Швидкість при плоскопаралельному русі

Залежність між швидкостями точок плоскої фігури визначається за теоремою: швидкість будь-якої точки плоскої фігури дорівнює геометричній сумі швидкості полюса і швидкості цієї точки при обертанні плоскої фігури навколо полюса.

приймемо за полюс ( ). Вектор  перпендикулярний до площини рисунка, направлений від нас. Визначимо швидкість будь-якої іншої точки плоскої фігури, наприклад . Для цього проведемо з нерухомої  (початку нерухомої системи координат, відносно якої рухається плоска фігура) в  і  радіус-вектори  і . Радіус-вектор  можна задати за допомогою двох векторів                                     (1)

Ця залежність буде зберігатися протягом усього часу руху.

Оскільки радіус-вектор  з’єднує дві точки (  і ) плоскої фігури, то за весь час руху він обертається навколо полюса з кутовою швидкістю плоскої фігури , не змінюючись за модулем, тобто .

Продиференціюємо обидві частини рівності за часом:

                                                                                                      (2)

Похідні від векторів  і  за часом – це швидкості відповідно  і .

Оскільки під час руху плоскої фігури модуль радіус-вектора  залишається незмінним, а його напрям при повороті фігури змінюється, то похідна  – це обертова швидкість  навколо полюса : .

Обертова швидкість точки твердого тіла дорівнює: . Тоді,

,

де  – кутова швидкість обертання фігури навколо полюса . Тоді формула (2) матиме вигляд:

                                                                                            (3)

Теорему доведено.

Обертова швидкість  направлена перпендикулярно до відрізка  в сторону обертання фігури. Її модуль дорівнює:

Швидкість  зображується діагоналлю паралелограма, побудованого з  на швидкості полюса , перенесеної в , і обертовій швидкості  навколо полюса .

План швидкостей

Залежність між швидкостями точок плоскої фігури  дає змогу визначити швидкості точок цієї фігури шляхом наочної побудови, що називається планом швидкостей.

Припустимо, що відомі швидкості точок  плоскої фігури. Відкладемо з довільної  за напрямом швидкостей даних точок відрізки , що дорівнюють швидкостям цих точок (  і т.д.). З’єднаємо  відрізками.

Виконана побудова називається планом швидкостей; відрізки  – променями;  – вершинами плану швидкостей.

З :

З :

З :

і т. д.

Відповідно, кожний відрізок, що з’єднує вершини плану швидкостей, геометрично рівний обертовій швидкості відповідної точки фігури навколо іншої точки як навколо полюса.

Тому, і т.д.

Звідси слідує, що багатокутник  подібний до багатокутника  і повернутий відносно нього на кут  в сторону обертання плоскої фігури.

Для побудови плана швидкостей точок плоскої фігури необхідно знати:

– модуль і напрям швидкості однієї точки цієї фігури;

– пряму, по якій напрямлена швидкість будь-якої іншої точки фігури.

 

 

           

 

Припустимо, що відомі:

– модуль і напрям швидкості  трикутної пластини , що рухається у площині креслення;

– пряма, по якій напрямлена швидкість  цієї пластини.

Необхідно знайти  і  шляхом побудови плану швидкостей.

1) Проведемо з довільної  відрізок  і пряму, паралельну .

2) Відомо, що відрізки, які з’єднують вершини плану швидкостей, перпендикулярні до відрізків, які з’єднують відповідні точки фігури.

3) Щоб визначити вершину  плану швидкостей, проведемо з вершини  пряму перпендикулярну до . Точка перетину її з прямою, по якій напрямлена швидкість , є вершиною , а відрізок .

4) Щоб визначити вершину  плану швидкостей, проведемо з вершин  і  прямі перпендикулярні відповідно до  і  трикутника. Перетин цих прямих утворить вершину . Відрізок .

Аналогічною побудовою можна визначити швидкість будь-якої точки плоскої фігури, з’єднавши її з двома точками, швидкості яких уже відомі.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: