Різницева апроксимація задачі (1)-(3)

Для побудови РС задачі (1)-(3) введемо різницеву сітку таким чином:

1.Просторову сітку

Множину внутрішніх вузлів сітки в Ω (і=1,n-1, j=1,m-1) позначимо через ω і назвемо внутрішніми вузлами просторової сітки ω . А множину вузлів сітки Ω є Г називають межовими вузлами сітки і позначають через γ . Отже Ω

Оператор Лапласа в (1) апроксимуємо на п’ятиточковому шаблоні ’хрест’ п’ятиточковим різницевим оператором

Визначимо на Ω різницевий оператор

На введеній вище просторовій Р сітці , позначивши апроксимуємо задачу (1)-(3) різницевою задачею , в результаті чого отримаємо ,по аналогії з одновимірним випадком , так звану РС звагами:

, i=1,n-1, j=1,m-1, k=1,k-1 (4)

(5)

, k=1,K (6)

Схема (4)-(6) називається РС звагами .

Для одновимірного рівняння теплопровідності аналогічна схема звагами мала вигляд:

Умова стійкості даної схеми мала вигляд σ ≥ ½-¼γ.

Аналіз схеми (4)-(6)

1. При σ =0 отримаємо явну РС, а саме

(8)

(9)

(10) k=1,K

З (8) легко отримаємо

(8')

i=1,n-1, k=1,k ,j=1,m-1 (8")

2.При σ¹0, схема (4)-(6)- неявна і для знаходження U на (К+1) шарі потрібно розв’язати систему двовимірних різницевих рівнянь. Ця схема , в силу побудови має порядок апроксимації 0(h²+τ). А при σ =0.5- дана РС має порядок апроксимації 0(h²+τ²).

3.Стійкість РС.

Розглянемо лише стійкість РС (4)-(6) у початкових даних. Дослідження стійкості проводиться, по аналогії , як і у одновимірному випадку за допомогою методу розділення змінних. В теорії РС показується (див. Самарський) , що РС навіть більш загальний вигляду ніж (4)-(6) стійка по почат. Даних, якщо ваговий множник σ задовольняє умова:

(11)

τ-крок по часу

λmax- це max власне значення верхньої межі спектра оператора А. Як відомо, для оператора А власне значення у нашому випадку має вигляд:

(12)

Можна показати, що

Тому умова стійкості (11) буде виконана , якщо ваговий множник σ задов. умові:

(13)- аналог умови куранта

Аналогічно досліджується стійкість даної РС по правій частині та її збіжність. Якщо σ =0.5, то РС (4)-(6) має другий порядок точності по τ і по h. При решті σ –перший порядок точності по τ і другий – по h. У випадку квадратної РС умова стійкості (13) приймає вигляд:

(13')

У випадку явної РС (σ =0) для квадратної сітки умова стійкості набуває вигляду τ/h²≤¼.

Ця умова ще більш жорсткіша , ніж в одновимірному випадку.

Як ми бачили . у випадку σ ¹0, ми отримали неявну РС і для її розв’язання потрібно було розв’язувати систему двовимірних різницевих рівнянь. Однак, це не так просто , тобто наштовхується на значні труднощі. Тому в теорії РС різними шкалами були розроблені так звані економічні методи побудови і розв’зання РС.

13. Економічні методи розв ’ язання крайових
задач математичної фізики.

1.Самарський “ Теорія РС”.

2.Самарський, Булін “Числовые методы”.

3.Самарський “Введение в числовые методы”.

4.Яненко ”Метод дробных шагов в математической физике”.

5.Марчук “Методы вычислительной математики”.

Базові поняття:

Економічні методи, метод змінних напрямків, поздовжньо-поперечна схема, локально-одновимірна схема Самарського (ЛОС), метод дробових кроків, сумарна апроксимація.

13.1 Економічні методи розв’язання першої крайової задачі для двовимірного рівняння теплопровідності.

Чисто неявна РС характерна тим, що кожне різницеве рівняння такої схеми, як правило, зв’язує 5 невідомих. Матриця такої системи має смужкову структуру. Розв’язок таких систем представляє значні труднощі через великий розмір системи і звичайні методи розв’язання СЛПР тут не підходить.

В зв’язку з цим, різними школами, які працювали в галузі ПМ, були запропоновані і розвинуті більш ефективні економічні методи розв’язання для еволюц. Задач математичної фізики.

1.Приклади економічних методів

2. Метод змінних напрямків

2.1 Історія методу

2.2 Суть обчислювального алгоритму (ідея, математичні основи)

2.3 Стійкість поздовжньо-поперечної схеми

2.4 Сумарна апроксимація схеми

3. Локально-одновимірна схема

4. Схеми розчеплення

5. Висновки

1. Економічні методи базуються на зведенні багатовимірної задачі до послідовних одновимірних задач. При такому зведенні розроблено обчислювальні алгоритми, які поєднують в собі простоту явної схеми і абсолютну стійкість, яку забезпечує неявна схема.

Починаючи з 50-х років ці методи під різними назвами широко застосовувались для розв’язання багатовимірних задач математичної фізики, а саме:

- метод змінних напрямків (Письмен,Гечфорд)

- метод дробових кроків (Яненко)

- розчеплення (Марчук)

-ЛОС (Самарський)

Ⅱ.

Поздовжньо-поперечна схема

1.1 Цей метод запропонований в 1955р. Він належить до невеликого числа алгоритмічних винаходів, які здійснили суттєвий на чисел. розв’язання крайових задач. В даний час ця конструкція використовується також.

1.2 Суть обчислювального алгоритму цієї схеми виглядає так:

- Метод сіток будується аналогічно попередньому (див. попередню лекцію).

- Розв’язок шукається у вигляді сіткової функції U в просторово-часовій дискретній області Ω .

- Крок по часу τ ділиться на два: τ/2 і τ/2 (хоча можуть бути не однакові).

- На першому з них друга похідна в рівнянні по х1 апроксимується на проміжному році К+½ по неявній схемі.

Інша друга похідна , яка входить в рівняння апроксимується на часовому шарі К по явній схемі. А на цілому шарі по часу (К+1) навпаки, друга похідна по х1 апроксимується явно, а друга похідна по х2- неявно. Математично, описаний алгоритм зводиться до наступного: РС, що апроксимує крайову задачу (1)-(3) (див. попередню лекцію) має вигляд (0), (1)

(0)

Λ1, Λ2-різнецеві оператори, що апроксимують другі похідні по х ,

(1)

Рівняння (0), (1) являють собою основні рівняння поздовжньо-поперечної схеми. З (0)Þ(2), тобто рівняння в про гоночному вигляді

(2)

де i=1,n-1 , j=1,m-1

Рівняння (0), (1) є неявними лише по змінній х1 (рівняння (0)) і по змінній х2 (рівняння (1)). Тоді розв’язком (2) з заміною a1, b1, c1 буде

(4)

де , ( 5)

Кожна з наведених систем лінійних рівнянь (0), (1) об’єднує невідомі, що лежать на одній горизонтальній лінії. Крім того кожна з цих систем характериз. трьох діагональної матриці і розв’язується з використанням “прогонки”.Ціна операції на одну прогонку для одного рівняння системи (0) 0(n)=p*n , 0(n,m)-на n-тому кроці

називається проміжною сітковою функцією

Аналогічно, на другому пів кроці по часу, але система (1) розчіплюється на незалежні підсистеми, що об’єднують змінні на одній вертикалі. Ціна операції для розв’язання такої системи 0(n,m).

Таким чином, алгоритм методу змінних напрямків - економічний, тобто число операцій пропозиційне числу невідомих . Далі, на другому пів кроці по часу маємо :з (1)Þ(6)

(6)