ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ, ДИСПЕРСИЯ И ИХ СВОЙСТВА. МОМЕНТЫ

 

Во многих вопросах практики нет необходимости характеризовать случайную величину плотностью; часто достаточно знать только от­дельные числовые параметры, характеризующие закон распределения, например какое-то среднее значение (центр распределения), около которого группируются возможные значения случайной величины, какое-то число, характеризующее степень разбросанности этих зна­чений относительно среднего и т. д. Так, например, при стрельбе по мишени для того, чтобы оценить качество стрельбы, можно обойтись и без знания закона распределения. Вывод о том, какой стрелок лучше, можно сделать по виду мишени. Например, если имеем две мишени (рис. 12, а и б), то, сравнивая их, приходим к выводу, что первый стрелок лучше второго, так как у него центр попадания сов­падает с центром мишени, а у второго стрелка центр попадания (точка А) смещен относительно центра мишени.

 

 

 

Рисунок 12

 

Следующие две мишени (рис. 12, в и г) наглядно показывают, что первый стрелок лучше второ­го, так как при одном и том же центре попадания он чаще попада­ет ближе к центру, чем второй (имеет большую кучность, раз­брос). Характеристикой центра распределения является так на­зываемое математическое ожида­ние случайной величины, опреде­ляемое в виде

 

                                      (1.31)

 

для прерывных величин и

 

                                (1.32)

 

для непрерывных.

Доказывается, что при неограниченном числе испытаний среднее арифметическое

 

,

 

где  — частота, стремится по вероятности к , т. е. вер .

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1) М [с] = с, где с - постоянная (неслучайная) величина;                 (1.33)

2) М [сХ] = сМ [X];                                                                     (1.34)

3) М [Σ c_iX_i] = Σ c_iM [X_i]                                                             (1.35)

4) М [Х₁ • Х₂ •... • Х_п] = П М [X_i], если X_i независимы.                        (1.36)

Характеристикой рассеяния случайной величины относительно центра распределения является так называемая дисперсия, определяе­мая формулой

.

 Вычисляется дисперсия по формулам

 

                              (1.37)

 

для прерывных и

 

                             (1.38)

 

для непрерывных случайных величин. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Для наглядной характеристики раз­броса удобно пользоваться так называемым средним квадратическим отклонением (с. к. о.) , которое имеет размерность, совпадаю­щую с размерностью случайной величины. Отметим, что по смыслу с. к. о. — величина всегда положительная.

Дисперсия обладает следующими основными свойствами:

1) D(c) = 0;                                                                                (1.39)

2) D(cX) = c²Dx;                                                                    (1.40)

3)                                                               (1.41)

где с = const. Последнее свойство справедливо лишь для независимых величин.

На языке теории ошибок измерений дисперсия (с. к. о.) является мерой точности измерений.

Более общими числовыми характеристиками закона распределения являются так называемые моменты, которые делят на начальные и центральные.

Начальным моментом s - го порядка случайной величины называет­ся математическое ожидание s - й степени этой случайной величины

 

.

 

При s = 1 имеем а₁ = М_х

Для прерывных величин

 

                                       (1.42)

для непрерывных

 

.                                         (1.43)

 

Центральным моментом порядка s случайной величины X называ­ют математическое ожидание s - й степени отклонения X от ее математического ожидания:

 

.

 

Случайная величина  называется центрированной случайной величиной. Для прерывной случайной величины

 

,

 

для непрерывной

 

.                          (1.44)

 

Центральные моменты всегда можно выразить через начальные. Так,

 

                                                                                              (1.45)

                                                              (1.46)

                                                     (1.47)

 

Формулу (1.45) часто применяют для вычисления дисперсии. Име­ют употребление еще так называемые центральные абсолютные мо­менты , причем среди них наиболее важное значение имеет среднее отклонение

 

,                                  (1.48)

 

вычисляемое по формулам

 

                                                   (1.49)

 

для величин прерывных и

 

                                           (1.50)

 

для непрерывных.

Величина

 

                                                   (1.51)

 

носит название асимметрии. Для симметричного распределения s_k = 0. На рис. 13 показаны два асимметричных распределения. Кривая 1 имеет положительную асимметрию (s_k > 0), кривая 2 — отрица­тельную (s_k < 0). Величина

 

                                                  (1.52)

 

носит название эксцесса и является мерой крутости (островершин­ности или плосковершинности распределения). Для нормального рас­пределения Е = 0. На рис. 14 представлены три кривые распределе­ния с положительным, равным 0 и отрицательным эксцессами.

1.162. Ряд распределения случайной величины X имеет вид

 

x_i     0     1

(1.53)

p_i q p

 

где q = 1 — р. Найти математическое ожидание и дисперсию X.

       Рисунок 13                                            Рисунок 14

 

Решение. На основании формулы (1.31) имеем математическое ожидание, равное

                                                   (1.54)

а согласно формуле (1.37) дисперсия равна

 

(1.55)

 

То же значение получим на основании выражения (1.45). Действительно,

 

 

1.163. Случайная величина

 

,                                                                                  (1.56)

 

где x_j — случайная величина, имеющая ряд распределения (1.53). Найти ее ма­тематическое ожидание и дисперсию, если все x_j независимы.

Решение. Имея в виду свойство (1.35) и результат решения предыдущей задачи (1.54), получим

 

                                 (1.57)

 

Учитывая выражения (1.41) и (1.55), найдем

 

                                (1.58)

 

 

Следствие. Ранее через k мы обозначали случайную вели­чину - число появлений интересующего нас события при п испытаниях. Будем случайную величину x_j, имеющую ряд распределения (1.53), трактовать следующим образом: она принимает значение (х _j)₁ = 0 с вероятностью q, если это событие не появляется в j - ом опыте и (х _j)₂ =  (1, 2, ..., п), если появляется с вероятностью р. Тогда случайная величина k и будет числом появления события при п испы­таниях (сумма числа единиц, совпадающая с числом появления собы­тия).

Следовательно, формулы (1.57) и (1.58) позволяют определить ма­тематическое ожидание и дисперсию числа появления события при п испытаниях.

1.164. Найти математическое ожидание и дисперсию числа попаданий в мишень при четырех выстрелах в условиях задачи 1.116 двумя способами: непо­средственно по формулам (1.31) и (1.42) и по формулам (1.57) и (1.58).

Ответ: М_к = 1, 32; D_k = 0, 884.

1.165. Найти математическое ожидание и дисперсию числа выстрелов до первого попадания, если вероятность попадания при одном выстреле рав­на р.

Ч Pi

i i—l Ц P

Решение. Ряд распределений имеет вид (см. задачу 1.151)

xi	1	2	3	…	i	…
pi	p	Qp	q2p	…	qi-1p	…

 

 

На основании формулы (1.31) имеем

 

              (1.59)

 

Ho

 

 

Дифференцируя выражение (1.59) no q, получим

 

 

Применяя формулу (1.45), найдем а₂. Имеем

 

 

Для вычисления ряда, стоящего в скобках, умножим на q ряд

 

 

Получим

 

 

Дифференцируя этот ряд по q, найдем

 

.

 

Поэтому a₂ = (1 + q)/(1- q)³  и

 

 

1.166. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величина X, подчиненной равномерному закону распределения (см. задачу 1.148).

Решение. Согласно выражению (1.32).

 

 

Выполнив интегрирование, найдем

 

 

В частности, для ошибок округления, подчиняющихся равномерному закону распределения, β = - α = 0, 5 ед. последнего знака получим  D = 0, 5²/3, σ = 0, 5/√ 3 ед. последнего знака.

1.167. Найти дисперсию суммы К = х₁ + х₂ +... + х _n одинаково округ­ленных слагаемых.

Решение. На основании свойства 3 дисперсии имеем D_k = Σ Dx_i = nDx_i,  но Dx_i  = 0, 5²/3. Поэтому

 

        

 

в ед. последнего знака.

1.168 Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины

 

                                                             (1.60)

 

 Ответ: M_t = 0, σ _x = 1.

1.169. Доказать, что в выражении плотности нормального закона распределения

 

 

параметры a и σ ² являются соответственно математическим ожиданием и дис­персией.

Решение. Имеем

 

 .

 

Применяя замену переменной

 

                                                                 (1.61)

 

получим

 

 

Здесь первый из двух интегралов равен нулю, второй есть известный интеграл Эйлера – Пуассона

 

 

Поэтому М_х = а.

Сделав подстановку выражения (1.61), получим

 

 

Интегрируя по частям

 

( где )

 

Найдём

 

 .

Первое слагаемое равно нулю (так как при  убывает быстрее, чем возрастает t). Второе слагаемое равно , откуда .

1.170. Средним отклонением называется величина  (1.48). Устано­вить зависимость между  и с. к. о.  в случаях нормального, равномерного законов распределения.

Ответ: ; .

1.171. Найти математическое ожидание и дисперсию относительной частоты Q = k/ n.

Ответ:

1.172. Дано распределение вероятностей прерывной случайной  величины

 

xi	3	6	9	12	15
pi	0, 30	0, 25	0, 20	0, 15	0, 10

 

Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и с. к. о.

Ответ. М_х = 7, 5, σ ² = 15, 75.

1.173. Найти математическое ожидание, дисперсию и с. к. о. суммы очков, выпадающих при бросании двух игральных костей.

Указание. Искомую случайную величину представить в виде суммы Z = X + Y.

Ответ: а = 7, σ ² = 5, 84.

1.174. Даны независимые случайные величины [12]:

 

1	X	x	1	2	3
		p	0, 1	0, 3	0, 6
2	X	x	0	1	2
		p	0, 25	0, 5	0, 25
3	Y	y	-2	-1	0
		p	0, 6	0, 3	0, 1
4	Y	y	0	1	2	3
		p	0, 4	0, 3	0, 2	0, 1

Составить распределение их суммы X + Y и их произведения XY, найти M_X, M_Y, M[ X+ Y], M[ XY], D_X, D_Y,  D[ X + Y] и проверить, что

 

M[X + Y]=M_X+M_Y; M[XY]=M_XM_Y; D[X + Y] = D_x + D_Y .

 

1.175. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0, 9, для вто­рого - 0, 8, для третьего - 0, 75 и для четвертого - 0, 7. Найти математическое ожидание и дисперсию числа станков, которые не потребуют внимания рабочего течение часа.

Ответ: 3, 15; 0, 65.

1.176. Человек стоит в начале координат числовой оси. Он бросает монету и после каждого бросания делает один шаг вправо при выпадении цифры и один шаг влево при выпадении герба. Найти закон распределения абсциссы X, опре­деляющей положение человека после п бросаний монеты. Особо рассмотреть случай, когда монета несимметрична и вероятность выпадения герба равна не­которому р. Найти М _X  и D_X.

Ответ: n (1 - 2р), 4 nр(1 — р).

 

 

	Рисунок 15		Рисунок 17

 

1.177. Случайная величина X распределена по закону прямоугольного треугольника в интервале (0, a)  (рис. 15).

1) Написать выражение плотности распределения, 2) найти характеристики: M_X, D_X, σ _X, μ ₃( X).

О т в е т:

1.178.   Функция распределения случайной величины X задана графиком (рис.16). Найти математическое ожидание и дисперсию величины X

О т в е т: М_х = ( a + b)/2; D_x = (а — b )²/12.

1.179.   Случайная величина X подчинена закону Симпсона (закону равнобедренного треугольника) на участке от —а до а (рис. 17, а), а) Написать выражение плотности распределения; б) построить график функции распределения; в) найти числовые характеристики случайной величины X: M_X, D_X, σ _X, μ ₃( X)

Ответ:  

а)   

б) График функции распределения при  х Є (- а, а) составлен из двух участков парабол (рис. 17, 6);

в)  М_х = 0, D_X = a²/6, σ _X = a/√ 6, μ ₃(X) = 0.

1.180. Дисперсия случайной величины X равна 4. Найти дисперсию следу­ющих величин: x – 1, -2 x, 3 x + 6.

1.181. Случайная величина X может принимать два возможных значения: х₁ с вероятностью 0, 3 и х₂ с вероятностью 0, 7, причем х₂ > x₁. Найти x₁ и х₂, зная, что М_х = 2, 7, D_x = 0, 21.

О т в е т:  х₁ = 2, x₂ = 3.

1.182. Найти дисперсию случайной величины X — числа появлений собы­тия А в двух независимых испытаниях, если М_х = 0, 8.

Указание. Написать биноминальный закон распределения вероятнос­тей числа появлений события А в двух независимых испытаниях.

Ответ: 0, 48.

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: