Апроксимація похідних (сіткова апроксимація)

Нехай в площині xOy задана область з межею Г. Провівши вцій площині дві сім’ї прямих

ми таким чином введемо в ній різницеву сітку  з кроками .

           В результаті покриття області цією сіткою ми отримаємо сіткову область.

Будемо говорити, що область G покрита сіткою. Точки перетину цих прямих називають вузлами сітки. Вузли, які належать області G, називаються внутрішніми,, які межі Г – межовими (граничними, контурними) решта – зовнішніми. Вузли називаються сусідніми, якщо віддаль між ними по осі Ox рівна , або по осі Oy - . Вузол області  називається внутрішнім для області , якщо всі чотири його сусіди належать області , в противному випадку він називається граничним. Нехай  - дискретна сіткова область внутрішніх вузлів, а  - область граничних вузлів області на рис. 6.1 внутрішні вузли позначені “*”,а граничні “·”.

В методі скінченних різниць (сіток) область G неперервної зміни аргументів x , y замінюється дискретною (сітковою) областю , а замкнута область сітковою областю 

.

Значення шуканої функції

у вузлах сітки будемо позначати так:

.

Користуючись скінченною стрічкою Тейлора (“обірвавши” ряд Тейлора для функції U на деякому його члені), апроксимуємо частинні похідні функції  їх різницевими відношеннями:

   (6.1)

Це – так звані правосторонні різницеві відношення для частинних похідних першого порядку. Лівосторонні різницеві відношення мають вид:

(6.2)

З використанням центральних різниць похідні першого порядку апроксимуються так:

(6.3)

Очевидно, що точність заміни похідних першого порядку даними різницевими відношеннями має перший порядок, тобто .

Аналогічно, для частинних похідних другого порядку отримуємо такі різницеві відношення:

(6.4)

Заміна цих похідних має другий порядок точності, тобто порядок виду: 

.

 

6.2. Різницева апроксимація задачі Діріхле для рівнянь
 Лапласа та Пуассона

Всі викладки в даному пункті будемо проводити на прикладі рівняння Пуассона, оскільки при рівності правої його частини нулю  отримаємо аналогічні результати для рівняння Лапласа.

Нехай в площині  задана зв’язна область  обмежена контуром .Нехай задана неперервна функція  на контурі . Потрібно знайти наближений розв’язок  рівняння Пуассона:

,                                     (6.5)

який задовольняє граничним умовам

                                                             (6.6)

Сформульована задача, як було відмічено вище, називається задачею Діріхле (першою крайовою задачею) для рівняння Пуассона.

Нехай область  являє собою для простоти прямокутник:

(Рис. 6.2)

Покриємо його, наприклад, квадратною сіткою з кроком

Виберемо п’ятиточковий шаблон “хрест” і отримаємо різницеву схему задачі Діріхле на такому шаблоні. Замінимо частинні похідні в рівнянні (6.5) їх різницевими відношеннями (6.4).

Тоді диференціальне рівняння (6.5) в кожному внутрішньому вузлі сітки заміняємо системою різницевих рівнянь.

Отже, отримаємо таку систему  різницевих рівнянь з точністю :

                           (6.7)

Граничні умови (5.6) замінюються такими:

                         (6.8)

Систему різницевих рівнянь (6.7) і граничні різницеві умови (6.8) називають різницевою апроксимацією чи різницевою схемою крайової задачі (6.5), (6.6). Вона являє собою систему  лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими.

Доведено [12 б], що система (6.7), (6.8) має єдиний розв’язок. Також доведено, що для розв’язку задачі Діріхле справедлива оцінка

,

де С – константа, яка не залежить від кроку , а  - розв’язок різницевої схеми (6,7), (6,8). Це означає, що дана різницева схема збігається з швидкістю

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: