Операции над случайными событиями

Комплекс условий, который можно осуществить неограниченное число раз с целью получения некоторого результата, называется испытанием или экспериментом со случайным исходом. Каждый исход случайного эксперимента является элементарным событием и обозначается буквой w. Множество всех несовместных исходов испытания называется пространством элементарных событий  W.

Любое подмножество пространства элементарных событий называется случайным событием. Событие, происходящее при каждом осуществлении одного и того же испытания, называется достоверным, оно совпадает с множеством W. Событие, которое не может произойти при данных условиях, называется невозможным, оно не содержит ни одного исхода w, представляя собой пустое множество, и обозначается Æ.

 Для случайных событий определены следующие операции и отношения:

А Ì В  - отношение включения: множество А является подмножеством множества В - событие А влечет за собой событие В (рис. 1.1, а);

А = В - отношение эквивалентности - событие А тождественно событию В (А Ì В и В Ì А одновременно);

А + В - объединение множеств - сумма событий - состоит в том, что в результате испытания произойдет хотя бы одно из событий А или В (рис. 1.1, б);

А В - пересечение множеств - произведение событий - состоит в одновременном (совместном) появлении событий А и В (рис. 1.1, в);

А - В - разность событий  - означает, что событие А произошло, а событие В не произошло (рис. 1.1, г);

            а) А Ì В     б) А + В         в) АВ        г) А - В

Рис. 1.1

   - дополнение множества А до W - событие, противоположное событию А, состоит в том, что в результате испытания событие А не произойдет            (рис. 1.2, а).

События A и B несовместны, если AB = Æ (рис. 1.2, б). События A₁, A₂,..., A_n попарно несовместны, еcли для всех i ¹ j, где i = 1,..., n, j = 1,..., n, выполняется условие         A_i A_j = Æ. События A₁, A₂,..., A_n, удовлетворяющие условию  составляют полную группу событий. Если при этом   A_j = Æ, такая совокупность составляет полную группу несовместных событий..

Операции сложения и умножения событий обладают следующими свойствами:

а) А + В = В + А , АВ =ВА (коммутативность сложения и умножения);

б) (А + В) + С = А + (В + С);

(АВ)С = А(ВС) (ассоциативность сложения и умножения);

           

Рис. 1.2

в) (А + В)С =АС + ВС (дистрибутивность умножения относительно сложения);

г) А + Æ = А; А W = А;  

д)  А +  = W; А = Æ;

е) .

Пример 1. Игральная кость бросается дважды. Требуется описать: 1) пространство элементарных событий W; 2) событие A, состоящее в том, что сумма выпавших очков четная; 3) событие B, состоящее в том, что первое выпавшее число четное; 4) A+B; 5) A - B, B-A; 6) AB;           7) , .

1. Каждому из шести исходов при первом бросании кости соответствует 6 возможных исходов при втором бросании. Следовательно, пространство элементарных событий W имеет вид

W = {(1; 1), (1; 2),..., (1; 6), (2; 1),...(2; 6),..., (6; 1), (6; 2),..., (6; 6)} и содержит 6 × 6=36 элементарных событий.

2. Событие A состоит из тех элементарных событий, у которых результаты обоих бросаний либо четные, либо нечетные:

     A = {(1; 1), (1; 3), (1; 5), (2; 2), (2; 4), (2; 6), (3; 1),..., (6; 6)}. Нетрудно видеть, что A содержит 18 элементарных событий.

3. Событие B содержит те элементы пространства W, у которых первые цифры четные, вторые – любые:

В = {(2; 1), (2; 2), (2; 3),..., (4; 1), (4; 2),...(6; 1),..., (6; 6)} - всего 18 исходов.

4. Событие A+B состоит в том, что при двукратном бросании игральной кости сумма выпавших очков четная или первое выпавшее число четное. Иными словами, требуется найти объединение множеств A и B, для чего множество исходов одного из них следует дополнить недостающими исходами другого. В результате получим множество, состоящее из 27 элементарных событий:

       A+B = { (1; 1), (1; 3), (1; 5), (2; 1), (2; 2),..., (6; 5), (6; 6) }.

5. Чтобы получить разность A - B, следует из множества исходов A исключить исходы, входящие в B. Аналогично получается разность B - A.

6. Произведением A × B является множество тех элементарных событий, которые принадлежат множествам A и B одновременно:

 AB = {(2; 2), (2; 4), (2; 6), (4; 2),..., (6; 4), (6; 6)} - всего 9 исходов.

7. Для описания и достаточно вспомнить, что

                          = W - A, = W - B.

Пример 2.   Доказать справедливость следующих тождеств:

а)  б) в)

а) Известно, что А W = А и А + W = W, а на основании свойств (а) и (е);  тогда   откуда  

 

б) Из свойства (д) следует, что   Рассмотрим сумму событий  Так как то  Так как  то  

Отсюда следует, что .

в) Из доказательства предыдущего тождества следует, что   откуда .

Так как

В задачах 1.3 - 1.6 доказать справедливость следующих тождеств:

 1.3.

1.4.  

 Эти равенства свидетельствуют о том, что «приведение подобных членов» в алгебре событий недопустимо.

1.5.  - дистрибутивность сложения относительно умножения.

1.6.

1.7. Показать, что если  то выполняются соотношения

                              

1.8. Показать, что если  то выполняется соотношение

                              

Доказать тождества:

1.9.

1.10.

1.11.

Пусть А, В, С - три случайных события, которые могут появиться в данном эксперименте. Выразить указанные ниже события в алгебре событий А, В, С.

1.12.  = {из трех событий А, В, С произойдет ровно одно};

= {из трех событий А, В, С  произойдет ровно два}.

1.13.  = {из трех событий А, В, С произойдет хотя бы одно};

= {из трех событий А, В, С  произойдет не меньше двух}.

1.14. = {из трех событий А, В, С  не произойдет ни одного};

= {из трех событий А, В, С  произойдет хотя бы два};

= {из трех событий А, В, С  не произойдет хотя бы одно}.

 

Элементы комбинаторики

Во многих задачах классической теории вероятностей используется комбинаторика, т.е. раздел математики, в котором изучаются различные соединения (комбинации) элементов конечных множеств.

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью двух правил – правила умножения и правила сложения.

Теорема. Правило умножения: если из некоторого конечного множества первый объект (элемент а) можно выбрать п₁ способами, а второй объект (элемент b) – п₂ способами, то оба объекта (а и b) в указанном порядке можно выбрать п₁ · п₂ способами.

Этот принцип распространяется на случай трех и более объектов.

Теорема. Правило сложения: если некоторый объект а можно выбрать п₁ способами, а объект b можно выбрать п₂ способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из объектов (а или b) можно выбрать п₁ + п₂ способами.

Это правило распространяется на любое конечное число объектов.

Существуют две схемы выбора т элементов из заданного множества: без возвращения, когда выбранные элементы не возвращаются в исходное множество, и с возвращением, когда выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге.

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: