Різницева схема для рівняння коливання

1. Постановка задачі

Як відомо, перша крайова задача для рівняння коливання струни записується наступним чином:

(1)                     

                                    

                                                           

 Як відомо з курсу математичної фізики , дана задача поставлена коректно:

                          1.Що розв’язок її існує:

                          2.Розв’язок єдиний;

                          3.Розв’язок стійкий , тобто розв’язок неперервно-залежний від початкових і граничних даних.

2. РС задачі.

 Для побудови РС даної задачі, введемо в області задання рівняння (1) рівномірну сітку з кроками h i τ, де

              

t

   

T

 

(k+1)

 k      

(k-1)

                              

 

x

0

                                                                       

 

 

       Для апроксимації задачі (1) можна скористатися мінімальним 5-точковим шаблон шаблоном у вигляді хреста. Причому в даному шаблоні, навідміну від раніше розглянутих нами використовує три часові шари: (К-1) , К, (К+1). Тому побудовані РС називаються трьохшаровими або трьохярусними.

       Їх застосування вимагає, щоб при знаходженні значення  на верхньому шарі необхідно значення даної функції на шарах  і  , які повинні зберігатись в пам’яті ЕОМ. Апроксимувавши другі похідні в рівнянні (1) їх скінченнорізницевими аналогами та підставивши їх в один отримали наступну систему алгебраїчних рівнянь :

 (1)         (6)

Різницеві рівняння (6) мають порядок апроксимації 0(h²+τ²)

Розвязок (6)на (К+1) шарі виражається явним числом і має вид (7):         

           

       (7)

 

Для проведення числових розрахунків по формулі (7) повинні бути задані значення функції на двох попередніх шарах k-1 і k.Апроксимація граничних умов (2) і (3):

(8)       

(9) ,                                                             

(4)  ,                      (10)

(5)

Остання формула означає, що друга початкова умова (3) апроксимована з порядком (0(t)). Недоліком отриманої РС  є те, що вона має перший порядок точності по часу. Але ми можемо побудувати РС задачі (1)-(5), яка б мала порядок точності (0(h²+t²)). Тому , при апроксимації (5). можна скористатись уточненою різницею . Однак, це призведе не до явної схеми, оскільки буде задіяно три шари : 0,1,2. Але ми поступимо по-іншому, а саме, розкладемо першу похідну в ряд Тейлора:

                      (12)

Різницевим аналогом (12) служить (13)

(13)

враховуючи рівняння (1), член  замінимо на  і перепишем (13) так:

                 (14)

З (14) маємо:

                          (15)

З (11) маємо:

                                        (16)

                           

       Отримана різницева схема (7)-(10) і формула (16) побудовано з точністю 0(h²+τ²).

       Можна показати що дана схема стійка при .Для того, щоб показати стійкість РС,  розв’язок (6) шукаємо у вигляді:

                                                  (17)

- це частинні розв’язки

І-уявна одиниця

φ- довільне число

q-число, що необхідно знайти

h- крок сітки

                       (18)

    

               (19)

       a)      б)

                                                    (20)

 

 Підставляючи (17) в (7) і скорочуючи на ℓ , отримаємо рівняння (18)

                     (18)

Будемо вважати, що різницеве рівняння (7) стійке, якщо обидва корені ( q1 і q2) рівняння (18) не перевищують 1. Нехай q1, q2- корені даного рівняння . Якщо обидва корені дійсні, то в силу того, що q1•q2=1, по теоремі Вієта, тоді знайдеться таке φ, що одне з |q1|≥1, a |q2|≤1. Якщо ж корені комплексно спряжені, тобто , , то |q1|=|q2|=1

Таким чином , різницеве рівняння (7) стійке, якщо при всіх дійсних φ виконується умова(19)

Остання нерівність виконується для всіх φ , якщо τ≤h . Умова (19) є умовою стійкості побудованої РС . Більш строге обґрунтування стійкості РС можна дати, використовуючи принцип max для РС.

 

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться: