Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть в некотором эксперименте случайное событие А может появиться лишь с одним из несовместных событий (гипотез) Н₁, Н₂, ..., Н _n, составляющих полную группу. Тогда вероятность того, что в результате испытания событие А произойдет, определяется формулой полной вероятности:

Если известно, что в результате испытания событие А произошло, то условная вероятность того, что оно произошло с гипотезой , определяется по формуле Байеса:

, (i = 1, 2,..., n).

Пример 1. На склад поступает продукция с трех фабрик. Поступления с первой фабрики составляют 20%, со второй – 46%, с третьей – 34%. Вероятность брака для первой фабрики равна 0, 03, для второй – 0, 02, для третьей – 0, 01. Найти вероятность того, что в случае, когда взятое наугад изделие нестандартно, оно произведено на первой фабрике.

Решение. Известно, что любое изделие, находящееся на складе, произведено на первой фабрике (Н₁), на второй фабрике (Н₂) или на третьей фабрике (Н₃). Система гипотез Н₁, Н₂, Н₃ является полной группой несовместных событий. По условию Р(Н₁) = 0, 2, Р(Н₂) = 0, 46,            Р(Н₃) = 0, 34, Р(А/Н₁) = 0, 03, Р(А/Н₂) = 0, 02, Р(А/Н₃) = 0, 01. Необходимо найти вероятность гипотезы Н₁ при условии, что взятое наугад изделие (событие А) оказалось нестандартным. Согласно формуле Байеса, имеем

Пример 2. На складе находятся детали, изготовленные на двух заводах. Известно, что объем продукции первого завода в 4 раза превышает объем продукции второго завода. Вероятность брака на первом заводе р₁ = 0, 05, на втором заводе – р₂ = 0, 01. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена первым заводом?

Решение. Обозначим через Н₁ событие, состоящее в том, что взятая деталь изготовлена на первом заводе.          Н₂ – на втором заводе, тогда

Пусть А – событие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь оказалась бракованной.

По условию

В случае п = 1 получаем

Пример 3. На склад поступает продукция трех фабрик, причем продукция первой фабрики составляет 20%,   второй – 46% и третьей – 34%. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй – 2%, для третьей – 1%. Найти вероятность того, что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике.

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что взято нестандартное изделие, через Н₁, Н₂, Н₃ – гипотезы, состоящие в том, что взято изделие, изготовленное соответственно на первой, на второй, на третьей фабрике.

Из условия задачи следует, что

Поскольку в данном случае

находим искомую вероятность

Аналогично находим вероятности:

7.1. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдут сбои в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3: 2: 5. Вероятности обнаружения сбоев в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0, 8; 0, 9; 0, 9. Какова вероятность того, что: а) возникший в машине сбой будет обнаружен; б) сбой произошел в арифметическом устройстве?

7.2. На фабрике машина А производит 40% продукции, а машина В – 60%. В среднем 9 единиц из 1000 продукции машины А оказывается бракованными, а у машины В – 1 из 250. Некоторая единица продукции, выбранная из дневной продукции, оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она была произведена на машине А?

7.3. На фабрике 30% производится машиной А, 25% продукции – машиной В, а остальная продукция машиной С. У машины А в брак идет 1% всей продукции, а у машины В – 1, 2% продукции, а у машины С – 2%. Какова вероятность того, что выбранная единица продукции окажется стандартной?

7.4. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны извлекли наудачу по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Какова вероятность того, что взят белый шар?

7.5.Имеются две урны: в первой 2 белых и 4 черных шара, во второй 3 белых и 3 черных шара. Из первой урны во вторую перекладывается один шар; шары перемешиваются, затем из второй урны в первую перекладывается один шар. Какова вероятность того, что он будет белым?

7.6. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0, 4; для второго – 0, 6; для третьего – 0, 8. Какова вероятность того, что в мишени будет две пробоины?

7.7. В пяти ящиках находятся одинаковые по размерам и весу шары. В двух ящиках – по 6 голубых и 4 красных шара. В двух других ящиках – по 8 голубых и 2 красных шара. В одном ящике – 2 голубых и 8 красных шаров. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар оказался красным?

7.8. Партия электрических лампочек на 20% изготовлена первым заводом, на 30% - вторым, на    50% - третьим. Вероятности выпуска бракованных лампочек соответственно равны 0, 01; 0, 005; 0, 006. Какова вероятность того, что наудачу взятая из партии лампочка окажется стандартной?

7.9. В группе 21 студент, в том числе 5 отличников, 10 хорошо успевающих и 6 занимающихся слабо. На предстоящем экзамене отличники могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена приглашается наугад один студент. Какова вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценки?

7.10. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0, 1% брака, второй – 0, 2%, третий – 0, 3%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго – 2000 и с третьего – 3000 деталей.

7.11. На распределительной базе находятся электрические лампочки, приготовленные на двух заводах. Среди них 60% изготовлено первым заводом и               40% - вторым. Известно, что из каждых 100 лампочек, изготовленных первым заводом, 95 удовлетворяют стандарту, а из 100 лампочек, изготовленных вторым заводом, удовлетворяют стандарту 85. Какова вероятность того, что взятая наудачу лампочка будет удовлетворять стандарту?

7.12. На предприятии изготавливаются изделия определенного вида на трех поточных линиях. На первой линии производится 30% изделий от общего объема производства, на второй – 25%, на третьей – остальная часть продукции. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами годности изделий: 97%, 98%, 96%. Какова вероятность того, что наугад взятое изделие, выпущенное предприятием, окажется бракованным?

7.13. Имеются три урны с шарами. В первой находится 5 голубых и 3 красных шара, во второй – 4 голубых и 4 красных шара, в третьей – 8 голубых. Наугад выбирается одна из урн, из нее наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется красным?

7.14. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в количественном отношении 1: 2: 3, причем вероятности брака для этих заводов соответственно равны 3%, 2%, 1%. Прибор, приобретенный институтом, оказался бракованным. Какова вероятность того, что этот прибор произведен первым заводом?

7.15. В пирамиде 5 винтовок, три из которых с оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с прицелом, равна 0, 95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0, 7. Какова вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки?

7.16. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3: 2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0, 1; для легковой машины – 0, 2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Какова вероятность того, что это грузовая машина?

7.17. 45% телевизоров, имеющихся в магазине, изготовлены на первом заводе, 15% - на втором, остальные на третьем заводе. Вероятности того, что телевизоры, изготовленные на этих заводах, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока, равны 0, 96; 0, 84; 0, 9 соответственно. Какова вероятность того, что купленный наудачу телевизор выдержит гарантийный срок работы?

7.18. Предположим, что 5% мужчин и 0, 25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая, что мужчин и женщин одинаковое количество, найти вероятность того, что этот человек:      а) мужчина; б) женщина.

7.19. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятности их попадания в мишень соответственно равны 0, 75 и 0, 8. После стрельбы в мишень обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что в мишень попал второй стрелок?

7.20. Из 1000 ламп 100 принадлежит 1-й партии,       250 – 2-й и остальные 3-й партии. В 1-й партии 6%, во 2 – 5%, в 3-й – 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Какова вероятность того, что выбранная лампа бракованная?

7.21. Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания для первого охотника равна 0, 2, а для второго – 0, 6. В результате произошло одно попадание в цель. Какова вероятность того, что первый охотник промахнулся?

7.22. По линии связи передано два сигнала типов А и В с вероятностями соответственно 0, 8 и 0, 2. В среднем принимается 60% сигналов типа А и 70% сигналов типа В. Какова вероятность того, что: а) посланный сигнал будет принят; б) принятый сигнал – типа А?

7.23. Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено 10 человек из первой группы и 8 из второй. Вероятность того, что студент первой группы попадет в сборную института, равна 0, 8; а для студента второй группы – 0, 7. Какова вероятность того, что:            а) случайно выбранный студент попал в сборную института; б) студент попал в сборную. В какой группе он вероятнее всего учится?

7.24. В двух коробках имеются конденсаторы. В первой 20 конденсаторов, из них 2 неисправных, во второй – 10, из них 3 неисправных. Какова вероятность того, что:              а) наугад взятый конденсатор из случайно выбранной коробки оказался годным; б) конденсатор оказался годным. Из какой коробки он вероятнее всего взят?

7.25. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс вокзала А или в одну из пяти касс вокзала В. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира в кассах вокзала А имеются в продаже билеты, равна 0, 6, в кассах вокзала В – 0, 5. Какова вероятность того, что в наугад выбранной кассе имеется в продаже билет?

7.26. В состав блока входят 6 ламп первого типа и 10 ламп второго. Гарантийный срок обычно выдерживают 80% ламп первого типа и 90% второго типа. Какова вероятность того, что лампа, выдержавшая гарантийный срок, первого типа?

7.27. Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено из первой группы 5 студентов, из второй и третьей – соответственно 6 и 10 студентов. Вероятности выполнения нормы мастера спорта равны соответственно для студентов первой группы – 0, 3, второй – 0, 4, третьей 0, 2. Какова вероятность того, что студент, выполнивший норму мастера спорта, учится во второй группе?

7.28. Перед посевом 80% всех семян было обработано химикатами. Вероятность поражения растений, проросших из этих семян, вредителями равна 0, 06, а растений, проросших из необработанных семян – 0, 3. Какова вероятность того, что пораженное растение выращено из обработанного семени?

7.29. В студенческой группе 70% юноши. 20% юношей и 40% девушек имеют сотовый телефон. После занятий в аудитории был найден кем-то забытый телефон. Какова вероятность того, что он принадлежал: а) юноше;              б) девушке?

7.30. В коробке находится 4 новых и 2 уже использованных теннисных мяча. Для первой игры берут из коробки 2 мяча, а затем их возвращают после игры в коробку. Какова вероятность того, что для второй игры будут взяты два новых мяча?

ОТВЕТЫ: 7.1. а) 0, 87; б) 0, 276. 7.2. 0, 6. 7.3. 0, 985.       7.4. 0, 5. 7.5. 0, 476. 7.6. 0, 387. 7.7. 0, 4. 7.8. 0, 9935. 7.9. 0, 81. 7.10. 0, 023. 7.11. 0, 91. 7.12. 0, 032. 7.13. 0, 292. 7.14. 0, 3. 7.15. 0, 85. 7.16. 3/7. 7.17. 0, 918. 7.18. а) 20/21; б) 1/21.     7.19. 4/7. 7.20. 0, 0445. 7.21. 0, 857. 7.22. а) 0, 62; б) 0, 7742. 7.23. а) 0, 7555; б) в первой. 7.24. 0, 8333; б) из первой.   7.25. 0, 5375. 7.26. 0, 3478. 7.27. 0, 4. 7.28. 0, 44. 7.29. а) 0, 54; б) 0, 46. 7.30. 0, 16.

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: