Різницеві схеми для рівнянь теплопровідності.

 

           Розглянемо процес чисельного розв’язку методом сіток краєвих задач для рівнянь параболічного типу для простіших одновимірних рівнянь, а саме для рівняння теплопровідності. Як відомо процес поширення тепла в одновимірному випадку описується наступним рівняння теплопровідності

                         (1)

- густина матеріалу;

- коефіцієнт теплопровідності;

 Т – температура;

 t – час;

- функція джерела.

       

 

Нехай . Поділимо (1) на  і отримаємо

                     (2)

а² – коефіцієнт температуропроводності.

           Дане рівняння описує процес поширення тепла в однорідному випадку, наприклад в стержні. Для однозначного визначення фізичного процесу до рівняння (2) потрібно додати додаткові умови.

           Таким чином розглянемо першу краєві задачу для рівняння теплопровідності. Розв’язок шукаємо в

                               (3)

                                  (4)

                                  (5)

           Розв’яжемо дану задачу методом сіток. Покриємо область G різницевою сіткою з кроками h по х та по часу.

Таким чином ми маємо сіткову область

Для побудови різницевих схем задачі проведемо апроксимацію похідних.

Температуру .

                             (6)

З точністю .

                                 (7)

або

                                (8)

З точністю .

           Природно постає питання, яку апроксимаційну похідну по часу взяти (7) чи (8). Вибір однієї з 2-х апроксимацій веде до принципово різних різницевих систем. А саме вибір похідних за формулою (7) веде до явної різницевої схеми. А вибір апроксимаційних похідних за формулою (8) веде до неявної різницевої схеми.

 

Явна різницева схема

           Апроксимуючи похідні по формулах (6), (7) і підставляючи їх в рівняння (2) отримаємо

                      (9)

           Шаблон явної різницевої схеми має вигляд (Рис.1).

З формули (9) легко визначити

(10)-(12) – це явна різницева схема для змішаної краєвої задачі теплопровідності з крайовими умовами І-го роду. Дана різницева схема явна, бо температура на k +1 шарі визначається явно із системи рівнянь.

           В література доведено, що така явна різницева схема є стійкою, якщо параметр

                                         (14)

Це означає, що при числовому розв’язку даної задачі по явній схемі кроки сітки h і  не можна вибирати довільними, а з врахуванням умови стійкості (14) даної різницевої схеми.

           Таким чином недолік явної різницевої схеми полягає в жорізнецева схематкій умові стійкості, а саме в тому, що кроки h і  зв’язані. Якщо зафіксувати один з них, то другий потрібно вибирати з умови стійкості.

Приклад:

           При машинних розрахунках зручно  покласти 0,5 або .

Таким чином матимемо:

            (15)

     (16)

           Доведено, що похибка явної різницевої схеми (10)-(12) при =0,5 або =  наступна

при наявності джерел в (10) потрібно добавляти .

 

Алгоритм ручного рахунку

1. Обчислити коефіцієнт температуропроводності .

2. Вибрати число  поділу відрізка .

3. Обчислити розбиття відрізка .

4. Користуючись умовою стійкості (14) обчислити крок по  поклавши .

5. При заданому обчислити кількість кроків по часу .

6. Покрити область  прямокутною сіткою з кроками h і  .

7. Користуючись початковою умовою обчислити (обчислити температуру на нижній основі прямокутної області).

8. Використовуючи граничні умови обчислити ,  де  - температура на лівій межі, а  - температура на правій межі.

9. Використовуючи MS Excel обчислити по явній різницевій схемі по функції (15) чи (16).

10. Обчислити розподіл температури у вузлах сітки.

Результати числових розрахунків занести в таблицю. Побудувати сімейство графіків.

 

Приклад:

Неявна різницева схема.

Розглянемо неявну різницеву схему для І-ї краєвої задачі для рівняння теплопровідності.

Як вже зазначалося, явна різницева схема досить проста для розуміння, але володіє істотними недоліками і при чисельних розрахунках прикладних задач спеціалістами в даний час майже не використовується.

           По відношенню до стійкості, явну різницеву схему називають умовно стійкою, оскільки вона стійка при певному обмеженні на відношення просторово-часових кроків h і  а саме:  де  В той же час неявні різницеві схеми вільні від таких недоліків.

           Як вже відмічалось раніше, неявну різницеву схему отримують шляхом апроксимації (заміни) похідної лівостороньою скінченою різницею по відношенню до вузла ( ), де  апроксимують тільки на шарі, тобто шаблон неявної різницевої схеми має вигляд літери “Т” (рис.2.). Отже, після апроксимації похідних ,  і підставляючи їх в рівняння теплопровідності (2), апроксимуючи початкові і граничні умови (4) отримаємо неявну різницеву схему

    

Виявляється, що дана неявна різницева схема є стійкою при будь-яких кроках h і  і називається абсолютно стійкою. Порядок її апроксимації , тобто перший по  і другий – по h. Розв’язок даної схеми знаходиться послідовним обчисленням температури на часових шарах, починаючи з першого ( ). При цьому розв’язок на кожному шарі знаходять методом прогонки, який є однією з модифікацій методу Гаусса розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь. В (17) невідомою є температура на  шарі, і відомою на -му шарі. Для цього приведемо схему (19) до так званого прогоночного виду:

                                            

де ,                                                       

Згідно цього методу розв’язок даної різницевої схеми пов’язано з розв’язком СЛАР і набагато важчий ніж розв’язок явної різницевої схеми, але якщо розглянути (20) неважко показати, що матриця буде трьох діагональною. І розв’язок будемо шукати у вигляді

.                               (22)

Різницева схема (20)-(21) називається неявною різницевою схемою. Розглянемо спеціальні методи розв’язання систем з трьох діагональною матрицею. Цей метод називається методом прогонки. Тут  - прогоночні коефіцієнти обчислені на часовому шарі .

Справа в тому, що на кожному часовому шарі приходиться виконувати свою прогонку, тобто розв’язувати СЛАР на кожному шарі по часу. Підставивши (22) в (20), отримаємо:

 ,

звідси отримаємо

.

           Остання рівність можлива лише в тому випадку, коли

,

Звідки знаходимо прогоночні коефіцієнти

, (23)

           Щоб обчислити значення про гоночних коефіцієнтів користуючись формулами (23), потрібно мати значення коефіцієнтів , які легко знаходяться із граничних умов (21). Використовуючи (22) і (21) маємо

 

Таким чином розв’язок неявної різницевої схеми (20)-(21) використовує метод прогонки і він дає формули (22), (23), (25). Для інших краєвид задач розв’язок дається формулами (22), (23), але  інші. Тобто маємо

          (7.22)

    ,

Вони обчислюються в результаті прямого ходу (прямої прогонки). В результаті зворотного ходу (зворотної прогонки), обчислюємо по формулі (22)  в кожній точці стержня на даному часовому шарі (в певний момент часу).

Зауваження І. На кінцях стержня можуть задаватися різні граничні умови (І-ІІІ роду).

           В зв’язку з цим неявна різницева схема (20) – (22) в більш загальному вигляді запишеться так:

                                                          

де коефіцієнти ₁, ₂, , визначаються тим чи іншим чином в залежності від задання граничних умов І роду, коли задано розподіл температури на кінцях стержня

маємо

для граничних умов ІІ роду, коли на кінцях стержня задано теплові потоки,

                   (28)

маємо

           Якщо співставити (27) і (28), то про гоночні коефіцієнти

                                    (30)

Ці формули справедливі для задання будь-яких граничних умов.

для граничних умов ІІІ роду, тобто коли наявний теплообмін між стержнем і навколишнім середовищем

де - температура оточуючого середовища, маємо

                  (31)

           Прогоночні коефіцієнти  для всіх випадків граничних умов, обчислюються за формулами (23), причому

                                                           (7.23)

           У випадку задання граничної умови ІІ або ІІІ роду на правому кінці стержня для проведення прогонки по формулах (22) потрібно знайти температуру . З формул (22) і (20), (27) маємо

Звідки знаходимо :

                                 (32)

Зауваження 2. Для можливості застосування методу прогонки, достатньо, щоб виконувались умови

       

                  

7.2.1 Алгоритм ручного рахунку по неявній різницевій схемі.

1. Обчислити коефіцієнт температуропровідності

2. Вибрати число поділу відрізка .

3. Обчислити крок розбиття відрізка

4. Вибрати крок  по часу та їх кількість m.

5. Обчислити коефіцієнт

6. Покрити область  різницевою сіткою з кроками h і .

7. Користуючись початковою умовою, обчислити

8. Користуючись граничними умовами, обчислити

9. Записати неявну різницеву схему задачі.

10. Для кожного часового шару

а) в результаті прямого ходу, обчислити поргоночні коефіцієнти

б) в результаті зворотного ходу, обчислити значення температури

Приклад: Розрахунок розподілу температури в стержні за допомогою неявної різницевої схеми.

Розглянемо умову задачі прикладу 2 поширення тепла в стержні.

Згідно умови, маємо

.

           Виберемо крок  по часу, наприклад, таким же, як і при застосуванні явної схеми (з метою порівняння результатів по обох різницевих схемах): c.

           Обчислення температури будемо проводити для трьох часових шарів (m=3). Параметр  , як і раніше, обчислюється так

           Початкова і граничні умови  такі ж, як і раніше.

           Для кожного часового шару k (k=1,2,3) обчислюємо в результаті прямого ходу прогоночні коефіціенти  (користуючись формулами (23)), а в результаті зворотного ходу–температуру . Відповідно маємо:

а) для першого часового шару (k=1)

і
1	0	1000	969,017
2	0,12500	857,000	896,14
3	0,12698	797,587	776,13
4	0,12702	698,792	609,01
5	0,12702	558,210	400

Табл. Температура  першого часового шару для стержня

 

б) для другого часового шару (k=2)

i
1	0	1000	962,83
2	0,12500	851,762	888,52
3	0,12698	790,933	788,52
4	0,12702	691,946	602,82
5	0,12702	552,015	400

Табл. Температура  другого часового шару для стержня

 

в) для третього часового шару (k=3)

i
1	0	1000	957,26
2	0,12500	847,115	881,19
3	0,12698	784,538	761,19
4	0,12702	685,335	597,26
5	0,12702	546,457	400

Табл. Температура  третього часового шару для стержня.

Обчислені значення температур для кожного часового шару запишемо для наглядності у зведену таблицю.

 

i j		0	1	2	3	4	5
		0	0,02	0,04	0,06	0,08	0,1
0	0	1000	976	904	784	616	400
1	1 t	1000	969,017	896,14	776,13	609,01	400
2	2 t	1000	962,82	888,52	768,52	602,82	400
3	3 t	1000	957,26	881,19	761,19	597,26	400

Табл. Зведена таблиця розподілу температур у стержні.

 

Лабораторна робота №2

Тема. Чисельне розв’язання змішаної крайової задачі для рівняння теплопровідності.

Мета. Навчитись проводити розрахунок поширення тепла по явній та неявній різницевих схемах у випадку першої крайової задачі для рівняння теплопровідності.

Завдання. Розрахувати розподіл температури в однорідному стержні довжини l, виготовленого з певного матеріалу з теплофізичними властивостями l,c,r , температура T(x,t) в якому задовольняє рівнянню теплопровідності

a²   ,0 < х<l, 0<t<t₁ ,

якщо крайові умови мають вид:

відомо розподіл температури в початковий момент часу

T ( x ,0)= f ( x )= x ^{s +1} + T ₁ ,

і теплові режими (підтримується задана температура) на кінцях стержня

Т(0,t)= (t) =T₁=k,

      T(l,t)=

де k ­– номер варіанта, S–номер групи.

      Для розрахунків взяти l=0,5м, h =0,1м , m=3.

 

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: