Элементарные высказывания

Одними из символов, используемых в формальной системе, являются переменные, т.е. символы, которые могут принимать различные значения на некотором множестве. Переменными (символами латинского языка) мы будем обозначать некоторые высказывания - элементарные повествовательные предложения, которые имеют то свойство, что они могут быть определены как либо истинные, либо ложные, но ни в коем случае одновременно и то, и другое вместе.

 

Примеры обозначений высказываний:

Москва – столица России - P,

1 декабря шел снег - Q,

Анальгин является болеутоляющим средством - А.

Каждому из этих высказываний можно придать значение или «истина», или «ложь».

Однако предложение «Да здравствуют наши спортсмены!» не является высказыванием, т.к. ему невозможно придать ни значение «истина», ни значение «ложь».

 

Сентенциальные связки. Логические операции

Следующий тип символов - сентенциальные связки, связки, с помощью которых из одного или нескольких высказываний образуется новое высказывание - составное.        

В наших рассуждениях постоянно встречаются следующие слова или словосочетания: «не», «и», «или», «если… то», «тогда и только тогда, когда». Эти пять слов или комбинаций называются сентенциальными связками. Сентенциальные связки используются в языке для установления связей между некоторыми простыми предложениями и позволяют нам судить об истинности или ложности составных предложений в том случае, если мы знаем, истинны или ложны их входящие в них элементарные высказывания.

Для формализации сентенциальных связок вводят шесть логических операций. Для обозначения этих операций будут использоваться следующие обозначения (табл.1.1):

Таблица 1.1

Логические операции

Операция	Связка	Обо-значение
Отрицание	НЕ<высказывание А>	ù А ~ А Ā
Конъюнкция	<высказывание А> И <высказывание B>	A & B A L B
Дизъюнкция	<высказывание А> ИЛИ <высказывание B>	А V B
Импликация	ЕСЛИ <высказывание А>, ТО <высказывание B>
Эквиваленция	<высказывание А> ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА <высказывание В>	А « В
Антиэквиваленция	ИЛИ<высказывание А>, ИЛИ<высказывание В>	А Å В

Рассмотрим сущность этих операций.

² Операция отрицания

Отрицанием высказывания А называется новое высказывание ù А, которое является истинным, если высказывание А ложно, и ложным, если высказывание А – истинно. 

Проанализируем высказывание « 3- нечетное число».

Как записать это высказывание, используя язык формальной логики? Для начала перефразируем это высказывание: НЕ «3 есть четное число». Элементарным высказыванием является фраза «3 есть четное число», и его обозначим символом А. Т.о., на языке формальной логики заданная фраза будет записана как ù А.

 

² Операция конъюнкции

 Конъюнкцией двух высказываний А и В называется новое высказывание А & В, которое считается истинным, если оба входящие в нее высказывания имеют значение «истина», и ложным, если хотя бы одно из высказываний имеет значение ложь.

Союзы «И», «А», «НО», используемые при формализации конъюнкции, являются синонимами.

Рассмотрим следующее составное высказывание:

4 – четное число, а 6 – простое число.

Элементарное высказывание «4 – четное число», обозначим буквой Х, а высказывание «6 – простое число» - буквой Y. Высказывание «4 – четное число» имеет значение «истина», а высказывание «6 – простое число» имеет значение «ложь». Результирующее высказывание будет на языке формальной логики выглядеть следующим образом:

                        

² Операция дизъюнкции

Дизъюнкцией двух высказываний Х и Y называется новое высказывание Х Ú Y, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний имеет значение «истина», и ложным, если оба входящие в нее высказывания имеют значение «ложь».

Рассмотрим пример высказывания, содержащий операцию дизъюнкции.

2 – простое число, или 3 – нечетное число.

Обозначим буквой Р высказывание «2 – простое число», а буквой Q – высказывание – «3 – нечетное число». Результирующее высказывание будет следующее:

 

² Операция импликации

Составное высказывание, состоящее из двух высказываний Х и Y, между которыми стоит знак операции импликации (следования) - «®», называется импликацией.

Высказывание, стоящее слева от «®» - антецедент, справа - консеквент.

Импликация имеет значение «ложь» только в том случае, если антецедент - истина, а консеквент - ложь.

Импликация Х ® Y читается следующим образом: «если Х, то Y », «из Х следует Y ».

Употребление слов «если …, то …»в алгебре логики отличается от употребления их в обыденной речи, где, как правило, считается, что если высказывание Х ложно, то высказывание «если Х, то Y» вообще не имеет смысла. Импликация выражает соотношение причины и следствия таким образом, что Х всегда является достаточным основанием для того, чтобы наступило Y. Но для наступления Y само по себе Х не нужно, поскольку Y может наступить также в силу действия другой причины, т.е. Х для Y не является необходимым основанием.

Т.о., возможно построение таких конструкций, в которых основание и следствие по содержанию никак не связаны друг с другом (например, «Если управление предприятием нерационально, то февраль – морозный.»). Логическое значение импликации от этого не меняется.

Пример: Если 3 – нечетное число, то 3 не делится на 2.

Обозначим высказывание «3 – нечетное число» буквой P, а высказывание «3 не делится на 2» буквой Q. Составное высказывание в алгебре логики будет выглядеть следующим образом: 

P ® Q

и       и                     

Синонимы P ® Q:

P влечет за собой Q.

P только тогда, когда Q.

P есть достаточное условие для Q.

Q есть необходимое условие для P.

Q при условии P.

Q если P.

² Операция эквиваленции

Составное высказывание, состоящее из двух высказываний P и Q, между которыми стоит знак операции эквиваленции - ««», называется эквиваленцией. Эквиваленция имеет значение «истина», если оба высказывания имеют одновременно значение «истина», либо «ложь».

Синонимы    P « Q:

P эквивалентно Q.

P равнозначно Q.

Если P, то Q и если Q, то P.

Q есть необходимое и достаточное условие для P.

Как P, так и Q.

Пример: Число нечетно тогда и только тогда, когда оно не делится на 2.

Обозначим высказывание «Число нечетно» буквой P, а высказывание «оно не делится на 2» буквой Q.

Составное высказывание в алгебре логики будет выглядеть следующим образом: 

P « Q

и       и                     

 

² Операция анитиэквиваленции.

Составное высказывание, состоящее из двух высказываний А и В, между которыми стоит знак операции «антиэквиваленция» - «Å», называется антиэквиваленцией - А Å В.  Антиэквиваленция имеет значение «ложь», если оба высказывания имеют одновременно значение «истина», либо «ложь», в противном случае она истинна.

Словесная интерпретация операции антиэквиваленции - «или …, или …», что означает что два факта одновременно быть истинными или ложными не могут.

Например, рассмотрим высказывание: «Или контракт будет подписан, или состоится забастовка».

Обозначим буквой А высказывание «контракт будет подписан», а буквой В – высказывание – «состоится забастовка». Результирующее высказывание будет следующее: .

Это высказывание будет истинно только в двух случаях:

– А=и, В=л;

– А=л, В=и.

Таким образом, одновременно два события произойти не могут. Если же формализовать предложенное составное высказывание с использованием операции дизъюнкции (А Ú В),  это будет ошибкой, так как операция дизъюнкции предполагает возможность истинности одновременно двух событий.

Формулы алгебры-логики

Формулой алгебры-логики называется выражение, состоящее из логических постоянных, логических переменных, знаков логических операций и круглых скобок, изменяющих порядок выполнения операций, относительного стандартного.

Формулы соответствуют сложным или составным высказываниям. Для определения истинности или ложности высказывания, необходимо вычислить истинностное значение формулы. Для вычисления значения формулы должны быть известны входящие в нее переменные. Порядок выполнения операций следующий (в скобках указан приоритет выполнения операций): ù (1), & (2), V (3), ® (4), « (5),      Å (5). Операции одного старшинства выполняются слева направо. Порядок выполнения операций может быть измене с помощью скобок. Операции в скобках имеют более высокий приоритет.

Пример: Если «Пираты» или «Щенки» проиграют, а «Великаны» выиграют, то «Увертыши» потеряют первое место, и, кроме того, я проиграю пари.

Формализуем данное высказывание.

P - «Пираты» проиграют;

D - «Щенки» проиграют;

Q - «Великаны» выиграют;

G - «Увертыши» потеряют первое место;

C - я проиграю пари.

Составное высказывание будет выглядеть следующим образом:

 

1.2. Таблицы истинности в алгебре логики.

Для того чтобы определить значение формулы при различных комбинациях значений входящих в нее переменных, используют таблицы истинности.

Таблица истинности состоит из следующих частей:

- в левой части таблицы столбцы соответствуют логическим переменным, входящим в формулу (исходные данные);

-  далее следуют столбцы, отображающие результаты выполнения промежуточных операций в порядке их приоритетности (промежуточные результаты);

- крайний правый столбец отображает конечные значения формулы (результирующий столбец).

Каждая строка таблицы истинности заполняется определенным набором истинностных значений переменных и получаемым на этом наборе истинностным значением формулы. Все строки совокупности представляют полный набор возможных сочетаний истинностных значений переменных. Если в формулу входит N переменных, то всего в таблице должно быть 2 ^N  строк.

Таблицы истинности используются в качестве формального определения операций (см. табл. 1.2. – 1. 7).

 

Таблица 1.2.

Операция отрицания

Х	ù C
Л	И
И	Л

Таблица 1.3.

Операция конъюнкции

Х	У	Х & U
Л	Л	Л
Л	И	Л
И	Л	Л
И	И	И

 

Таблица 1.4.

Операция дизъюнкции

Х	У	C V U
Л	Л	Л
Л	И	И
И	Л	И
И	И	И

 

Таблица 1.5.

Операция импликации

Х	Y	C ® U
Л	Л	И
Л	И	И
И	Л	Л
И	И	И

 

Таблица 1.6.

Операция эквиваленции

Х	У	C « U
Л	Л	И
Л	И	Л
И	Л	Л
И	И	И

 

Таблица 1.7.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: