Практикум по теории вероятностей

Практикум по теории вероятностей

Методическое пособие для проведения практических занятий и организации самостоятельной работы студентов специальностей и направлений института экономики

Астрахань 2011

ББК 22.171я73

УДК 519.21(075.8)

С 60

Автор: доцент кафедры «Математика»,

к.э.н. Соловьева Н.В.

Рецензент: доцент кафедры «Математика»,

к.п.н. Шамайло О.Н.

Соловьева Н.В. Практикум по теории вероятностей. Методическое пособие. – Астрахань, 2011 – с.81

Методическое пособие составлено в соответствии с содержанием учебной программы обучения математике согласно требованиям ФГОС ВПО для финансово-экономических направлений подготовки. В каждом параграфе приведены основные сведения из курса теории вероятностей и примеры решения задач. Все задачи для самостоятельного решения снабжены ответами. Пособие может быть использовано студентами в качестве сборника задач на практических занятиях и для самостоятельной работы при изучении теории вероятностей.

Одобрено и рекомендовано к использованию в учебном процессе заседанием кафедры «Математика», протокол № 01 от 25.02.2011

Предисловие

Методическое пособие для решения задач по теории вероятностей предназначено для студентов высших учебных заведений. Весь материал пособия разделен на параграфы. Каждый параграф пособия содержит: краткую теорию; формулы, используемые при решении задач раздела; образцы решений типовых задач; задачи для решения на практическом занятии и для организации самостоятельной работы студентов. Все приведенные задачи снабжены ответами в конце каждого параграфа.

Юсупову Р.А.

Автор выражает свою благодарность к.т.н., профессору кафедры «Математика»

Элементы комбинаторики

Во многих задачах классической теории вероятностей используется комбинаторика, т.е. раздел математики, в котором изучаются различные соединения (комбинации) элементов конечных множеств.

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью двух правил – правила умножения и правила сложения.

Теорема. Правило умножения: если из некоторого конечного множества первый объект (элемент а) можно выбрать п₁ способами, а второй объект (элемент b) – п₂ способами, то оба объекта (а и b) в указанном порядке можно выбрать п₁ · п₂ способами.

Этот принцип распространяется на случай трех и более объектов.

Теорема. Правило сложения: если некоторый объект а можно выбрать п₁ способами, а объект b можно выбрать п₂ способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из объектов (а или b) можно выбрать п₁ + п₂ способами.

Это правило распространяется на любое конечное число объектов.

Существуют две схемы выбора т элементов из заданного множества: без возвращения, когда выбранные элементы не возвращаются в исходное множество, и с возвращением, когда выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге.

Схема выбора с возвращением

Если при упорядоченной выборке k элементов из п элементы возвращаются обратно, то полученные выборки представляют собой размещения с повторениями. Число всех размещений с повторениями из п элементов по k обозначается символом и вычисляется по формуле

Если при выборке k элементов из п элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания (таким образом, одни и те же элементы могут выниматься по несколько раз, т.е. повторяться), то полученные выборки есть сочетания с повторениями. Число всех сочетаний с повторениями из п элементов по k обозначается символом и вычисляется по формуле

Пусть в множестве из п элементов есть k различных типов элементов, при этом 1-й тип элементов повторяется п₁ раз, 2-й – п₂ раз, …, k-й – п _k раз, причем п₁ + п₂ + …п _k = п. тогда перестановки элементов данного множества представляют собой перестановки с повторениями.

Число перестановок с повторениями (иногда говорит о числе разбиений множества) из п элементов обозначается символом Р_п (п₁, п₂, …, п _k) и вычисляется по формуле

Пример 1. Сколькими различными способами можно выбрать три лица на три различные должности из десяти кандидатов?

Решение. Используем размещение. При п = 10, т = 3 получаем

Пример 2. Сколькими различными способами могут разместиться на скамейке 5 человек?

Решение. При п = 5 находим число перестановок

Пример 3. Сколькими способами можно выбрать три лица на три различные должности из десяти кандидатов?

Решение. Находим сочетание при п = 10, т = 3

Пример 4. Сколько различных шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 1; 1; 1; 2; 2; 2?

Решение. Здесь нужно найти число перестановок с повторениями. При k = 2, п₁ = 3, п₂ = 3, п = 6 получаем

Пример 5. Сколько различных перестановок букв можно сделать в словах: замок, ротор, топор, колокол?

Решение. В слове замок все буквы различны, всего их пять. Получаем

В слове ротор, состоящем из пяти букв, буквы р и о повторяются дважды. При п = 5, п₁ = 2, п₂ = 2 находим

В слове топор буква о повторяется дважды, поэтому

В слове колокол, состоящем из семи букв, буква к встречается дважды, буква о – трижды, буква л – дважды. При п = 7, п₁ = 2, п₃ = 2 получаем

2.1. Сколько различных слов можно составить из первых пяти букв русского алфавита, таким образом, что каждая буква участвует один раз?

2.2. Берем 10 цифр. Сколько 6-значных номеров можно составить из этих цифр, если каждая цифра участвует 1 раз?

2.3. В коробке 30 билетов. Сколько существует способов выбрать 5 билетов?

2.4. На сельскохозяйственные работы из 3 бригад выделяют по 1 человеку. Известно, что в первой – 15 человек, во второй 12, в третьей – 10 человек. Определить число возможных групп по 3 человека, если известно, что каждого могут отправить на работу.

2.5. Студенты изучают 12 дисциплин. В расписание каждый день включают 3 различных предмета. Сколькими способами можно составить расписание на каждый день?

2.6. 8 человек договорились ехать в одном поезде, состоящем из 8 вагонов. Сколькими способами можно распределить этих людей по вагонам, если в каждый сядет по 1 человеку?

2.7. 5 человек договорились ехать в поезде, состоящим из 10 вагонов и каждый человек может сесть в любой вагон. Сколькими способами можно распределить людей по вагонам?

2.8. В лифт 9-ти этажного дома заходят 3 человека. Сколько вариантов выхода пассажиров по этажам?

2.9. Какое количество рукопожатий при встрече 12 человек?

2.10. Из 10 кандидатов на одну должность выбирают 3 человека. Определить результаты выборов.

2.11. На полке стоят 10 книг, 2 из них по теории вероятностей стоят вместе. Сколько способов расположения книг на полке?

2.12. Сколько перестановок можно сделать из слова ракета, чтобы они все начинались с р?

2.13. Сколько перестановок можно сделать из слова математика, чтобы они все начинались на и?

2.14. Даны цифры: 1, 2, …, 9. Сколько можно записать 5-значных чисел без повторений?

2.15. Даны цифры: 1, 2, …, 9. Сколько можно записать 5-значных чисел кратных 2 из этих цифр?

2.16. Куб, все грани которого окрашены, распилили на 1000 кубиков. Кубики перемешали. Найти вероятность того, что кубик будет иметь: а) 1 окрашенную грань; б) 2 окрашенные грани; в) 3 окрашенные грани.

2.17. На полке расставлены наудачу 9 различных книг. Сколько способов, что 4 определенные книги окажутся рядом?

2.18. На полке случайным образом расставлены 10 книг. Сколько способов, что 3 определенные книги окажутся рядом?

2.19. Сколькими способами можно выбрать три лица на три различные должности из 10 кандидатов?

2.20. Сколько различных 6-значных чисел можно записать с помощью цифр 1, 1, 1, 2, 2, 2?

2.21. Сколько различных перестановок букв можно сделать в словах: резак, лампа?

2.22. Сколькими способами могут быть распределены три призовых места среди 16 соревнующихся?

2.23. В цветочном киоске 7 видов цветов. Сколькими разными способами можно составить букет, содержащий 3 цветка?

2.24. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеется материя 5 различных цветов?

2.25. Сколькими способами можно расставить на книжной полке десятитомник произведений А.С.Пушкина, располагая их: а) в произвольном порядке; б) так, чтобы I, V и IX тома стояли рядом?

2.26. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове: а) солнце; б) театр; в) лилия?

2.27. Владимир хочет пригласить в гости троих из семи своих друзей. Сколькими способами он может выбрать приглашенных?

2.28. В вазе стоят 9 красных и 7 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из нее: а) 3 гвоздики; б) 6 гвоздик одного цвета; в) 4 красных и 3 розовые гвоздики?

2.29. Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы в слове MISSISSIPPI?

2.30. Сколько различных инициалов (ФИО) можно образовать, используя 5 первых букв русского алфавита?

ОТВЕТЫ: 2.1. 120. 2.2. . 2.3. . 2.4. 15 · 12 · 10 = 1800. 2.5. . 2.6. Р₈ = 8! = 40320. 2.7. = п^т = 10⁵. 2.8. 8³ = 512. 2.9. . 2.10. . 2.11. Р₉ = 9! · 2!. 2.12. . 2.13. . 2.14. . 2.15. . 2.16. . 2.17. 6! · 4! 2.18. 8! · 3! 2.19. . 2.20. . 2.21 . 2.22. 3360. 2.23. 84. 2.24. 60. 2.25. . 2.26. а) 720; б) 60; в) 30. 2.27. . 2.28. 2.29. . 2.30. .

Геометрическая вероятность

Пусть W - множество точек отрезка или ограниченной плоской фигуры, А – заданное подмножество множества W. Будем считать, что испытание состоит в случайном выборе точки этого множества, событие А – выбор точки из подмножества А, причем «попадание» точки в каждую элементарную часть DW одной и той же длины или площади равновозможно. Тогда вероятность случайного события А будет определена по формуле

или

где L(A) – длина отрезка А, L(W) – длина отрезка W,

S(A) – площадь плоской фигуры А, S(W) – площадь фигуры W.

Пример 1. Внутри квадрата с вершинами (0; 0), (1; 0), (1; 1), (0; 1) наудачу выбирается точка М (х, у). Найти вероятность события

Решение. Пусть М(х, у) - случайная точка, попавшая внутрь квадрата со стороной 1 и круга с центром в начале координат радиуса а (рис. 5.1). Так как , а то и

Рис.5.1

Пример 2. Найти вероятность того, что корни квадратного уравнения действительны, если все значения равновероятны и единственно возможны.

Решение. Областью всех возможных пар значений (p, q) является квадрат ABCD с центром в начале координат и стороной, равной 2 (рис. 5.2). Значит, Интересующему нас событию соответствуют те точки, координаты которых удовлетворяют условию существования корней квадратного уравнения: . Эти точки принадлежат криволинейной фигуре AKOLD,

ограниченной сверху кривой . Площадь фигуры равна Отсюда

Пример 3. Наугад взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает 2. Найти вероятность того, что их произведение не меньше 2, а сумма не больше 3.

Решение. Так как числа х и у удовлетворяют условиям 0 ≤ х ≤ 2 и 0 ≤ у ≤ 2, то точки М(х, у), удовлетворяющие этим условиям, образуют квадрат со стороной 2 и площадью S _D = 4.

Рис. 5.3

Найдем множество М(х, у) для которых ху ≥ 2 и х + у ≤ 3. Эти точки, удовлетворяющие указанной системе неравенств, образуют область d, ограниченной гиперболой ху = 2 и прямой х + у = 3 (рис. 5.3). Находим площадь S _d области d:

Искомая вероятность Р = S _d/S_D = 0, 1137/4 ≈ 0, 0284.

5.1. Два теплохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих теплоходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из них придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого теплохода – один час, а второго – 2 часа.

5.2. Противник в течение часа делает один десятиминутный налет на участок шоссе. В течение этого же часа нужно преодолеть этот опасный участок шоссе. Какова вероятность того, что можно избежать налета, если время преодоления опасного участка пять минут?

5.3. Два человека договорились о встрече в определенном месте в промежутке времени от 19. 00 до 20. 00. Каждый из них приходит наудачу, независимо от другого и ожидает 15 минут. Какова вероятность того, что они встретятся?

5.4. Два студента условились встретиться между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 10 минут, после чего уходит. Какова вероятность того, что встреча состоится?

5.5. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг: а) квадрата; б) правильного треугольника?

5.6. На площадку, покрытую кафельной плиткой со стороной а = 6см, случайно падает монета радиуса r = 2см. Какова вероятность того, что монета целиком окажется внутри квадрата?

5.7. На отрезке [0, 3] наудачу выбраны два числа х и у. Какова вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам х² ≤ 3у ≤ 3х?

5.8. Наудачу выбирают два числа из промежутка [0, 1]. Какова вероятность того, что их сумма заключена между 1/4 и 1?

5.9. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает двух. Какова вероятность того, что произведение х · у будет не больше 1, а частное у/х не больше двух?

5.10. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает единицы. Какова вероятность того, что сумма х + у будет не превышает 1, а произведение х · у не меньше 0, 09?

5.11. На плоскости нарисованы две концентрические окружности, радиусы которых 3 и 5 см. Какова вероятность того, что точка брошенная наудачу в больший круг, попадет в кольцо, образованное этими окружностями?

5.12. На перекрестке установлен светофор, в котором в течение 25 секунд горит зеленый свет, 19 секунд горит красный свет, а в промежутках между ними в течение 3 секунд – желтый свет. Какова вероятность того, что автомобиль, случайно подъехавший к перекрестку, проедет его без остановки?

5.13. Внутри эллипса расположен круг x² + y² = 9. Какова вероятность того, что точка попадет в кольцо, образованное эллипсом и кругом?

5.14. В квадрат с вершинами в точках О(0, 0), К(0, 1), L(1, 1), М(1, 0) наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству ?

5.15. В эллипс вписан эллипс . Какова вероятность того, что точка, брошенная в больший эллипс, попадет внутрь малого эллипса?

5.16. На отрезке [0, 2] наудачу выбраны два числа х и у. Какова вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам х² ≤ 4у ≤ 4х?

5.17. Круг разделен на 6 равных секторов, через один окрашенный в черный цвет. Какова вероятность того, что точка брошенная в круг попадет в белый сектор?

5.18. Взяты наугад два положительных числа, каждое из которых не больше единицы. Какова вероятность того, что их сумма не превзойдет единицы, а произведение будет не больше 2/9?

5.19. В прямоугольник с вершинами К(-1, 0), L(-1, 5), М(2, 5), N(2, 0) брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам х² +1 ≤ у ≤ х + 3?

5.20. В квадрат с вершинами О(0, 0), К(0, 1), L(1, 1), М(1, 0) наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству у > 2x?

5.21. На плоскости область G ограничена эллипсом , а область q – этим эллипсом и эллипсом . В область G брошена точка. Какова вероятность того, что точка попадет в область q?

5.22. В прямоугольник с вершинами К(-2, 0), L(-2, 5), М(1, 5), N(1, 0) брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам х² +1 ≤ у ≤ х - 3?

5.23. В прямоугольник с вершинами R(-2, 0), L(-2, 5), M(1, 5), N(1, 0) брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам 0 ≤ у ≤ 2х – х² + 8?

5.24. Внутрь круга радиусом R наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг правильного шестиугольника?

5.25. Внутрь равностороннего треугольника со стороной а брошена точка. Какова вероятность того, что точка попадет в круг, вписанный в треугольник?

5.26. Наугад взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает 2. Какова вероятность того, что их произведение не меньше 2, а сумма не больше 3?

5.27. Внутрь круга радиусом R наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что точка окажется в области между кругом и вписанным в него квадратом?

5.28. В квадрат вписан круг. Какова вероятность того, что точка, брошенная в квадрат, попадет внутрь вписанного в него круга?

5.29. На отрезке АВ длины L числовой оси Ох наудачу нанесена точка М(х). Какова вероятность того, что отрезки АМ и МВ имеют длину, большую L/4?

5.30. На отрезке L длины 20 см помещен меньший отрезок l длины 10 см. Какова вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на наименьший отрезок?

ОТВЕТЫ: 5.1. 0, 121. 5.2. 0, 77. 5.3. 7/16. 5.4. 0, 3056. 5.5. 5.6. 1/9. 5.7. 1/6. 5.8. 15/32. 5.9. 0, 38. 5.10. 0, 2. 5.11. 0, 64. 5.12. 0, 5. 5.13. 0, 55. 5.14. 0, 75. 5.15. 0, 714. 5.16. 1/3. 5.17. 0, 5. 5.18. 0, 467. 5.19. 0, 3. 5.20. 0, 25. 5.21. 5/6. 5.22. 0, 3. 5.23. 2/3. 5.24. . 5.25. . 5.26. 0, 0284. 5.27. 5.28. π /4. 5.29. 0, 5. 5.30. 0, 5.