинными, и закон противоречия при этом не нарушается. Символически он выражается следующей тождественно-истинной формулой: (а Λ а), (читается: «Неверно, что а и не а»), где а — это какое-либо высказывание.

Говоря иначе, логический закон противоречия запрещает что-либо утверждать и то же самое отрицать одновременно. Но неужели кто-то станет нечто утверждать и то же самое тут же отрицать? Неужели кто-то будет всерьез доказывать, например, что один и тот же человек в одно и то же время и в одном и том же отношении является и высоким, и низким или что он одновременно и толстый, и тонкий; и блондин, и брюнет и т. п.? Конечно же нет. Если принцип непротиворечивости мышления столь прост и очевиден, то стоит ли называть его логическим законом и вообще уделять ему внимание?

Дело в том, что противоречия бывают контактными, когда одно и то же утверждается и сразу же отрицается (последующая фраза отрицает предыдущую в речи, или последующее предложение отрицает предыдущее в тексте) и дистантными, когда между противоречащими друг другу суждениями находится значительный интервал в речи или в тексте. Например, в начале своего выступления лектор может выдвинуть одну идею, а в конце высказать мысль, противоречащую ей; так же и в книге в одном параграфе может утверждаться то, что отрицается в другом. Понятно, что контактные противоречия, будучи слишком заметными, почти не встречаются в мышлении и речи. Иначе обстоит дело с дистантными противоречиями: будучи неочевидными и не очень заметными, они часто проходят мимо зрительного или мысленного взора, непроизвольно пропускаются, и поэтому их часто можно встретить в интеллектуально-речевой практике. Так, Виталий Иванович Свинцов приводит пример из одного учебного пособия, в котором с интервалом в несколько страниц сначала утверждалось: «В первый период творчества Маяковский ничем не отличался от футуристов», а затем: «Уже с самого начала своего творчества Маяковский обладал качествами, которые существенно отличали его от представителей футуризма».

Противоречия также бывают явными и неявными. В первом случае одна мысль непосредственно противоречит другой, а во втором случае противоречие вытекает из контекста: оно не сформулировано, но подразумевается. Например, в учебнике «Концепции современного естествознания» из главы, посвященной теории относительности Альберта Эйнштейна, следует, что, по современным научным представлениям, пространство, время и материя не существуют друг без друга: без одного нет другого. А в главе, рассказывающей о происхождении Вселенной, говорится о том, что она появилась примерно 20 млрд. лет назад в результате Большого взрыва, во время которого родилась материя, заполнившая собой все пространство. Из этого высказывания следует, что пространство существовало до появления материи, хотя в предыдущей главе речь шла о том, что пространство не может существовать без материи. Явные противоречия, так же как и контактные, встречаются редко. Неявные противоречия, как и дистантные, наоборот, в силу своей незаметности намного более распространены в мышлении и речи.

Примером контактного и явного противоречия может служить такое высказывание: «Водитель Н. при выезде со стоянки грубо нарушил правила, т. к. он не взял устного разрешения в письменной форме». Еще пример контактного и явного противоречия: «Молодая девушка преклонных лет с коротким ежиком темных вьющихся белокурых волос изящной походкой гимнастки, прихрамывая, вышла на сцену». Подобного рода противоречия настолько очевидны, что могут использоваться только для создания каких-нибудь комических эффектов. Поэтому наша задача — уметь их распознавать и устранять. Пример контактного и неявного противоречия: «Эта выполненная на бумаге рукопись создана в Древней Руси в XI в. (в XI в. на Руси еще не было бумаги)».

Наконец, наверное, каждому из нас знакома ситуация, когда мы говорим своему собеседнику, или он говорит нам: «Ты сам себе противоречишь». Как правило, в этом случае речь идет о дистантных или неявных противоречиях, которые, как мы увидели, довольно часто встречаются в различных сферах мышления и жизни. Поэтому простой и даже примитивный, на первый взгляд, принцип непротиворечивости мышления имеет статус важного логического закона.

Важно отметить, что противоречия также бывают мнимыми. Некая мыслительная или речевая конструкция может быть построена так, что, на первый взгляд, выглядит противоречивой, хотя на самом деле никакого противоречия в себе не содержит. Например, известное высказывание Антона Павловича Чехова: «В детстве у меня не было детства», — кажется противоречивым, т. к. оно вроде бы подразумевает одновременную истинность двух суждений, одно из которых отрицает другое: «У меня было детство», «У меня не было детства». Таким образом, можно предположить, что противоречие в данном высказывании не просто присутствует, но и является наиболее грубым — контактным и явным. На самом же деле никакого противоречия в чеховской фразе нет. Вспомним, закон противоречия нарушается только тогда, когда речь идет об одном и том же предмете, в одно и то же время и в одном и том же отношении. В рассматриваемом высказывании речь идет о двух разных предметах: термин «детство» употребляется в различных значениях: детство как определенный возраст; детство как состояние души, пора счастья и безмятежности.

Таким образом, мнимое противоречие можно использовать как художественный прием. Достаточно вспомнить названия известных литературных произведений: «Живой труп» (Л. Н. Толстой), «Мещанин во дворянстве» (Ж. Мольер), «Барышня-крестьянка» (А. С. Пушкин), «Горячий снег» (Ю. В. Бондарев) и др. Иногда на мнимом противоречии строится заголовок газетной или журнальной статьи: «Знакомые незнакомцы», «Древняя новизна», «Необходимая случайность» и т. п.

Итак, закон противоречия запрещает одновременную истинность двух суждений, одно из которых нечто утверждает, а другое то же самое отрицает об одном и том же предмете, в одно и то же время и в одном и том же отношении. Однако этот закон не запрещает одновременную ложность двух таких суждений. Вспомним, суждения: «Он высокий», «Он низкий», — не могут быть одновременно истинными, если речь идет об одном и том же человеке, в одно и то же время его жизни и в одном и том же отношении (относительно какого-то одного образца для сравнения). Точно так же одновременно ложными (но не одновременно истинными!) могут быть суждения: «Эта вода горячая», «Эта вода холодная»; «Данная речка глубокая», «Данная речка мелкая»; «Эта комната светлая», «Эта комната темная». Одновременную ложность двух суждений мы часто используем в повседневной жизни, когда, характеризуя кого-то или что-то, строим стереотипные обороты типа: «Они не молодые, но и не старые», «Это не полезно, но и не вредно», «Он не богат, однако и не беден», «Данная вещь стоит не дорого, но и не дешево», «Этот поступок не является плохим, но в то же время его нельзя назвать хорошим».

В известной песне «Подмосковные вечера» есть такие слова: «...речка движется и не движется... песня слышится и не слышится...». Реальное или мнимое противоречие представляет собой эта фраза? Все помнят знаменитые слова из сказки Александра Сергеевича Пушкина: «Кто на свете всех милее, всех румяней и белее?» Возможно, вы и раньше задумывались над тем, как можно быть румяней и белее одновременно. Реальное или мнимое противоречие присутствует в данном высказывании?

Закон исключенного третьего

Суждения бывают противоположными и противоречащими. Например, суждения: «Сократ высокий», «Сократ низкий», — являются противоположными, а суждения: «Сократ высокий», «Сократ невысокий», — противоречащими. В чем разница между противоположными и противоречащими суждениями? Нетрудно заметить, что противоположные суждения всегда предполагают некий третий, средний, промежуточный вариант. Для суждений: «Сократ высокий», «Сократ низкий», — третьим вариантом будет суждение: «Сократ среднего роста». Противоречащие суждения, в отличие от противоположных, не допускают или автоматически исключают такой промежуточный вариант. Как бы мы ни пытались, мы не сможем найти никакого третьего варианта для суждений: «Сократ высокий», «Сократ невысокий» (ведь и низкий, и среднего роста — это все невысокий).

Именно в силу наличия третьего варианта противоположные суждения могут быть одновременно ложными. Если суждение: «Сократ среднего роста», — является истинным, то противоположные суждения: «Сократ высокий», «Сократ низкий», — одновременно ложны. Точно так же именно в силу отсутствия третьего варианта противоречащие суждения не могут быть одновременно ложными. Таково различие между противоположными и противоречащими суждениями. Сходство между ними заключается в том, что и противоположные суждения, и противоречащие не могут быть одновременно истинными, как того требует закон противоречия. Таким образом, этот закон распространяется и на противоположные суждения, и на противоречащие. Однако, как мы помним, закон противоречия запрещает одновременную истинность двух суждений, но не запрещает их одновременную ложность; а противоречащие суждения не могут быть одновременно ложными, т. е. закон противоречия является для них недостаточным и нуждается в каком-то дополнении. Поэтому для противоречащих суждений существует закон исключенного третьего, который говорит о том, что два противоречащих суждения об одном и том же предмете, в одно и то же время и в одном и том же отношении не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными (истинность одного из них обязательно означает ложность другого, и наоборот).

Виды вопросов и ответов

Значение систематизации вопросов

Отнесение конкретного вопроса к тому или иному логическому виду имеет не столько чисто познаватель­ный интерес, сколько практическое значение для упо­рядочения и повседневного информационного общения и взаимопонимания. Каждый из видов вопросов, поми­мо содержательного своеобразия, имеет особенности логической структуры и признаки, которые позволяют избирать для ответа на вопрос наиболее целесообраз­ные формы.

Различение видов вопросов осуществляется по раз­ным основаниям. Каждый конкретный вопрос — «перекрестье» ряда логических признаков. В своей сово­купности эти признаки дают полную логическую харак­теристику вопроса.

Категориальные и пропозициональные вопросы

Вопросы, искомые данные для которых должны быть взяты из некоторой предметной области, определяемой вопросительным словом, называются категориальны­ми. В них вопросительное слово, указывая направление исследования, тем самым указывает и категорию явле­ний, в пределах которых следует искать ответ. Напри­мер, «Какие международные фирмы специализируют­ся на изготовлении высококачественной медицинской аппаратуры?».

Вопросы, ориентированные на получение ответов, в которых основная часть сохраняется неизменной, а искомая часть заменяется лишь ее подтверждением или отвержением, называются пропозициональными. В этих вопросах, по существу, заложен ответ в виде го­тового суждения, которое нужно лишь подтвердить или опровергнуть. Например, «Все ли готово к проведе­нию предварительных консультаций по слиянию фи­лиалов фирмы? ».

Определенные и неопределенные вопросы

Критерием различения этих вопросов является объем вопроса. Вопросы с определенным объемом под­разделяются на следующие виды:

1. Вопросы строго определенные своим предметом и классом возможных ответов. Такие вопросы пред­полагают совершенно определенные высказывания и требуют ответа — истинно или ложно, т. е. опираются на закон исключенного третьего. Например, это воп­росы, содержащие связки «был», «есть», «не являет­ся» и т. п., предполагающие наличие крайних состоя­ний.

2.Вопросы, строго определенные своим предме­том, но допускающие единственный истинный ответ, касающийся единственного предмета, и предполагаю­щие неопределенное количество ложных ответов.

Например, вопрос «Когда открыт текущий банковский счет этого совместного предприятия? ».

3.Альтернативные вопросы, которые предполага­ют, по крайней мере, два высказывания и требуют от­вет относительно того, которое из них истинно. Количе­ство возможных ответов зависит оттого, что означает связка «или», соединяющая альтернативные высказы­вания. Например, вопрос «Можно ли достаточно эф­фективно обеспечивать ресурсами одновременно раз­вертывание производства нескольких групп товаров или следует развертывать производство различных групп товаров последовательно? ».

4. Вопросы, строго не определенные, предоставля­ют спрашиваемому возможность вольного понимания предмета вопроса. Предмет вопроса определен лишь в общих чертах. В таких случаях существует значитель­ная опасность неполноты и неясности ответа. Подоб­ным будет вопрос «Что Вы можете сказать по существу представленного проекта? ».

Открытые и закрытые вопросы

Характеристику определенности вопроса можно оценить и иначе. Вопросы строго определенные, как правило, являются закрытыми. Закрытым будет вопрос, допускающий исчерпывающий ответ. Последний опре­делен конечностью и обозримостью объема и предпо­сылок вопроса.

Открытым же будет вопрос, не позволяющий дать исчерпывающий ответ. Достаточность ответа в таком случае зависит не от свойств вопроса, а от оценки от­вета спрашивающим. Открытые вопросы не являются строго определенными. Вопрос «Является ли данное предприятие рентабельным?» — закрытый, а вопрос «Каковы основные идеи, содержавшиеся в знаменитом плане Маршалла?» — открытый.

Не всегда легко провести грань между открытым и закрытым вопросами. Чтобы таковую операцию прове­сти правильно, следует предварительно упростить воп­росы, придать им ясную логическую форму.

 

Корректные и некорректные вопросы

Корректными называются такие вопросы, которые опираются на истинные предпосылки. Корректность вопроса бывает разной:

а) корректным будет вопрос, на который существует истинный ответ независимо от того, может или не может человек в силу каких-то обстоятельств дать истинный ответ на этот вопрос;

б) корректным будет вопрос, для ответа на который у человека не только имеется информация, но и отсут­ствует неопределенность в использовании этой ин­формации.

Есть вопросы, на которые получить истинные отве­ты принципиально невозможно. Таков, например, ка­тегориальный вопрос «Почему в настоящее время в мире полностью исчезла тяжелая промышленность? ». Таков же пропозициональный вопрос «Когда же, нако­нец, доставка крупногабаритных грузов по беспрово­лочному телеграфу будет заменена более современны­ми средствами?». Оба вопроса базируются на ложных предпосылках и поэтому являются некорректными. Единственно верной реакцией на некорректные воп­росы является отрицание предпосылок, которые в не­явной форме содержатся в основной части.

Но некорректным может быть и вопрос, который, хотя и опирается на истинные предпосылки, но слиш­ком неопределенный в использовании имеющейся информации для ответа на заданный вопрос.

Можно ли пользоваться некорректными вопроса­ми? Если в научных исследованиях они бессмыслен­ны, то в педагогических или контрольных целях их можно использовать для проверки точности мышле­ния и понимания того предмета, о котором идет речь. На некорректный вопрос строго мыслящий человек логично не ответит.

Простые и сложные вопросы

Простые вопросы выражены простым предложени­ем, например, «Каков порядок оформления договора подряда со строительной фирмой? ».

Простые вопросы, в свою очередь, могут быть ус­ловными и безусловными. Вопрос «Действительно ли на практике реализуется принцип независимости экс­пертных оценок? » — простой безусловный, а вопрос «Надо ли увеличивать процентные ставки краткосроч­ных вкладов, если банк заинтересован в привлечении лишь крупных вкладчиков? » — простой условный.

Сложный вопрос выражается с помощью различных сложносочиненных предложений, например: «Кто и на каком основании рассчитывает на долгосрочные нало­говые льготы ?».

Сложные вопросы делятся на вопросы соединитель­ные (имеющие конъюнктивную структуру) и раздели­тельные (имеющие дизъюнктивную структуру). Так, вопрос «Вы хотите сдавать экзамены досрочно или в период экзаменационной сессии? » — сложный разде­лительный, а вопрос «Является ли увеличение налого­вых сборов основанием для оценки эффективности государственной экономической политики и условием для увеличения инвестирования средств в легкую про­мышленность? » — сложный соединительный.

Явные и скрытые вопросы

Явный вопрос выражается в языке полностью вме­сте со своими предпосылками и требованием устано­вить неизвестное. Явные вопросы всегда имеют грам­матическую форму вопросительного предложения.

Скрытый вопрос выражается лишь своими предпо­сылками, а требование устранить неизвестное восста­навливается после осмысления предпосылок вопроса. Такие вопросы обычно имеют повествовательную фор­му (например, заглавие научного исследования). Они прямо не высказываются, но создают ситуацию не­хватки информации, связанной с данным утвержде­нием.

Общие и частные вопросы

Общие вопросы формулируются относительно все­го предмета интереса (диалога), касаются предмета в целом.

Частные вопросы относятся к отдельной стороне предмета интереса, его свойству, отношению и т. п. По отношению к общим вопросам частные вопросы выпол­няют вспомогательную роль, выступают логичными следствиями формулировки общего вопроса. Напри­мер, вопрос о закономерностях развития общества может быть частным по отношению к вопросу о законо­мерностях сложных систем с необратимыми процес­сами; в то же время он будет сам общим по отношению к вопросу о закономерностях развития предпринима­тельской сферы в жизни общества.

Общий вопрос, как правило, сопровождается целым рядом частных вопросов. Поскольку не всякий общий вопрос непосредствен­но доступен для ответа, постольку назначение частных вопросов состоит преимущественно в том, чтобы повы­сить степень доступности ответа на общий вопрос или сделать его таковым.

Узловые и наводящие вопросы

Вопрос является узловым, если ответ на него непос­редственно служит раскрытию темы диалога в целом.

Вопрос является наводящим, если верный ответ ка­ким-то образом подготавливает или приближает к пони­манию узлового вопроса. Наводящие вопросы весьма популярны, например, в преподавательской деятельно­сти, при проведении опросов, интервьюировании, вы­яснении деталей предлагаемого на совещании проекта и т. п.

Уточняющие и восполняющие вопросы

Уточняющие вопросы требуют лишь подтверждения или опровержения основной части вопроса. Во всех уточняющих вопросах присутствует частица «ли», вклю­ченная в словосочетания «верно ли», «действительно ли», «надо ли» и т. п. Например, «Действительно ли изменения в запасах учитываются как часть инвести­ционных расходов ? ».

Восполняющие вопросы отличаются тем, что вклю­чают в свой состав такие вопросительные слова, как «Где?», «Когда?», «Кто?» и т. п. Основная смысловая нагрузка в них, в отличие от уточняющих вопросов, падает на искомую часть.

Деление вопросов на уточняющие и восполняющие совместимо с делением вопросов на простые и слож­ные, условные и безусловные.

Проблемы и задачи

Проблема — особый вид вопроса. Проблемой име­нуют относительно трудный исследовательский вопрос, как правило, поддающийся разложению на несколько вытекающих из него вопросов (которые имеют частный характер) и имеющий достаточно широкое поле инфор­мационного поиска.

Проблема в сочетании с некоторыми сведениями, которые полагаются необходимыми условиями для получения ответа, называются задачей.

Общая характеристика ответа

Любое суждение может быть рассмотрено как от­вет на некоторый вопрос. Суждение с ясным логичес­ким смыслом содержит ответ на один вопрос, а потому данный ответ будет определенным. Суждение с неяс­ным смыслом есть неопределенный ответ. Если невоз­можно или затруднительно сформулировать тот воп­рос, ответом на который является данное суждение, то смысл суждения, его предмет, остается неясным, а включение его в процесс рассуждения делает и всю мысль неопределенной, а аргументирование — беспо­лезным.

Положительные и отрицательные ответы

Положительные ответы подтверждают то, что со­держится в основной части вопроса. Любое утверди­тельное суждение (простое либо сложное) — положи­тельный ответ.

Отрицательные ответы опровергают (или не под­держивают) то, что содержится в основной части воп­роса. Любое отрицательное суждение (простое или сложное) — отрицательный ответ.

Определяющие и рассказывающие ответы

Определяющие ответы представляют какой-либо предмет или элементы содержания мысли о нем. Эти ответы, как правило, выражаются в краткой форме, например, посредством дефиниций.

Рассказывающие ответы представляют собой воль­ное и порой пространное изложение мыслей по инте­ресующему нас вопросу. В качестве такого ответа мо­жет послужить целое научное исследование.

Условные и безусловные ответы

Условные ответы высказывают нечто с определен­ной точки зрения, с учетом тех или иных обстоятельств, предположительно. Условные ответы могут сопровож­даться словами типа «насколько я знаю», «если я точно помню», «кажется» и т. п.

Безусловные ответы что-либо категорически утвер­ждают или отрицают. По своей логической структуре они относятся к наиболее ясным.

Полные и частичные ответы

Полные ответы, определяющие они или рассказы­вающие, без остатка устраняют сообщаемую вопросом неопределенность.

Частичные ответы устраняют сообщаемую вопросом неопределенность и приближают превращение неизве­стного в известное лишь в некоторой степени. Как пра­вило, полный ответ состоит из ряда частичных ответов. Следование таким путем помогает получить наиболее обстоятельный, убедительный, развернутый ответ.

Прямые и косвенные ответы

Прямые ответы непосредственно и явно утвержда­ют или отвергают информацию, содержащуюся в ос­новной части вопроса.

Косвенные ответы связаны с прямым некоторым логическим отношением по истинности. В разделе, по­священном умозаключениям, мы подробнее рассмотрим

принципы и правила, которые позволяют переходить от косвенных ответов к прямым ответам формально-логи­ческим путем.

Подходящие и неподходящие ответы

Подходящие ответы соответствуют основной или искомой части вопроса. Походящий ответ — не всегда истинный ответ. Неподходящие ответы лишь по види­мости отвечают на некоторый вопрос, прямой или кос­венный. Как правило, между таким ответом и вопросом нет действительной логической связи. Неподходящие ответы всегда ложны по отношению к данному вопросу.

Логическая характеристика конкретного ответа дол­жна основываться на совместимости признаков раз­личных видов ответов. Есть признаки сочетаемые и несочетаемые.

Определение Кантора.

Множество есть любое собрание определенных и различных между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимая как единое целое. Эти объекты называют элементами или членами множества.

Определение Бурбаки.

Множество образуется из элементов, обладающих некоторыми свойствами и находящихся в некоторых отношениях между собой или с элементами других множеств.

Для обозначения множеств будут использоваться заглавные буквы латинского алфавита, а для обозначения их элементов - строчные буквы, которые могут быть с индексами.

Один из методов задания множества - перечисление элементов:       

A = {a1, …, an}.

Факт принадлежности элемента к множеству обозначается символом «Î». Например:

а1 Î А

х Î А (х есть элемент множества А)

Отрицание факта принадлежности элемента к множеству обозначается одним из символов: «Ï», «ùλ. Например: y Ï A.

Объединение множеств

Для любых двух множеств А и В существует единственное множество С такое, что оно состоит из всех элементов множества А и из всех элементов множества В. Это множество С называется объединением множеств А и В. Операция объединения обозначается знаком «È».

С=АÈВ: (хÎАÈВ)«(хÎA V xÎB)

Пример: {1,2,3} È {1,3,4}={1,2,3,4}

С помощью кругов Эйлера данную операцию можно представить следующим образом (рис. 4.2 )    

Рис. 4.2. С=А È В

Разность множеств

Для любых множеств А и В существует единственное множество С, состоящее из всех элементов множества А, которые не являются одновременно элементами множества В. Это множество С называется разностью множеств А и В.

Операция разности множеств обозначается знаком «\» или «-».

              С=А\В или С=А-В: (х Î A \ B ) « ( х Î A ) & ( x Ï B )

Пример: {А,Б,В,Г,Д}\{В,Г,Е,Ж}={А,В,Д}

Графически операция разности множеств представлена на рис. 4.3.

Рис.4.3. С=А\В

Пересечение множеств

Множество всех элементов, принадлежащих одновременно каждому из множеств А и В, называется пересечением множеств А и В (рис. 4.4).

Операция пересечения обозначается знаком «Ç ».

С=АÇВ: (х Î A Ç В) « (х Î A ) & ( х Î B )

С= A Ç В=А\(А\В)

Пример: { X , Y , Z , W } Ç { Z , W , V }={ Z , W }

Рис. 4.4. С=А Ç В

Обращение (симметризация)

Отношение, симметричное (обратное) некоторому отношению R = X *Y обозначается R -1 и является подмножеством R -1 Ì Y * X, образованное парами <y , x > , что < x , y > Î R .

Кроме того, к отношениям можно принимать все теоретико-множественные операции.

Общие свойства отношений.

Рефлексивность – свойство отношений, когда каждый элемент множества находится в данном отношении к самому себе.

Пусть R – бинарное отношение на множестве Х, т.е. R = X ´ Х.

Отношение R рефлексивно, если для любого х Î Х имеет место х R х.

Например, отношения между числами в выражениях а = а или а ³ а обладают свойством рефлексивности, так как для каждого а есть пара (а, а), находящаяся в данном отношении.

Антирефлексивность - свойство отношений, когда ни какой элемент множества не находится в данном отношении к самому себе.

Пусть R – бинарное отношение на множестве Х, т.е. R = X ´ Х.

Отношение R антирефлексивно, если для любого х Î Х не имеет место х R х.

Например, отношения между числами в выражениях а > c обладает свойством антирефлексивности, так как нет ни одной пары (а, а), находящейся в этом отношении.

Симметричность – свойство отношений, когда наличие этого отношения между парой элементов x i и x j, влечет за собой и наличие этого же отношения между элементами обратной пары ( x j , xi).

Пусть R – бинарное отношение на множестве Х, т.е. R = X ´ Х.

Отношение R симметрично, если

( x i , x j ) Î R « ( x j , x i ) Î R .

Например, отношение неравенства на множестве чисел обладает свойством симметричности, так как если а ¹ с, то и с ¹ а.

Асимметричность - свойство отношений, когда наличие этого отношения между парой элементов x i и x j, влечет за собой отсутствие этого отношения между элементами обратной пары ( x j , x i).

Пусть R – бинарное отношение на множестве Х, т.е. R = X ´ Х.

Отношение R асимметрично, если

( x i , x j ) Î R « ( x j , x i ) Ï R , т.е. R Ç R -1 = Æ

Если отношение асимметрично, то оно и антирефлексивно.

Например, отношения между числами в выражениях а > c обладает свойством асимметричности, так как если для пары (а, с) справедливо отношение а > c, то для пары (с, а), отношение с > а не имеет места.

Антисимметричность - свойство отношений, когда наличие этого отношения между парой элементов (x i , x j) и наличие этого же отношения у обратной парой (x j , x i), возможно только в том случае, если x i ,= x j..

Пусть R – бинарное отношение на множестве Х, т.е. R = X ´ Х.

Отношение R антисимметрично, если

( x i , x j ) Î R & ( x j , x i ) Î R « x i ,= x j

Например, отношение между числами (а, с) в выражении а ³ с обладает свойством антисимметрии, так как отношение « ³ » справедливо и для обратной пары только в том случае, если а = с.

Транзитивность – свойство отношения, состоящее в том, что если первый элемент находится в данном отношении ко второму элементу, а второй элемент находится в этом же отношении к третьему элементу, то первый элемент находится в этом отношении к третьему элементу.

Пусть R – бинарное отношение на множестве Х, т.е. R = X ´ Х.

Отношение R транзитивно, если

( x i , x j ) Î R & ( x j , x к ) Î R ® ( x i , x к ) Î R .

Например, отношение между числами (а, b) в выражении или а > b обладает свойством транзитивности, так как если отношение « > » справедливо для пары а > b и справедливо для пары b > c, то оно справедливо и для пары    а > c.

Сложные отношения

Эквивалентные отношения обладают свойствами рефлексии, симметрии и транзитивности. Действительно, эквивалентность означает неразличимость объектов по принятым показателям. Для обозначения отношения эквивалентности используется символ º.

Отношение строго порядка обладает свойствами антирефлексии и транзитивности. Для обозначения отношения используется символ >.

Отношение квазипорядка обладает свойствами рефлексии и транзитивности. Для обозначения квазипорядка используется символ ³. Например, если Oi ³ Oj, то говорят, что объект Oi не хуже объекта Oj.

Если любые два объекта из множества О сравнимы по отношениям строго порядка или квазипорядка , то добавляют слово “полный” или “линейный”: полный строгий порядок или полный квазипорядок.

Вопросы для самопроверки к главе 3

1. Определение множества.

2. Операции над множествами.

3. Понятие универсума, подмножества, пустого множества, дополнения.

4. Свойства операций над множествами, равносильные преобразования.

5. Декартово произведение множеств.

6. Бинарные отношения.

7. Свойства бинарных отношений.

Упражнения к главе 3

1. Какие из ниже приведенных соотношений не верны и почему?

a) x Î {2, 4, x , y , { x , a }}

b) Î { x , {2, 3}, a }

c) x Î {2, sin x }

d) { x , a } Î {2, 4, x , y , { x , a }}

2. В каких отношениях находятся между собой следующие множества:

А = {1, 3};

B – множество нечетных положительных чисел;

С – множество корней уравнения х 2 -4х+3.

3. В качестве универсума есть принимается множество первых двадцати натуральных чисел.

Записать следующие подмножества универсума:

А – множество четных чисел;

В – множество нечетных чисел;

С – множество квадратов чисел;

D – множество простых чисел;

Записать все множества, полученные в результате следующих операций:

4. Дано множество А={{1, 2}, {3}, 1}

Записать все элементы множества всех подмножеств P(А)

5. Представьте заштрихованные области в ниже приведенных диаграммах аналитическими выражениями:

     
 

 

 


6. Доказать равносильность следующих выражений

 

7. Дано множество фигур Х={ x 1 , х 2 , х 3 , х 4 , х 5 }

 




Институт экономики и управления

620100 Екатеринбург, Сибирский тракт, 37, оф. 1-136

 

Тел.  +7 (343) 262-96-08
Сайт: http://management-usfeu.ru/

 

 

Логика

Курс лекций

для студентов направлений

Менеджмент

Управление персоналом

Управление качеством

 

Разработчик – доцент Акчурина Г.А.

Екатеринбург 2015



Оглавление

Введение.. 3

Логика в системе других наук. 5

1. Исчисление высказываний.. 8

1.1. Язык формальной системы.. 9

1.2. Таблицы истинности в алгебре логики. 17

1.3. Равносильность формул. 20

1.4. Закон двойственности. 24

1.5. Тавтологии, противоречия и выполнимые формулы. 25

1.6. Проблема разрешимости. 27

1.7 Логическое следование. 31

1.8.Непротиворечивость множества высказываний. 45

Вопросы для самопроверки к главе 1. 51

Упражнения к главе 1. 52

2.Логика и анализ текстов.. 57

2.1. Законы логики. 57

2.2.Типы логических ошибок. 68

2.3 Логические основы вопросно-ответного мышления. 71

Упражнения к главе 2. 82

3. Элементы теории множеств.. 83

3.1. Понятие множества. 83

3.2. Операции над множествами. 85

3.3. Включения. Подмножество. Пустое множество. 87

3.4. Универсум. Дополнение. 89

3.5. Свойства операций над множествами. 90

3.6. Декартово произведение множеств. 92

3.7. Бинарные отношения. 93

Вопросы для самопроверки к главе 3. 99

Упражнения к главе 3. 99

Библиографический список.. 104

Основная литература. 104

Дополнительная литература. 105

Internet источники. 107


Введение

Математическая логика является важной и необходимой составляющей общечеловеческой культуры, как образец структуры знаний, «оружие для размышления». Она должна восприниматься, прежде всего, как образец построения концепций, что является важным для любой гуманитарной специальности. Особенность человеческой культуры - единство структуры знаний самой различной природы – (исходные понятия – концепции и предположения – правила логического вывода (доказательств) – техника – результаты и их интерпретация). Решение даже самой далекой от науки проблемы требует кроме мотивационных моделей еще и средств рациональных. Общие законы рационального анализа проблем, относящихся к любому виду знаний и сфер деятельности, являются необходимой составляющей решения частных проблем. Математика и, в частности, математическая логика – это некий образец языка и общего метода формулирования проблем и рационального их решения в любом виде человеческой деятельности. Осознать стоящую проблему, сформулировать, формализовать ее на языке, присущем той предметной области, к которой относится проблема, найти лучший метод решения, основанный на логически выверенных конструкциях и выводах – вот общий путь рационального решения проблемной ситуации.

Следует выделить три основных элемента рационального разрешения проблемы:

– видение и содержательное системное описание (модель) анализируемого объекта;

– правильные логические рассуждения, позволяющие получать глубокие новые знания об исследуемом объекте и выбор метода исследования и решения;

– анализ и интерпретация результатов (возможны следующие варианты: результат лежит в русле общепризнанных концепций и является их развитием, результат противоречит общепринятым представлениям и оказывается открытием, результат противоречит общепринятым представлениями оказывается ошибкой).

Для того, чтобы пройти эти этапы и дать правильную квалификацию результату (открытие или ошибка), необходимо иметь хорошую технику исследований, обеспечить полноту и корректность экспериментов, безупречность рассуждений и логических выводов.

Целью данного курса является обеспечение будущих менеджеров знаниями, умениями и навыками, необходимыми для освоения и использования современных технологий обработки информации, анализа систем и ситуаций, принципов рассуждений, принятия решений.

Задачи курса:

– сформировать у студентов представление о возможностях, предоставляемых моделями и методами математической логики, и направлениях их использования в практической деятельности.

– ознакомить студентов с моделями математической логики, не изучаемыми в рамках специализированных курсов, и соответствующими методами решения задач.

– развить у студентов умение переходить от содержательных формулировок задач к формальным моделям и выбирать эффективные методы решения.

– привить студентам технологические навыки, обеспечивающие эффективность процесса использования приобретаемых знаний в современных информационных средах.

– закрепить у студентов систему понятий, необходимую для овладения современными информационными технологиями на базе логического и объектно - ориентированного программирования, реляционных систем управления базами данных, экспертных систем.

Логика в системе других наук

Тот факт, что предмет логики не совпадает с предметом естествен­ных наук, таких, например, как физика, химия или биология, вполне очевиден. Трудности в понимании предмета логики возникают лишь при сравнении ее с философией, психологией и математикой, так как философия и психология традиционно считаются науками о мышлении в его различных аспектах, а математика, так же как и логика, изучает общие взаимосвязи между определенными абстрактными объектами.

В отличие от философии, которая часто определяется как «наука об общих принципах природы, общества и мышления», логика, во-первых, не изучает непосредственно ни природу, ни общество. Знание общих принципов природы и общества может быть получено в логике лишь опосредованно, через изучение логоса, форм и методов рацио­нального мышления. Во-вторых, логика в отличие от философии не изучает чисто субъективные, иррациональные аспекты человеческого мышления. Правомерно говорить о различных видах иррациональной (философии (например, об экзистенциализме, ницшеанстве и т. п.), но бессмысленно говорить об иррациональной логике в силу самого определения логики. Наконец, в-третьих, в отличие от философии современная символическая логика в процессе изучения рационального мышления использует не только естественный язык, но и различные формальные языки, различные методы дедуктивной формализации знании. В этом смысле можно сказать, что логика есть не что иное, как формализованная философия рационального мышления.

В отличие от логики психология непосредственно изучает не абстрактные объекты, не собственно рациональное мышление, а те специфические эмпирические объекты, в которых первоначально прояв­ляется (воплощается) мышление человека. Такими специфическими объектами являются перцепции (сенсорные образы), образующие в своей совокупности то, что принято называть сознанием, внутренним миром конкретного человека (см. гл. 12). Различие между перцепциями, воз­никающими в сознании конкретного человека, и абстрактными объ­ектами, доступными пониманию многих людей, носит весьма тонкий характер и часто не принимается во внимание. В конечном счете что приводит к психологизму — представлению о том, что логика есть якобы часть психологии. Еще в начале XX в. немецким философом Эдмундом Гуссерлем (1859—1938) психологизм в логике был подверг­нут обстоятельной критике. Впоследствии несостоятель­ность психологизма была подтверждена всем опытом развития логики как точной науки.

Что касается математики, то ее предметная область является частью предметной области логики. Математика (во всяком случае, классичес­кая) изучает универсальные взаимосвязи между числами и абстракт­ными объектами, производными от чисел. Поэтому ее можно считать своеобразной логикой чисел, или числовой логикой. В пользу того свидетельствует опыт развития как логики, так и математики. В силу ряда причин (в частности, в силу практических потребностей в эффективных методах счета) ма­тематика, или числовая логика, длительное время развивалась незави­симо от логики в целом и как точная наука сложилась задолго до того, как логика окончательно отделилась от философии в качестве самостоятельной науки. Несмотря на это, еще Г. В. Лейбницем (1646— 1716) был выдвинут тезис о том, что математика есть часть логики. Впоследствии Г. Фреге (1848—1925) показал, что основные понятия арифметики и классической теории множеств могут быть сведены к логическим понятиям. В начале XX в., в связи с обнаруженными парадоксами в основаниях классической теории множеств, работы по сведению математики к логике были прекращены и затем снова про­должены лишь в 80-е годы, после того, как было найдено объяснение парадоксов, согласующееся с основополагающими логическими прин­ципами. Помимо попыток логически обосновать матема­тику, происходит интенсивное проникновение математики в логику, совершенствуется формальный язык логики, разрабатываются точные алгоритмические методы логического вывода и доказательства, иссле­дуются проблемы применения логики в информатике.

Подводя итог, можно сказать, что логика, с одной стороны, есть точная философская наука (формализованная философия рациональ­ного мышления), а с другой стороны, она все больше сближается с математикой как своей естественной составной частью.


1. Исчисление высказываний

Предмет нашего изучения - логика, или, говоря более точно - формальная логика.

Обычно формальная логика занимается анализом предложений или суждений и доказательств; при этом основное внимание обращается на форму в отвлечении от содержания.

Формальная логика - наука о знаниях, полученных из ранее установленных и проверенных истин, без обращения в каждом конкретном случае к опыту, а только в результате применения законов и правил мышления.

Первой ступенью формальной логики является традиционнаялогика, которая изучает общечеловеческие законы правильного построения и сочетания мыслей в рассуждении (тождества, противоречия, законы исключенного третьего, законы достаточного основания) и формы связей мыслей в умозаключения (индукция, аналогия, дедукция).

Второй ступенью ФЛ является математическая логика, применяющая математические методы и специальный аппарат символов и исследующая мышление с помощью исчислений.

Введем понятие формальной системы логики

Первой частью формальной системы является ее язык. Язык должен быть выбран так, чтобы структура предложений по возможности отображала их смысл. Чтобы определить язык, нужно, прежде всего, определить его символы. В случае русского языка символами являются буквы, цифры и знаки препинания. Большинство наших искусственных языков будет иметь бесконечное множество символов. Любая конечная последовательность символов языка называется выражением этого языка. Мы будем требовать, чтобы в языке некоторые выражения выделялись как формулы этого языка, под ними мы будем понимать такие выражения, которые утверждают некоторый факт.

Следующей частью формальных систем являются ее аксиомы. Единственное требование состоит в том, чтобы аксиома была формулой языка формальной системы.

Третья часть формальной системы - это правила вывода. Каждое правило вывода утверждает, что при некоторых условиях одна формула, называемая заключением, может быть выведена из некоторых других формул, называемых посылками.

 

1.1. Язык формальной системы

Логическими постоянными являются «истина» и «ложь» .

В литературе встречается множество обозначений категорий “истина” и “ложь”.

Принятые обозначения истины – «И», «True», «Т», 1.

Принятые обозначения лжи - «Л», «False», «F», 0.


Поделиться:



Последнее изменение этой страницы: 2019-03-22; Просмотров: 293; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.96 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь