Часть I . ТЕОРИЯ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ

Часть I. ТЕОРИЯ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЧАСТОТА (ЧАСТОСТЬ) И ВЕРОЯТНОСТЬ

Очевидно, не всякий опыт может быть сведен к схеме случаев, и поэтому существуют события, вероятности которых невозможно вы­числить по формуле (1.1), например, вероятность сбить самолет одним выстрелом, вероятность выпадения герба, если монета не имеет пра­вильной формы, вероятность появления той или иной игральной карты, если игра нечестная, и т. д. Для таких событий применяют другие спо­собы определения вероятностей. Все эти способы связаны с опытом (экспериментом) и понятием относительной частоты (частоты) со­бытия.

Относительной частотой события называют отношение числа появлений этого события т к числу всех произве­денных опытов п, т. е.

 

                                                      (1.2)

 

При неограниченном числе опытов с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно ожидать, что относительная частота собы­тия приближается к его вероятности (теорема Бернулли), т. е.

 

вер                                        (1.3)

 

Вероятный предел (вер ) отличается от математического предела и понимается как тенденция стремления к пределу. Выражение (1.3) пишут также в виде {| Q - р| < ε } = 1-δ, где ε и δ — сколь угодно малые положительные величины.

Относительную частоту называют также статистической вероятностью события.

1.47. Из 5000 взятых наудачу деталей оказалось 32 бракованных. Найти
частость бракованных Деталей в данной партии.

Решение. В этой задаче нас интересует событие А — появление брако­ванной детали. Произведено п. = 5000 испытаний, причем событие А наступило от = 32 раза. Поэтому искомая частость

 

Q₅₀₀₀ (А) = 32/5000 = 0, 0064.

 

1.48. Французский естествоиспытатель XVIII в. Бюффон при эксперимен­тальной проверке закона больших чисел бросил монету, 4040 раз, в результате че­го герб выпал 2048 раз. Найти частость выпадения герба.

1.49. Произведя 100 выстрелов, стрелок попал в цель 89 раз. Чему равна частость его попадания в цель?

1.50. Среди 1000 новорожденных оказалось 517 мальчиков. Найти частость рождения мальчиков и девочек.

1.51. Среди 4000 первых чисел натурального ряда имеется 551 простое чис­ло. Найти частость появления простого числа.

1.52. Из таблицы прил. I выбрать 100 чисел. Найти частость и вероятность появления последней цифры, кратной двум, кратной трем.

1.53. Произведено 5000 измерений. Число положительных ошибок оказа­лось равным 1000. Можно ли сделать предварительное заключение о наличии систематических ошибок?

1.54. При некоторых измерениях оказалось, что относительная частота по­ложительных ошибок Q = 0, 40. Сколько было произведено всего измерений п, если отрицательных ошибок оказалось 15.

О т в е т: 25.

МНОГОКРАТНЫЕ ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ. ФОРМУЛА

БЕРНУЛЛИ

 

Если необходимо определить вероятность того, что при независи­мых испытаниях интересующее нас событие появится k раз (много­кратные повторные испытания), то применяют формулу Бернулли

 

,                                   (1.14)

 

где p_n ( k ) — искомая вероятность; С _n ^k - число сочетаний из п по k, р ^k - вероятность появления события в одном испытании, принимае­мая одинаковой во всех опытах.

Заметим, что  есть вероятность того, что событие А появится
или 0, или 1, …, или п раз. Но указанное сложное событие есть полная группа, поэтому  = 1.

Приведем еще следующие полезные формулы:

1) вероятность того, что событие А появится не менее l раз, т. е. k ≥ l, определится так:

 

;                                   (1.15)

 

2) вероятность того, что событие А появится не более l раз, т. е. k ≤ l, будет

 

                             (1.16)

 

При этом легко получить соотношение

 

                 (1.17)

 

Обозначим через A ₁  событие, заключающееся в том, что интересую­щее нас событие появится большее число раз, чем противоположное событие, через А₂ - меньшее число раз и через А ₃ - одинаковое число раз (при нечетном п р(А₃) = 0) (например, событие A ₁ - гер­бов больше, А ₂ - гербов меньше, А₃ - одинаковое число появления гербов и цифр при п бросании монеты).

Очевидно, имеет место зависимость

 

р( A ₁ ) + р( A ₂ ) + р( A ₃ ) = 1,                             (1.18)

 

причем, если р = 1/2, то р(А₁) = р(А₂).

1.116. По одной и той же мишени в одинаковых условиях производятся независимых выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле р = 0, 33 (q = 0, 67). Определить вероятность поражения мишени k = 0, 1, 2, 3, 4 раза.

Решение. Так как p_n(k) = C_n^kp^kq^{n - k}, n = 4, то имеем:

 

P₄ (0) = C₄⁰ p⁰ q⁴ = 1 * 0.33⁰ * 0.67⁴ = 0, 20;

P₄ (1) = C₄¹ p¹ q³ = 1 * 0.33¹ * 0.67³  = 0, 40;

P₄ (2) = C₄² p² q² = 1 * 0.33² * 0.67² = 0, 29;

P₄ (3) = C₄³ p³ q¹ = 1 * 0.33³ * 0.67¹ = 0, 10;

P₄ (4) = C₄⁴ p⁴ q⁰ = 1 * 0.33⁴ * 0.67⁰ = 0, 01;

Контроль:

В условии этой задачи вероятность попадания не менее двух раз

 

р₄ ( k ≥ 2) = p₄ (2) + p₄ (3) + p₄ (4) = 0, 40;

не более двух раз

 

p₄ ( k ≤ 2) = p₄ (0) + p₄ (1) + p₄ (2) = 0, 89

 

или по формуле (1.17)

 

Pi( k ≤ 2) =1 + p₄ (2) - p₄ ( k ≥ 2) = 1+0, 29 —0, 40 = 0, 89.

 

Вероятность того, что попаданий больше, чем промахов, р(А₁) = p₄(3) + р₄(4) = 0, 11; одинаковое число промахов и попаданий р(А₃) = р₄(2) = 0, 29.

Очевидно, что р(А₂) = р₄(0) + р₄(1) = 0, 60 - вероятность того, что попа­даний меньше, чем промахов. Контроль по формуле (1.18):

р(А₁) + р(А₂) + р( A₃) = 0, 11 + 0, 60 +0, 29= 1, 00

1.117. Вероятность поражения цели равна 0, 35. Для поражения цели не­обходимо одно попадание. Определить вероятность поражения цели при 10 вы­стрелах.

Ответ: 0, 9865.

1.118. Вероятность поражения цели равна 0, 8. Определить, какова вероят­ность при 10 выстрелах поразить цель 5 раз; не менее 5 раз.

Ответ: 0, 0191; 0, 8339.

1.119. Произведено 10 измерений некоторой величины в одинаковых усло­виях. Найти вероятность того, что 5 ошибок будет отрицательных и 5 - поло­жительных; 3 ошибки - отрицательные и 7 - положительных.

1.120. По условиям задачи 1.119 найти вероятность того, что положитель­ных ошибок будет не менее 5; более 7.

Ответ: 0, 499; 0, 097.

1.121. Найти вероятность того, что при 10 измерениях число появления от­рицательных ошибок будет находиться в пределах от 0 до 5.

Ответ: 0, 499.

1.122. Некоторая величина измеряется 3 раза. Определить вероятность того, что положительная ошибка появится 3 раза; не менее, чем 2 раза.

Ответ: 0, 125; 0, 375.

1.123. Приняв вероятность рождения мальчика /? = 0, 515, найти вероят­ность того, что среди 10 новорожденных будет 4 девочки.

Ответ: 0, 217.

1.124. Имеется N лунок, по которым случайным образом разбрасывается М шариков. Найти вероятность того, что в данную лунку попадет ровно k шариков.

Ответ: C_M^k(1/ N) ^k*(( N-1)/ N) ^{M- k}.

1.125. Суд состоит из трех судей. Вероятность вынести справедливое реше­ние каждым судьей одинакова и равна 0, 7. Найти вероятность того, что: 1) суд вынесет справедливое решение, 2) несправедливое решение. Сделать контроль решения.

1.126. Два баскетболиста бросают мяч в корзину с вероятностью попада­ния: первый - 0, 7, второй - 0, 6. Найти вероятности того, что: 1) первый из них попадет больше раз, чем второй, 2) второй - больше, чем первый, 3) оба попадут одинаковое число раз.

Указание. Для решения задачи составить следующие таблички:

 

I           II                                        I         II                                      I         II

1            0                                         0         1                                       0         0

2            0                                         0          2                                       1         1

2            1                                         1         2                                       2         2

 

в которых указаны варианты числа попаданий каждым баскетболистом, которые соответствуют трем поставленным вопросам. Далее следует применить формулу Бернулли для определения вероятности попадания р₂ ^I(к) и р₂¹¹(к) и теоремы сложения и умножения. Результаты решения задачи должны удовлетворять ус­ловию p₁ + p₂+ p₃ = 1.

1.127. Прибор состоит из пяти узлов. Вероятность выхода за время t из строя каждого узла одинакова и равна р = 0, 10 + 0, 002 i, где i - номер фами­лии студента по списку в журнале. Найти вероятность выхода из строя: 1) к = 0, 1, 2, 3, 4, 5 узлов, 2) хотя бы одного узла, не менее 4 узлов, 3) не более 4 узлов. Вычисление следует сопровождать контролями.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ФОРМЫ ЗАДАНИЯ ЗАКОНА

Глава 2.

И ТЕОРИЯ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ

 

§ 16. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

 

Законы распределения случайных величин и их числовых харак­теристик устанавливаются на основе опыта, эксперимента. Разработ­кой методов регистрации, описания и анализа статистических экспе­риментальных данных занимается специальная наука — математиче­ская статистика, которая решает следующие типичные для нее задачи.

1. На практике всегда приходится иметь дело с ограниченным чис­лом наблюдений. Возникает вопрос о том, какие черты наблюдаемого явления относятся к устойчивым, присущим ему, а какие являются случайными и проявляются в данной серии наблюдений только из-за ограниченного объема экспериментальных данных. В связи с этим возникает задача определения закона распределения случайной ве­личины, по возможности свободного от всего несущественного, свя­занного с недостаточным объемом опытного материала.

Могут возникнуть, например, вопросы: согласуются ли резуль­таты эксперимента с гипотезой о том, что данная случайная величина подчинена закону распределения φ (х), указывают ли найденные ха­рактеристики зависимости между двумя случайными величинами на наличие действительной зависимости. Указанные задачи носят назва­ние «задачи проверки правдоподобия гипотез».

3. Часто на практике не возникает вопрос определения закона рас­пределения, а требуется по экспериментальным данным найти «наи­лучшие» оценки для неизвестных параметров. С этой задачей связана задача оценки точности этих «наилучших» значений.

Результаты наблюдений х₁, x ₂, х₃,..., х_п случайной величины X называются выборкой из генеральной совокупности (из всевоз­можных значений случайной величины X).

Выборка называется повторной, если ее элементы независимы (на­пример, номер вынутого из урны шара, если вынутый шар возвра­щается обратно), и бесповторной, если ее элементы зависимы (на­пример, если шар обратно в урну не возвращается).

Представительной (репрезентативной) называют выборку, если ее элементы выбраны случайно, наугад. С целью изучения того или иного явления выборка обязательно должна быть представительной (например, если анализируется качество готовой продукции завода, то изделия должны быть отобраны случайным образом, а не предста­влены лучшие образцы).

При большом п выборка оформляется в виде статистического ряда (вспомните ряд распределения). При этом весь диапазон наблюденных значений х делится на интервалы («разряды») и подсчитывается коли­чество значений, приходящееся на каждый разряд. Для каждого раз­ряда вычисляется частость . Статистический ряд имеет сле­дующий вид:

 

Ряды li	x1, x 2	x2, x3	…	xi, xi+1	…	xk, xk+1
mi	m1	m2	…	mi	…	sk
Qi	Q1	Q2	…	Qi	…	Qk

 

 

Число разрядов k выбирается порядка 10 - 20, а их длины, как правило, одинаковыми и такими, чтобы m_i было не менее 5.

Для определения числа равных интервалов k, на которые следует разбить весь диапазон значений x_i, можно воспользоваться формулой k = log ₂ n + 1, при этом следует учитывать, что число интервалов должно быть не меньше 8 - 10 и не больше 40, а п ≥ 50.

Статистический ряд часто оформляется в виде так называемой гистограммы (по оси абсцисс откладываются разряды и на каждом из разрядов как на основании строится прямоугольник, площадь которого равна Q_i, высота прямоугольника ). При равных длинах разрядов h_i пропорциональна Q_i. Следует заметить, что

 

              Рисунок 28              Рисунок 29

Пример. Произведено 500 измерений некоторой величины. Результаты измерений (в сантиметрах) сведены в статистический ряд

 

li	-4, -3;	-3, -2;	-2, -1;	-1, 0;	0, 1;	1, 2;	2, 3;	3, 4;
mi	6	25	74	133	120	88	46	10
Qi	0, 012	0, 050	0, 144	0, 266	0, 240	0, 176	0, 092	0, 020

Гистограмма имеет вид, представленный на рис. 28.

При небольшом п (меньше 30) х _i по интервалам не распределяют, а состав­ляют статистическую таблицу распределения

xi	x1	x2	…	xn
mi	m1	m2	…	mn

 

 

а вместо гистограммы строят статистический многоугольник (полигон) частот. 2.1. Построить ряд и начертить полигон для следующего распределения на­пряжения электрического тока в сети

 

39   41    40   42  41    40   42  44  40  43  42  41        43

39   42    41    42  39    41   37  43  41  38  43  42       41

40    41    38   44  40    39   41   40  42  40  41  42       40

43  38  39   41 41   42

 

Решение. Для построения статистического ряда различные значения признака располагаем в порядке их возрастания и под каждым из этих значений записываем его частоту. Статистический ряд имеет следующий вид:

 

x_i  37         39         39        40       41        42        43        44

m_i   1           3          5          8        11          9          5          2

 

Полигон частот представлен на рис. 29.

В § 10 мы познакомились с основными числовыми характеристи­ками случайных величин: математическим ожиданием, дисперсией, начальными и центральными моментами. Аналогичные числовые ха­рактеристики существуют и для статистических распределений. Для математического ожидания, как мы уже знаем, статистическим ана­логом является среднее арифметическое

 

                                  (2.1)

 

для дисперсии — величина

                          (2.2)

 

 

Часть I. ТЕОРИЯ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: