|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Способы установления логического следования
A) Построение таблицы истинности Строится таблица истинности вида
Если в таблице истинности встретилась хотя бы одна строчка, в которой все формулы-посылки Aj (j=1,…,n) имеют значение «и», а формула-заключение B имеет значение «л», то логического следования нет. Если в каждой строке, где Аj как значение «и» и В как «и», то логическое следование имеет место. B) Приведение формулы, полученной по утверждениям 1б(1а) приведенным к нормальным формам (A 1 , A 2 , … , A n ᅣ B )↔( ᅣ (A 1 &A 2 & … &A n →B)) По набору посылок и заключений строит формулу A 1& A 2& …& A n→ B, которая приводится к КНФ (можно и к ДНФ, а можно и просто упрощать). Если в результате преобразований формула A 1& A 2& …& A n→ B тождественно истинна, то логическое следование имеет место. Во всех других случаях логического следования нет. C) Анализ от противного – анализ, исходящий из предположения, что заключение не является логическим следствием системы высказываний, т.е. предполагается, что существует, по крайней мере, хотя бы один набор истинностных значений переменных, входящих в систему А 1, А 2, …, А nᅣВ, на котором высказывания-посылки истинны, а заключение ложно. А 1 – и А 2 – и А 3 – и … Аn – и В - л Последовательно по формулам проводим анализ возможных значений переменных, набор которых обеспечивает выполнение предположения. Анализу подвергаются все формулы, начиная с формулы В. порядок использования формул-посылок в разных «ветвях» анализа может быть разным. После рассмотрения всех формул при всех возможных, исходя из предположения значения переменных, будет иметь место одна из двух ситуаций: - при каждом возможном, исходя из предположения, наборе значения переменных будет получено противоречие с нашим предположением, что формула В не является логическим следствием посылок А1, А2, …, А n, т.е. одна из предпосылок не может иметь значение «и». В этом случае логическое следование имеет место. Все ветки анализа заканчиваются противоречием – логическое следование имеет место. - рассмотрены все формулы, и при каком-либо наборе значений переменных (по крайней мере, одном) противоречие не получено. В этом случае логического следования нет. Найденные наборы истинностных значений переменных, не приводящие к противоречию (являются опровергающим примером). Процесс анализа оформляется в виде дерева с ветвлениями по различным возможным значениям переменных. Получение ситуации отсутствия противоречия хотя бы на одной из ветвей дерева анализа позволяет сформулировать ответ «В не является логическим следствием высказываний А1, А2, …, А n», не строя другие ветви. Хотя анализ может быть продолжен для нахождения других опровергающих примеров. D) Прямой анализ – анализ, исходящий из предположения, что формула-заключение В является логическим следствием системы высказываний, т.е. предполагается, что на всех наборах истинностных значений переменных, входящих в систему А 1, А 2, …, А nᅣВ, на которых высказывания-посылки истинны, заключение тоже истинно. А 1 – и А 2 – и А 3 – и … __Аn – и__ В - и Проводится анализ возможных значений переменных, обеспечивающих выполнение предположения. Анализу подвергаются все формулы-посылки в произвольном порядке, заключение анализируется в последнюю очередь. После рассмотрения всех формул при всех возможных, исходя из предположения, значениях переменных, будет иметь место одна из двух ситуаций: 1. По крайней мере, при одном наборе значений переменных все посылки имеют значение «и», а заключение - «л». В этом случае логическое следование не имеет места. Получен опровергающий пример. При оформлении анализа в виде дерева, при получении такого противоречия по одной из веточек, дальнейший анализ не обязателен, но может проводиться с целью получения других опровергающих примеров. 2. На каждом наборе значений переменных, где формулы-посылки А1, А2, …, А n истинны, формула-заключение В также имеет значение «истина». В этом случае логическое следование имеет место. При оформлении анализа в виде дерева должны быть рассмотрены все ветви анализа, если противоречие не обнаруживается. Пример 1.Определить, A ® B , C ® D , A Ú C ᅣ B & D Табличный метод доказательства. Составляем таблицу истинности для системы высказываний, состоящую из 16 (24) строк (табл. 1.11) Таблица 1.11
Анализ таблицы производится методом последовательного отсечения строк, содержащих ложные значения формул-посылок. Т.о., перед анализом формулы-заключения, выделены все строки, где формулы-посылки – истинны. На всех строках, где формулы посылки истинны, определяем значения формулы-заключения. В данном случае, существуют две строки, на которых формулы посылки истинны, а заключение ложно. Следовательно, формула B & D не является логическим следствием формул A ® B , C ® D , A Ú C. Доказательство приведением системы формул к нормальной формуле. Приводим систему формул к виду: (A ® B) & (C ® D) & (A Ú C) ® (B & D). Используя равносильные преобразования, приводим эту формулу к дизъюнктивной нормальной форме. (A ® B) & (C ® D) & (A Ú C) ® (B & D) eq ( ù A Ú B)& ( ù C Ú D) &(A Ú C) ® (B&D) eq ù (( ù A Ú B)& ( ù C Ú D) &(A Ú C)) Ú (B&D) eq ù ( ù A Ú B) Ú ù ( ù C Ú D) Ú ù (A Ú C)) Ú (B&D) eq (А& ùВ) Ú( C& ù D) Ú ( ù A& ù C) Ú ( B& D) В результате преобразований мы получили дизъюнктивную нормальную форму, не являющуюся тождественно истинной. Следовательно, формула-заключение не является логическим следствием формул посылок. Доказательство методом «от противного». Предположим, что формула-заключение не является логическим следствием формул 1-3. Следовательно, существует хотя бы один набор значений, входящих в них переменных, при котором формулы 1-3 принимают значение «истина», а формула-заключение принимает значение «ложь». 1) A ® B - и 2) C ® D - и 3) AÚC - и B & D - л В этом случае необходимо рассмотреть 3 варианта, так как любая из выше перечисленных формул принимает приписанные по предположению значения в 3 случаях. Схема анализа методом «от противного» приведена на рис. 1.1.
Рис.1.1 В первом случае было получено противоречие, а во 2 и 3 случаях противоречия не было обнаружено, следовательно, существует, по крайней мере, один набор значений переменных, входящих в формулы 1-3, при котором формула заключение является ложной. Таким набором является, например, набор B - л, D - л, A - л, C - и. Следовательно, формула-заключение не является логическим следствием формул 1-3. Доказательство прямым методом. Предположим, что логическое следствие имеет место. Следовательно, на всех наборах истинностных значений переменных, где формулы-посылки истинны, заключение должно быть истинным. A ® B - И C ® D - И A V C – И B & D – И
Рис.1.2 На двух наборах значений переменных, где формулы – посылки принимают значение «истина», оказалось, что формула заключение имеет значение «ложь». Следовательно, мы получили противоречие с исходным предположением, что логическое следствие имеет место, что означает, логического следования нет. Пример 2.Определить, имеет ли место логическое следствие в следующей системе высказываний. Если упростить схему устройства, то его стоимость снизится, а если применить новые элементы, то надежность устройства увеличится. Можно или упростить схему, или применить новые элементы. Однако, если упростить схему, то надежность не увеличивается, а если применить новые элементы, то стоимость не снижается. Значит, надежность увеличивается тогда и только тогда, когда стоимость не уменьшается. Формализуем систему высказываний.: 1) A ® B 2) C ® D 3) (A & ù C) Ú ( ù A & C) 4) A ® ù D 5) C®ùB D « ù B Табличный метод доказательства. Прежде, чем составлять таблицу истинности для системы высказываний (табл. 1.12) , отметим, что формула (A&ùC)Ú(ùA&C) равносильна формуле AÅC. Предлагаем это доказать с помощью таблиц истинности. Мы будем использовать формулу AÅC, чтобы не нагружать вспомогательными столбцами промежуточных операций таблицу истинности. Анализ таблицы 1.12 производится методом последовательного отсечения строк, содержащих ложные значения формул-посылок. На всех строках, где формулы-посылки истинны, определяем значения формулы-заключения. В данном случае, существуют две строки, на которых формулы посылки истинны, и на всех этих строках формула-заключение также истинна. Следовательно, логическое следствие имеет место. Таблица 1.12
Доказательство приведением системы формул к дизъюнктивной нормальной формуле. Приводим систему формул к виду: (A ® B ) & (C ® D ) & ((A & ù C) Ú ( ù A & C) ) & (A ® ù D ) & (C ® ù B ) ® (D « ù B ) Используя равносильные преобразования, приводим эту формулу к дизъюнктивной нормальной форме. (A ® B )& (C ® D )& ((A & ù C) Ú ( ù A & C))& (A ® ù D )&(C ® ù B ) ® (D « ù B ) eq (( ù A Ú B)&( ù C Ú D)& ((A & ù C) Ú ( ù A & C))&( ù A Ú ù D)&( ù C Ú ù B)) ® (D « ù B ) eq (( ù A Ú B)&( ù C Ú D)& ((A & ù C) Ú ( ù A & C))&( ù A Ú ù D)&( ù C Ú ù B)) ® (( ù D Ú ù B)&(D Ú B))eq ù (( ù A Ú B)&( ù C Ú D)& ((A & ù C) Ú ( ù A & C))&( ù A Ú ù D)&( ù C Ú ù B)) Ú (( ù D Ú ù B)&(D Ú B))eq ù ( ù A Ú B) Ú ù ( ù C Ú D) Ú ù ((A & ù C) Ú ( ù A & C)) Ú ù ( ù A Ú ù D) Ú ù ( ù C Ú ù B)) Ú (( ù D Ú ù B)&(D Ú B))eq (A & ù B) Ú ( C & ù D) Ú ( ù (A & ù C)& ù ( ù A & C)) Ú (A&D) Ú (C&B) Ú (( ù D Ú ù B)&(D Ú B))eq (A & ù B) Ú ( C & ù D) Ú ( ( ù A Ú C)& (A Ú ù C)) Ú (A&D) Ú (C&B) Ú (( ù D Ú ù B)&(D Ú B))eq (A & ù B) Ú ( C & ù D) Ú ( ( ù A Ú C)& (A Ú ù C)) Ú (A&D) Ú (C&B) Ú (( ù D& B) Ú ( D& ù B)) eq (перегруппируем составляющие формулы) (A & ù B) Ú (A&D) Ú ( C & ù D) Ú (C&B) Ú ( ù D & B) Ú (D & ù B) Ú ( ( ù A Ú C)& (A Ú ù C)) eq (A & (( ù B Ú D)) Ú (C& ( ù D Ú B)) Ú ù (D Ú ù B) Ú ù ( ù D Ú B) Ú (( ù A Ú C)& ( A Ú ù C)) eq (перегруппируем составляющие формулы) (A & (( ù B Ú D)) Ú ù (D Ú ù B) Ú (C& ( ù D Ú B)) Ú ù ( ù D Ú B) Ú ( ( ù A Ú C)& (A Ú ù C)) eq ((A Ú ù (D Ú ù B ))& ((ùBÚD)Úù (DÚùB) ) Ú ((C Ú ù ( ù D Ú B ))& и ((ùDÚB)Úù (ùDÚB)) ) Ú ( ( ù A Ú C)& (A Ú ù C)) eq и A Ú ù (D Ú ù B ) Ú C Ú ù ( ù D Ú B ) Ú ( ( ù A Ú C)& (A Ú ù C)) eq (A Ú С) Ú ( ( ù A Ú C)& (A Ú ù C)) Ú ù (D Ú ù B ) Ú ù ( ù D Ú B ) eq ((A Ú C Ú ùA Ú C )&( A Ú C Ú A Ú ùC )) Ú ( ù B&D) Ú ( ù D & B) eq (и & и) Ú ( ù B& D) Ú( ù D& B) eq и В результате преобразований мы получили тождественно истинную ДНФ, следовательно, формула-заключение является логическим следствием формул посылок. Доказательство методом «от противного». Предположим, что формула-заключение не является логическим следствием формул 1-5. Следовательно, существует хотя бы один набор значений, входящих в них переменных, при котором формулы 1-5 принимают значение «истина», а формула-заключение принимает значение «ложь». 1) A ® B - и 2) C ® D - и 3) (A & ù C) Ú ( ù A & C) - и 4) A ® ù D - и 5) C®ùB - и D « ù B - л Формулы 1-2 и 4-5 истинны в 3 случаях, а формула 3 и формула заключение принимают приписанные значения только в двух случаях (формула 3 – формула антиэквиваленции). Поэтому, имеет смысл начинать анализ с одной из этих формул. Более простой выглядит формула-заключение. Схема анализа логичности системы высказываний приведена на рис. 1.3.
Рис.1.3
И в первом, и во втором случае получено противоречие с предположением, что формула-заключение не является логическим следствием, т.е. во всех случаях нет ни одного набора переменных, входящих в формулы 1-5, при котором формула-заключение была бы ложной. Таким образом, делаем вывод: логическое следствие имеет место. Доказательство прямым методом. Предположим, что логическое следствие имеет место. Следовательно, на всех наборах истинностных значений переменных, где формулы -посылки истинны, заключение должно быть истинным, т.е.: 1) A ® B - И 2) C ® D - И 3) (A & ù C) V ( ù A & C) - И 4) A ® ù D - И 5) C®ùВ - И D « ù B - И Схема анализа логичности системы высказываний приведена на рис. 1.4.
Рис. 1.4 Мы предположили, что логическое следствие имеет место, и ни на одном наборе значений переменных, входящих в систему высказываний, не получили противоречие. Следовательно, логическое следствие имеет место. 1.8.Непротиворечивость множества высказываний
Вопрос о непротиворечивости множества высказываний можно задать относительно системы посылок, предлагаемой нам для логического вывода, поскольку, если множество посылок противоречиво, то задача выявления логического следования теряет смысл. Помимо этого вопрос непротиворечивости множества высказываний имеет самостоятельное значение, так как правильности или неправильность описания какой-то ситуации для рационального его осмысления требует как минимум логической непротиворечивости. Критерий непротиворечивости множества высказываний Множеством высказываний { A 1 ; A 2 ;… A n } непротиворечиво, если существует, по крайней мере, одно такое распределение истинностных значений простых компонентов формул, что все высказывания { A 1 ; A 2 ;… A n } принимают значение «истина». Множество высказываний { A 1 ; A 2 ;… A n } является противоречивым множеством, если при всяком распределении истинностных значений простых компонентов формул, по крайней мере, одна из формул получает значение «ложь», то есть A 1 &A 2 &…&A n eq Л (1) Методы определения противоречивости или непротиворечивости множества высказываний – Построение таблицы истинности Строится таблица истинности вида
Если в таблице истинности встретилась хотя бы одна строчка, в которой все формулы Aj ( j=1,…, n) имеют значение «и», то система высказываний непротиворечива. Если не найдено ни одной строки, где бы все формулы принимали значение «истина», то система – противоречива. – Приведение к дизъюнктивной нормальной форме или конъюнктивной нормальной форме. Строится формула вида (1) и приводится к совершенной дизъюнктивной или конъюнктивной нормальной форме. Если формула (1) принимает значение «ложь», то система противоречива, в остальных случаях - непротиворечива. Прямой анализ Теорема: для непротиворечивости системы высказываний любая посылка является логическим следствием всего множества высказываний. Для установления непротиворечивости множества высказываний лучше использовать «прямой анализ», т.е. анализ исходит из предположения, что система не противоречива, а следовательно существует хотя бы один набор значений входящих в систему формул переменных, при котором все формулы истинны. Пример1. Исследовать систему высказываний на непротиворечивость. А ® ù (В & С) (D Ú E) ® F F ® ù (G Ú H) ù C & E & F Табличный способ исследования системы высказываний на противоречивость мы рассматривать не будем, т.к. в систему входит 8 переменных, а, следовательно, количество строк в таблице должно быть 28=256. Поэтому далее применим более эффективные методы исследования системы на противоречивость. Доказательство прямым методом. Предположим, что система высказываний непротиворечива, т.е. существует, по крайней мере, одно такое распределение истинностных значений переменных, входящих в систему высказываний, что все формулы принимают значение «истина». Схема анализа системы высказываний на непротиворечивость приведена на рис. 1.5. Мы не стали здесь порождать ветки по значениям переменной D, т.к. формула А ® ù (В & С) от D не зависит. Т.о., существует, по крайней мере, один набор значений переменных, входящих в систему высказываний, на котором все формулы истинны.
Рис. 1.5 На самом деле мы нашли 8 наборов переменных, при которых система высказываний истинна:
Доказательство приведением формулы - конъюнкции системы высказываний к КНФ. (А ® ù (В & С)) & ( ( D Ú E ) ® F ) & ( F ® ù ( G Ú H )) & ( ù C & E & F ) eq (ùA Ú ù В Ú ù С) & (( ù D & ù E) Ú F) & ( ù F Ú ( ù G & ù H)) & ùC & E & F eq ( ù A Ú ù В Ú ù С ) & ù C & (( ù D & ù E) Ú F) & ( ù F Ú ( ù G & ù H)) & E & F eq ù C & (( ù D & ù E) Ú F) & ( ù F Ú ( ù G & ù H)) & E & F eq ù C & (( ù D & ù E) Ú F) & F & ( ù F Ú ( ù G & ù H)) & E eq ù C & F & ( ù F Ú ( ù G & ù H)) & E eq ù C & ((F & ù F) Ú ( ù F & ù G & ù H) &E eq ù C & ( Л Ú ( ù F & ù G & ù H) &E eq ù C & ù F & ù G & ù H &E Конъюнкция системы высказываний является выполнимой, т.е. существуют наборы переменных, при которых система высказываний истинна. Следовательно, система высказываний непротиворечива. Пример2. Исследовать систему высказываний на непротиворечивость. (A ® B& C) & ( D ® B & E) ((F ® ù A) & G) ® H (C ® H) ® (F& D) ù ( ù C ® E ) Доказательство прямым методом. Предположим, что система высказываний непротиворечива, т.е. существует, по крайней мере, одно такое распределение истинностных значений переменных, входящих в систему высказываний, при котором все формулы принимают значение «истина». Схема анализа системы высказываний на непротиворечивость приведена на рис. 1.6.
Рис. 1.6 Мы предположили, что существует хотя бы один набор, где все формулы истинны и пришли к противоречию. Следовательно, эта система высказываний противоречива. Доказательство приведением формулы - конъюнкции системы высказываний к КНФ.
((A ® B& C) & ( D ® B & E)) & (((F ® ù A) & G) ® H) & ((C ® H) ® (F& D))& ( ù ( ù C ® E)) eq ( ù A Ú (B&C)) & ( ù D Ú (B& E)) & ( ù (( ù F Ú ù A) & G) Ú H) &( ù ( ù C Ú H) Ú (F&D)) & ( ù ( C Ú E)) eq (ùA Ú (B&C)) & (ùD Ú (B & E)) & ((F & A) Ú ù G Ú H)& ((C & ù H) Ú (F&D)) & ù C & ù E eq (( ù A & ù C) Ú (B &C & ù C)) & (( ù D & ù E) Ú (B& E & ù E)) &((F & A) Ú ù G Ú H)& ((C & ù H) Ú (F&D)) eq ( ù A & ù C) &( ù D & ù E) &((F & A) Ú ù G Ú H)& ((C & ù H) Ú (F&D)) eq ù A & ù C & ù D & ù E &((F & A) Ú ù G Ú H)& ((C &ù H) Ú (F&D)) eq ù A & ù D & ù E &((F & A) Ú ù G Ú H)& ((C & ù H & ù C) Ú (F&D& ù C)) eq ù A & ù D & ù E &((F & A) Ú ù G Ú H)& (F&D& ù C) eq ù A & ùD & ù E &((F & A) Ú ù G Ú H)& F&D& ù C eq Л Конъюнкция системы высказываний в результате приведения к КНФ оказалась тождественно ложной. Следовательно, система высказываний противоречива. Вопросы для самопроверки к главе 1. 1. Понятие высказывания, элементарное высказывания, составные высказывания 2. Сентенциальные связки, логические операции, порядок выполнения логических операций. 3. Таблицы истинности для логических операций. 4. Понятие равносильных формул. 5. Равносильные преобразования. 6. Понятие двойственных операций, двойственных формул. 7. Соотношение равносильности для прямых и двойственных формул. 8. Понятие тавтологии, противоречия и выполнимой формулы. 9. Связь эквиваленции и равносильности. 10. Элементарная дизъюнкция, элементарная конъюнкция. 11. Конъюнктивная нормальная форма, дизъюнктивная нормальная форма. 12. Совершенная конъюнктивная нормальная форма, совершенная дизъюнктивная нормальная форма. 13. Алгоритм приведения к СКНФ, СДНФ. 14. Понятие логического следствия. 15. Доказательство логического следствия с помощью таблиц истинности. 16. Доказательство логического следствия прямым методом. 17. Доказательство логического следствия от противного. 18. Доказательство логического следствия приведением к ДНФ. 19. Понятие непротиворечивости системы высказываний. 20. Доказательство непротиворечивости системы высказываний с помощью таблиц истинности. 21. Доказательство непротиворечивости системы высказываний прямым методом. 22. Доказательство непротиворечивости системы высказываний от противного. 23. Доказательство непротиворечивости системы высказываний приведением к КНФ. Упражнения к главе 1. 1. Среди следующих предложений определить, какие из них являются высказываниями, а какие не являются высказываниями. Для высказываний установить, истинны они или ложны. a) Река Волка впадает в Каспийское море. b) Всякий человек имеет брата. c) Пейте томатный сок! d) Существует человек, который моложе своего отца. e) Который час? f) Ни один человек не весит более 1000 кг. g) 23 <5 h) Для всех действительных чисел справедливо равенство х+у = у+х i) Х2 – 7Х +12. j) Х2 – 7Х +12=0. 2. Формализовать следующие высказывания. a) 45 кратно 3, и 42 кратно 3. b) 45 кратно трем или 12 не кратно 3. c) d) Если число 212 делится на 3 и 4, то оно делится на 12. e) Число 212 – трехзначное и кратно3 или 4. f) Число 1269 делится на 9 тогда и только тогда, когда 18 делится на 9. g) Любое натуральное число является или четным или нечетным. 3. Пусть А – высказывание «Студент Иванов изучает английский язык», В – высказывание «Студент Иванов успевает по математической логике». Дать словесную формулировку высказываний: a) А & ù B b) A ® B c) ù B « ù A 4. Составить таблица истинности для следующих выражений. a) ((A ® B) & (B ® C)) ® (A ® C) b) (A & B ® C) ® (A ® (B ® C)) c) (A ® B) ® (A Ú C ® B Ú C) d) (A ® B) ® (A & C ® B & C) e) (A « B) & (B « C) ® (A « C) f) ( ù P V Q V (Q & (R V ù P))) « (P & ù Q) & ( ù Q V ( ù R & P)) g) (P ® Q) ® (S & ù P ® Q) h) (A ® Ø ( B V C)) « A & B &C i) (A & B ® C) « ù (A ® (B ® C)) 5. С помощью таблиц истинности и с использованием формул равносильных преобразований доказать равносильность следующих пар формул. a) X & ( X Ú Y) eq X b) X Ú (X & Y) eq X c) X & ( X Ú Y) & (X Ú ù Y) eq X d) X Ú ( ù X & Y) eq X Ú Y e) (X&Y&Z) Ú (X & Y& ù Z) Ú (X& ù Y&Z) Ú (X& ù Y& ù Z) eq X 6. Привести формулы с помощью равносильных преобразований к виду, содержащему только операции конъюнкции, дизъюнкции, отрицания: a) ù ( ù (х Ú y ) → ù ( x & y ) b) ( X → Y ) →( ù X → ù Y ) c) ù (P →(Q→P)) d) ù P →(P→Q) e) ù ((X →Z) →((Y→Z) →(X Ú Y →Z))) 7. Определить, используя равносильные преобразования, является формула тавтологией, противоречием или выполнимой: a) ((A ® B) & (B ® C)) ® (A ® C) b) (A Ú B) Ú C « A Ú (B Ú C) c) (A & B ® C) ® (A ® (B ® C)) d) (A ® B) ® (A Ú C ® B Ú C) e) (A ® B) ® (A & C ® B & C) f) (((A ® (B ® C)) ® ((A ® ù C) ® (A ® ù B))) g) (A « B) & (B « C) ® (A « C) h) ((P ® Q) ® ((S & ù P) ® Q)) 8. Привести к КНФ, к ДНФ, СКНФ, СДНФ следующие формулы: a) A&(B&C ® A&B) b) (X ® Y) ® ( ù X&Y) Ú ù Y c) ( ù (X&Y) ® ù X)& ù ((X&Y) ® ù Y) d) (X Ú ù Z) ® (Y&Z) e) (A&B ® B&C) ® ((A ® B) ® (C ® B)) f) ( ù A ® ù B) ® (B&C ® A&C) g) ( ù A ® C) ® ù ( ù B ® ù A) 9. Определить истинность логического следствия для следующих систем высказываний: а) Увеличение денег в обращении влечет за собой инфляцию. Но рост денежной массы происходит по двум причинам: из-за денежной эмиссии или снижения товарооборота. Снижение товарооборота приводит к безработице и спаду производства. Из-за инфляции падает курс денежной единицы. Следовательно: если увеличить денежную эмиссию и поднять производство, тогда избежим безработицы, и курс денежной единицы останется неизменным. b) Падение авторитета власти происходит тогда и только тогда, когда нарастает анархия в обществе. Нарастание анархии в обществе равносильно появлению на политической арене безответственных политиков. Появление подобных политиков приводит к тому, что они высказывают абсурдные идеи. Высказывание политиками таких идей влечет за собой демонстрацию неспособности их управлять страной. Следовательно: падение авторитета власти приводит к появлению политиков, не способных управлять страной. c) Если в сети произойдет большой перепад напряжения, то сгорит предохранитель. Если предохранитель сгорит, то необходимо его заменить. Если телевизор включен в сеть, то телевизор работает нормально при условии целостности предохранителя. Если телевизор работает нормально, то я увижу «Новости». Следовательно: я увижу «Новости» при условии целостности предохранителя, отсутствия перепада напряжения в сети и подключения телевизора к сети питания. 10. Исследовать на непротиворечивость систему высказываний. Если конгресс отказывается принять новые законы, то забастовка не будет окончена, если только она не длится более года и президент фирмы не уходит в отставку. Либо конгресс примет новые законы, либо забастовка не окончится, хотя и продолжается более года.
2.Логика и анализ текстов 2.1. Законы логики
1. Закон тождества: всякая сущность тождественна себе. 2. Закон противоречия: никакое высказывание не может 3. Закон исключенного третьего: для любого 4. Закон достаточного основания: всякое принимаемое Закон тождества Первый и наиболее важный закон логики — это закон тождества, который был сформулирован Аристотелем в трактате «Метафизика» следующим образом: «…иметь не одно значение — значит не иметь ни одного значения; если же у слов нет значений, тогда утрачена всякая возможность рассуждать друг с другом, а в действительности — и с самим собой; ибо невозможно ничего мыслить, если не мыслить что-нибудь одно». Можно было бы добавить к этим словам Аристотеля известное утверждение о том, что мыслить (говорить) обо всем — значит не мыслить (не говорить) ни о чем. Закон тождества утверждает, что любая мысль (любое рассуждение) обязательно должна быть равна (тождественна) самой себе, т. е. она должна быть ясной, точной, простой, определенной. Говоря иначе, этот закон запрещает путать и подменять понятия в рассуждении (т. е. употреблять одно и то же слово в разных значениях или вкладывать одно и то же значение в разные слова), создавать двусмысленность, уклоняться от темы и т п. Например, непонятен смысл фразы: «Из-за рассеянности на турнирах шахматист неоднократно терял очки». Очевидно, что по причине нарушения закона тождества появляются неясные высказывания (суждения). Символическая запись этого закона выглядит так: а →а, где а — это любое понятие, высказывание или целое рассуждение. Когда закон тождества нарушается непроизвольно, по незнанию, тогда возникают просто логические ошибки; но, когда этот закон нарушается преднамеренно, с целью запутать собеседника и доказать ему какую-нибудь ложную мысль, тогда появляются не просто ошибки, а софизмы. Таким образом, софизм — это внешне правильное доказательство ложной мысли с помощью преднамеренного нарушения логических законов. Приведем пример софизма: «Что лучше: вечное блаженство или бутерброд? Конечно же, вечное блаженство. А что может быть лучше вечного блаженства? Конечно же, ничто! Но бутерброд ведь лучше, чем ничто, следовательно, он лучше вечного блаженства». Попробуйте самостоятельно найти подвох в этом рассуждении, определить, где и как в нем нарушается закон тождества и разоблачить этот софизм. Вот еще один софизм: «Спросим нашего собеседника: «Согласен ли ты с тем, что если ты что-то потерял, то у тебя этого нет?» Он отвечает: «Согласен». Зададим ему второй вопрос: «А согласен ли ты с тем, что если ты что-то не терял, то у тебя это есть?» — «Согласен», — отвечает он. Теперь зададим ему последний и главный вопрос: «Ты не терял сегодня рога?» Что ему остается ответить? «Не терял», — говорит он. «Следовательно, — торжествующе произносим мы, — они у тебя есть, ведь ты же сам вначале признал, что если ты что-то не терял, то оно у тебя есть». Попробуйте разоблачить и этот софизм, определить, где и как в данном внешне правильном рассуждении нарушается закон тождества. Однако на нарушениях закона тождества строятся не только неясные суждения и софизмы. С помощью нарушения этого закона можно создать какой-нибудь комический эффект. Например, Николай Васильевич Гоголь в поэме «Мертвые души», описывая помещика Ноздрева, говорит, что тот был «историческим человеком», потому что где бы он ни появлялся, с ним обязательно случалась какая-нибудь «история». На нарушении закона тождества построены многие комические афоризмы. Например: «Не стой где попало, а то еще попадет». Также с помощью нарушения этого закона создаются многие анекдоты. Например: – Я сломал руку в двух местах. – Больше не попадай в эти места. Как видим, во всех приведенных примерах используется один и тот же прием: в одинаковых словах смешиваются различные значения, ситуации, темы, одна из которых не равна другой, т. е. нарушается закон тождества. Нарушение этого закона также лежит в основе многих известных нам с детства задач и головоломок. Например, мы спрашиваем собеседника: «За чем (зачем) находится вода в стеклянном стакане?» — преднамеренно создавая двусмысленность в этом вопросе (зачем — для чего и за чем — за каким предметом, где). Собеседник отвечает на один вопрос, например он говорит: «Чтобы пить, поливать цветы», а мы подразумеваем другой вопрос и, соответственно, другой ответ: «За стеклом». В основе всех фокусов также лежит нарушение закона тождества. Эффект любого фокуса заключается в том, что фокусник делает что-то одно, а зрители думают совершенно другое, т. е. то, что делает фокусник, не равно (не тождественно) тому, что думают зрители, отчего и кажется, что фокусник совершает что-то необычное и загадочное. При раскрытии фокуса нас, как правило, посещает недоумение и досада: это было так просто, как же мы вовремя этого не заметили. Закон противоречия Закон противоречия говорит о том, что если одно суждение что-то утверждает, а другое то же самое отрицает об одном и том же объекте, в одно и то же время и в одном и том же отношении, то они не могут быть одновременно истинными. Например, два суждения: «Сократ высокий», «Сократ низкий» (одно из них нечто утверждает, а другое то же самое отрицает, ведь высокий — это не низкий, и наоборот), — не могут быть одновременно истинными, если речь идет об одном и том же Сократе, в одно и то же время его жизни и в одном и том же отношении, т. е. если Сократ по росту сравнивается не с разными людьми одновременно, а с одним человеком. Понятно, что когда речь идет о двух разных Сократах или об одном Сократе, но в разное время его жизни, например в 10 лет и в 20 лет, или один и тот же Сократ и в одно и то же время его жизни рассматривается в разных отношениях, например, он сравнивается одновременно с высоким Платоном и низким Аристотелем, тогда два противоположных суждения вполне могут быть одновременно истинными, и закон противоречия при этом не нарушается. Символически он выражается следующей тождественно-истинной формулой: (а Λ а), (читается: «Неверно, что а и не а»), где а — это какое-либо высказывание. Говоря иначе, логический закон противоречия запрещает что-либо утверждать и то же самое отрицать одновременно. Но неужели кто-то станет нечто утверждать и то же самое тут же отрицать? Неужели кто-то будет всерьез доказывать, например, что один и тот же человек в одно и то же время и в одном и том же отношении является и высоким, и низким или что он одновременно и толстый, и тонкий; и блондин, и брюнет и т. п.? Конечно же нет. Если принцип непротиворечивости мышления столь прост и очевиден, то стоит ли называть его логическим законом и вообще уделять ему внимание? Дело в том, что противоречия бывают контактными, когда одно и то же утверждается и сразу же отрицается (последующая фраза отрицает предыдущую в речи, или последующее предложение отрицает предыдущее в тексте) и дистантными, когда между противоречащими друг другу суждениями находится значительный интервал в речи или в тексте. Например, в начале своего выступления лектор может выдвинуть одну идею, а в конце высказать мысль, противоречащую ей; так же и в книге в одном параграфе может утверждаться то, что отрицается в другом. Понятно, что контактные противоречия, будучи слишком заметными, почти не встречаются в мышлении и речи. Иначе обстоит дело с дистантными противоречиями: будучи неочевидными и не очень заметными, они часто проходят мимо зрительного или мысленного взора, непроизвольно пропускаются, и поэтому их часто можно встретить в интеллектуально-речевой практике. Так, Виталий Иванович Свинцов приводит пример из одного учебного пособия, в котором с интервалом в несколько страниц сначала утверждалось: «В первый период творчества Маяковский ничем не отличался от футуристов», а затем: «Уже с самого начала своего творчества Маяковский обладал качествами, которые существенно отличали его от представителей футуризма». Противоречия также бывают явными и неявными. В первом случае одна мысль непосредственно противоречит другой, а во втором случае противоречие вытекает из контекста: оно не сформулировано, но подразумевается. Например, в учебнике «Концепции современного естествознания» из главы, посвященной теории относительности Альберта Эйнштейна, следует, что, по современным научным представлениям, пространство, время и материя не существуют друг без друга: без одного нет другого. А в главе, рассказывающей о происхождении Вселенной, говорится о том, что она появилась примерно 20 млрд. лет назад в результате Большого взрыва, во время которого родилась материя, заполнившая собой все пространство. Из этого высказывания следует, что пространство существовало до появления материи, хотя в предыдущей главе речь шла о том, что пространство не может существовать без материи. Явные противоречия, так же как и контактные, встречаются редко. Неявные противоречия, как и дистантные, наоборот, в силу своей незаметности намного более распространены в мышлении и речи. Примером контактного и явного противоречия может служить такое высказывание: «Водитель Н. при выезде со стоянки грубо нарушил правила, т. к. он не взял устного разрешения в письменной форме». Еще пример контактного и явного противоречия: «Молодая девушка преклонных лет с коротким ежиком темных вьющихся белокурых волос изящной походкой гимнастки, прихрамывая, вышла на сцену». Подобного рода противоречия настолько очевидны, что могут использоваться только для создания каких-нибудь комических эффектов. Поэтому наша задача — уметь их распознавать и устранять. Пример контактного и неявного противоречия: «Эта выполненная на бумаге рукопись создана в Древней Руси в XI в. (в XI в. на Руси еще не было бумаги)». Наконец, наверное, каждому из нас знакома ситуация, когда мы говорим своему собеседнику, или он говорит нам: «Ты сам себе противоречишь». Как правило, в этом случае речь идет о дистантных или неявных противоречиях, которые, как мы увидели, довольно часто встречаются в различных сферах мышления и жизни. Поэтому простой и даже примитивный, на первый взгляд, принцип непротиворечивости мышления имеет статус важного логического закона. Важно отметить, что противоречия также бывают мнимыми. Некая мыслительная или речевая конструкция может быть построена так, что, на первый взгляд, выглядит противоречивой, хотя на самом деле никакого противоречия в себе не содержит. Например, известное высказывание Антона Павловича Чехова: «В детстве у меня не было детства», — кажется противоречивым, т. к. оно вроде бы подразумевает одновременную истинность двух суждений, одно из которых отрицает другое: «У меня было детство», «У меня не было детства». Таким образом, можно предположить, что противоречие в данном высказывании не просто присутствует, но и является наиболее грубым — контактным и явным. На самом же деле никакого противоречия в чеховской фразе нет. Вспомним, закон противоречия нарушается только тогда, когда речь идет об одном и том же предмете, в одно и то же время и в одном и том же отношении. В рассматриваемом высказывании речь идет о двух разных предметах: термин «детство» употребляется в различных значениях: детство как определенный возраст; детство как состояние души, пора счастья и безмятежности. Таким образом, мнимое противоречие можно использовать как художественный прием. Достаточно вспомнить названия известных литературных произведений: «Живой труп» (Л. Н. Толстой), «Мещанин во дворянстве» (Ж. Мольер), «Барышня-крестьянка» (А. С. Пушкин), «Горячий снег» (Ю. В. Бондарев) и др. Иногда на мнимом противоречии строится заголовок газетной или журнальной статьи: «Знакомые незнакомцы», «Древняя новизна», «Необходимая случайность» и т. п. Итак, закон противоречия запрещает одновременную истинность двух суждений, одно из которых нечто утверждает, а другое то же самое отрицает об одном и том же предмете, в одно и то же время и в одном и том же отношении. Однако этот закон не запрещает одновременную ложность двух таких суждений. Вспомним, суждения: «Он высокий», «Он низкий», — не могут быть одновременно истинными, если речь идет об одном и том же человеке, в одно и то же время его жизни и в одном и том же отношении (относительно какого-то одного образца для сравнения). Точно так же одновременно ложными (но не одновременно истинными!) могут быть суждения: «Эта вода горячая», «Эта вода холодная»; «Данная речка глубокая», «Данная речка мелкая»; «Эта комната светлая», «Эта комната темная». Одновременную ложность двух суждений мы часто используем в повседневной жизни, когда, характеризуя кого-то или что-то, строим стереотипные обороты типа: «Они не молодые, но и не старые», «Это не полезно, но и не вредно», «Он не богат, однако и не беден», «Данная вещь стоит не дорого, но и не дешево», «Этот поступок не является плохим, но в то же время его нельзя назвать хорошим». В известной песне «Подмосковные вечера» есть такие слова: «...речка движется и не движется... песня слышится и не слышится...». Реальное или мнимое противоречие представляет собой эта фраза? Все помнят знаменитые слова из сказки Александра Сергеевича Пушкина: «Кто на свете всех милее, всех румяней и белее?» Возможно, вы и раньше задумывались над тем, как можно быть румяней и белее одновременно. Реальное или мнимое противоречие присутствует в данном высказывании? |
Последнее изменение этой страницы: 2019-03-22; Просмотров: 468; Нарушение авторского права страницы
На рис. 1.2 приведена схема анализа системы высказываний прямым методом.
