Задачи с элементами комбинаторики. Задача о выборке

Задача о выборке. Среди N элементов некоторой совокупности содержится M элементов, обладающих определенным свойством. Случайным образом отбираются  n элементов. Найти вероятность того, что среди них окажется m элементов, обладающих указанным свойством.

Решение. В данном случае порядок следования элементов не имеет значения, поэтому множество элементарных исходов состоит из всех сочетаний , составленных из N  элементов по n. Благоприятными будут те исходы, когда в выборку попадут m элементов из М, обладающих определенным свойством. Такой выбор можно осуществить  способами. Но при этом вместе с указанными т элементами в выборку должны попасть      п – т элементов из числа N – M элементов данной совокупности, не обладающих этим свойством. А этот отбор можно осуществить  способами. Таким образом, число всех благоприятстующих исходов испытания равно  а искомая вероятность принимает вид

Пример 1. Первые 7 букв русского алфавита написаны на карточках. Случайным образом последовательно извлекаются четыре карточки. Найти вероятность того, что полученное “слово” будет оканчиваться буквой а.

Решение. Любой набор из четырех букв здесь считается словом, поэтому порядок следования букв имеет значение. Число  Так как последняя буква слова известна, то количество слов с буквой а в конце равно числу размещений из 7 элементов по 3:

                                    

Отсюда искомая вероятность  

Пример 2. На шести карточках написаны буквы А, В, К, М, О, С. После перетасовки случайным образом выбирают одну карточку за другой и раскладывают их в том порядке, в котором они были вынуты. Найти вероятность того, что на карточках будет написано слово МОСКВА.

Решение. Множество элементарных исходов состоит из всех перестановок из шести разных элементов,  Интересующему нас событию соответствует лишь один исход. Поэтому  

Пример 3. Из разрезной азбуки выкладывается слово МАТЕМАТИКА. Затем все буквы тщательно перемешиваются и снова выкладываются в случайном порядке. Какова вероятность того, что снова получится слово МАТЕМАТИКА?

Решение. В данном случае множество всех букв слова МАТЕМАТИКА состоит из нескольких групп: три буквы А, по две буквы М и Т, по одной букве Е, И и К. Поэтому множество элементарных исходов состоит из всех перестановок с повторениями из 10 элементов, разбитых на указанные группы.

4.1. Слово АЗИМУТ составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами перемешивают и из них наугад выбирают 4 карточки. Какова вероятность того, что расположенные по порядку карточки составят слово ЗИМА?

4.2. Из букв разрезной азбуки составлено слово ремонт. Карточки перемешивают и наугад вытаскивают 4 карточки, раскладывают их в порядке извлечения. Какова вероятность того, что получим слово море?

4.3. Из пяти карточек с буквами а, б, в, г, д наугад выбирают две и располагают в порядке извлечения. Какова вероятность того, что получится слово да?

4.4. На каждой из пяти карточек написаны буквы А, Б, И, Р, Ж. Карточки перемешивают, берут по одной и кладут последовательно. Какова вероятность того, что получится слово БИРЖА?

4.5. На пяти карточках написаны буквы И, К, М, Н, С. Карточки перемешиваются и наугад раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово МИНСК?

4.6.  Из букв слова ротор, составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекают 3 буквы. Какова вероятность того, что получится слово тор?

4.7. На шести карточках написаны буквы слова талант. Карточки перемешиваются. Их наудачу располагают одна за другой. Какова вероятность того, что снова получится слово талант?

4.8. На пяти карточках написаны буквы: на двух карточках л, на остальных трех и. Выкладывают наудачу эти карточки в ряд. Какова вероятность того, что при этом получится слово лилии?

4.9. На пяти карточках написаны буквы л, м, о, о, т. Какова вероятность того, что извлекая карточки по одной наугад, получится слово молот?

4.10. Дано 6 карточек с буквами Н, М, И, Я, Л, О. Какова вероятность того, что: а) получится слово ЛОМ, если наугад одна за другой выбираются 3 карточки;          б) получится слово молния?

4.11. Из букв А, С, Н, Н, А, А разрезной азбуки составляется наудачу слово, состоящее из 6 букв. Какова вероятность того, что получится слово АНАНАС?

4.12. На 9 одинаковых карточках написаны буквы Е, Е, Р, Р, С, С, Я, Г, И. Эти карточки выкладывают наудачу в ряд. Какова вероятность того, что при этом получится слово РЕГРЕССИЯ?

 4.13. Из букв разрезной азбуки составлено слово песня. Какова вероятность получить снова слово песня после перемешивания карточек?

4.14. На пяти карточках написаны буквы Б, Е, Р, С, Т. Эти карточки наудачу разложены в ряд. Какова вероятность того, что получится слово БРЕСТ?

4.15. Из букв разрезной азбуки составлено слово колокол. Карточки перемешиваются. Какова вероятность получить слово колокол?

4.16. В урне 10 шаров, из которых 6 белых, остальные черные. Наудачу извлекают 4 шара. Какова вероятность того, что среди них окажется 3 белых шара?

4.17.  Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 3 бракованных, наудачу извлекают 3 изделия для контроля. Какова вероятность того, что в полученной выборке окажется одно бракованное изделие?

4.18.  Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек разыгрывается 5 билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 девушки?

4.19. В ящике 4 голубых и 5 красных шара. Из ящика наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что эти шары разного цвета?

4.20. Из десяти билетов выигрышными являются два. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов один выигрышный?

4.21. В ящике находятся 15 красных, 9 голубых и 6 зеленых шаров. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынуты 1 зеленый, 2 голубых и 3 красных шара?

4.22. В ящике 10 шаров, из которых 2 белых, 3 красных и 5 голубых. Наудачу извлечены 3 шара. Какова вероятность того, что все 3 шара разного цвета?

4.23. В партии из 15 изделий имеется две дефектных. Наудачу выбирают 4 изделия для контроля. Какова вероятность того, что в этой выборке окажется хотя бы одно дефектное изделие?

4.24. Партия из 20 выловленных рыб подвергается некоторому контролю. Условием непригодности улова является наличие хотя бы одной бракованной рыбы из четырех проверенных. Какова вероятность того, что улов будет признан непригодным, если он содержит 3 недоброкачественные рыбы?

4.25. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее, чем на 3 из 4 поставленных вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет?

4.26.  В коробке 5 белых, 4 красных и 3 желтых шара. Наудачу вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что среди них 2 белых и 1 желтый шар?

4.27. Из 40 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 30. Какова вероятность того, что среди трех наугад выбранных вопросов студент знает 2 вопроса?

4.28. Из колоды в 36 карт извлекают 4 карты. Какова вероятность того, что все извлеченные карты пиковой масти?

4.29. В лотерее выигрывают 100 билетов. Выигрыши выпали на 20 билетов. Некто приобрел 5 билетов. Какова вероятность того, что выигрыш выпадет хотя бы на 1 билет?

4.30. Наудачу выбирают 5 военнослужащих из группы, состоящей из 4 офицеров и 12 солдат. Какова вероятность того, что в группе будет не более двух офицеров?

ОТВЕТЫ: 4.1. 1/360. 4.2. 1/360. 4.3. 0, 0167. 4.4. 1/120. 4.5. 1/120. 4.6. 1/15. 4.7. 1/180. 4.8. 1/10. 4.9. 1/60.            4.10. а) 1/120; б) 1/720. 4.11. 1/60. 4.12.                  4.13. 1/120. 4.14. 1/120. 4.15. 1/210. 4.16. 8/21. 4.17. 2/40. 4.18. 0, 385. 4.19. 5/9. 4.20. 5/9. 4.21. 0, 17. 4.22. 0, 25.       4.23. 10/21. 4.24. 0, 5088. 4.25. 0, 901. 4.26. 3/22.                   4.27. 0, 44. 4.28. 0, 21·10^-2. 4.29. 0, 69. 4. 30. 0, 94.

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: