Схема выбора с возвращением

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 9Следующая ⇒

Если при упорядоченной выборке k элементов из п элементы возвращаются обратно, то полученные выборки представляют собой размещения с повторениями. Число всех размещений с повторениями из п элементов по k обозначается символом и вычисляется по формуле

Если при выборке k элементов из п элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания (таким образом, одни и те же элементы могут выниматься по несколько раз, т.е. повторяться), то полученные выборки есть сочетания с повторениями. Число всех сочетаний с повторениями из п элементов по k обозначается символом и вычисляется по формуле

Пусть в множестве из п элементов есть k различных типов элементов, при этом 1-й тип элементов повторяется п₁ раз, 2-й – п₂ раз, …, k-й – п _k раз, причем п₁ + п₂ + …п _k = п. тогда перестановки элементов данного множества представляют собой перестановки с повторениями.

Число перестановок с повторениями (иногда говорит о числе разбиений множества) из п элементов обозначается символом Р_п (п₁, п₂, …, п _k) и вычисляется по формуле

Пример 1. Сколькими различными способами можно выбрать три лица на три различные должности из десяти кандидатов?

Решение. Используем размещение. При п = 10, т = 3 получаем

Пример 2. Сколькими различными способами могут разместиться на скамейке 5 человек?

Решение. При п = 5 находим число перестановок

Пример 3. Сколькими способами можно выбрать три лица на три различные должности из десяти кандидатов?

Решение. Находим сочетание при п = 10, т = 3

Пример 4. Сколько различных шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 1; 1; 1; 2; 2; 2?

Решение. Здесь нужно найти число перестановок с повторениями. При k = 2, п₁ = 3, п₂ = 3, п = 6 получаем

Пример 5. Сколько различных перестановок букв можно сделать в словах: замок, ротор, топор, колокол?

Решение. В слове замок все буквы различны, всего их пять. Получаем

В слове ротор, состоящем из пяти букв, буквы р и о повторяются дважды. При п = 5, п₁ = 2, п₂ = 2 находим

В слове топор буква о повторяется дважды, поэтому

В слове колокол, состоящем из семи букв, буква к встречается дважды, буква о – трижды, буква л – дважды. При п = 7, п₁ = 2, п₃ = 2 получаем

2.1. Сколько различных слов можно составить из первых пяти букв русского алфавита, таким образом, что каждая буква участвует один раз?

2.2. Берем 10 цифр. Сколько 6-значных номеров можно составить из этих цифр, если каждая цифра участвует 1 раз?

2.3. В коробке 30 билетов. Сколько существует способов выбрать 5 билетов?

2.4. На сельскохозяйственные работы из 3 бригад выделяют по 1 человеку. Известно, что в первой – 15 человек, во второй 12, в третьей – 10 человек. Определить число возможных групп по 3 человека, если известно, что каждого могут отправить на работу.

2.5. Студенты изучают 12 дисциплин. В расписание каждый день включают 3 различных предмета. Сколькими способами можно составить расписание на каждый день?

2.6. 8 человек договорились ехать в одном поезде, состоящем из 8 вагонов. Сколькими способами можно распределить этих людей по вагонам, если в каждый сядет по 1 человеку?

2.7. 5 человек договорились ехать в поезде, состоящим из 10 вагонов и каждый человек может сесть в любой вагон. Сколькими способами можно распределить людей по вагонам?

2.8. В лифт 9-ти этажного дома заходят 3 человека. Сколько вариантов выхода пассажиров по этажам?

2.9. Какое количество рукопожатий при встрече 12 человек?

2.10. Из 10 кандидатов на одну должность выбирают 3 человека. Определить результаты выборов.

2.11. На полке стоят 10 книг, 2 из них по теории вероятностей стоят вместе. Сколько способов расположения книг на полке?

2.12. Сколько перестановок можно сделать из слова ракета, чтобы они все начинались с р?

2.13. Сколько перестановок можно сделать из слова математика, чтобы они все начинались на и?

2.14. Даны цифры: 1, 2, …, 9. Сколько можно записать 5-значных чисел без повторений?

2.15. Даны цифры: 1, 2, …, 9. Сколько можно записать 5-значных чисел кратных 2 из этих цифр?

2.16. Куб, все грани которого окрашены, распилили на 1000 кубиков. Кубики перемешали. Найти вероятность того, что кубик будет иметь: а) 1 окрашенную грань; б) 2 окрашенные грани; в) 3 окрашенные грани.

2.17. На полке расставлены наудачу 9 различных книг. Сколько способов, что 4 определенные книги окажутся рядом?

2.18. На полке случайным образом расставлены 10 книг. Сколько способов, что 3 определенные книги окажутся рядом?

2.19. Сколькими способами можно выбрать три лица на три различные должности из 10 кандидатов?

2.20. Сколько различных 6-значных чисел можно записать с помощью цифр 1, 1, 1, 2, 2, 2?

2.21. Сколько различных перестановок букв можно сделать в словах: резак, лампа?

2.22. Сколькими способами могут быть распределены три призовых места среди 16 соревнующихся?

2.23. В цветочном киоске 7 видов цветов. Сколькими разными способами можно составить букет, содержащий 3 цветка?

2.24. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеется материя 5 различных цветов?

2.25. Сколькими способами можно расставить на книжной полке десятитомник произведений А.С.Пушкина, располагая их: а) в произвольном порядке; б) так, чтобы I, V и IX тома стояли рядом?

2.26. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове: а) солнце; б) театр; в) лилия?

2.27. Владимир хочет пригласить в гости троих из семи своих друзей. Сколькими способами он может выбрать приглашенных?

2.28. В вазе стоят 9 красных и 7 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из нее: а) 3 гвоздики; б) 6 гвоздик одного цвета; в) 4 красных и 3 розовые гвоздики?

2.29. Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы в слове MISSISSIPPI?

2.30. Сколько различных инициалов (ФИО) можно образовать, используя 5 первых букв русского алфавита?

ОТВЕТЫ: 2.1. 120. 2.2. . 2.3. . 2.4. 15 · 12 · 10 = 1800. 2.5. . 2.6. Р₈ = 8! = 40320. 2.7. = п^т = 10⁵. 2.8. 8³ = 512. 2.9. . 2.10. . 2.11. Р₉ = 9! · 2!. 2.12. . 2.13. . 2.14. . 2.15. . 2.16. . 2.17. 6! · 4! 2.18. 8! · 3! 2.19. . 2.20. . 2.21 . 2.22. 3360. 2.23. 84. 2.24. 60. 2.25. . 2.26. а) 720; б) 60; в) 30. 2.27. . 2.28. 2.29. . 2.30. .