НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ В ИНТЕРВАЛ ПРИ НОРМАЛЬНОМ ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. НТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА

Интегральная предельная теорема Ляпунова устанавливает условия, при которых возникает наиболее важный и наиболее часто встречающийся в природе нормальный закон распределения, име­ющий плотность

 

                                                      (1.62)

 

где, как было установлено нами в задаче 1.169, а = М_х, σ = √ D_x.

Теорему Ляпунова упрощенно можно сформулировать так: если некоторая случайная величина есть сумма достаточно большого числа других случайных независимых величин, отклоняющихся от своих математических ожиданий на весьма малые величины по сравнению с отклонениями суммарной величины, то закон распределения этой суммарной случайной величины будет близок к нормальному.

На основании этой теоремы можно полагать, что ошибки измере­ний подчиняются нормальному закону, так как они складываются из суммы большого числа элементарных ошибок. По этой же причине координаты попадания в цель при стрельбе подчиняются этому закону распределения. Таких примеров можно привести много.

Для вычисления вероятностей попадания в интервал при нормаль­ном законе распределения можно воспользоваться формулой

 

P{a< X< b} = F (b) - F(a),

где интегральная функция

 

                           (1.63)

 

 Если ввести новую переменную

 

Z = (x - M_x)/σ ,                                  (1.64)

 

обладающую свойствами (см. 1.168) M_z = 0, σ _z = 0, то можно на­писать для нее

 

 

Рисунок 18.

 

Тогда, очевидно,

 

P { a < x < b } = P { t ₁ < z < t ₂ } = F ( t ₂ ) - F ( t ₁ ),

где t₂ = (b—M_x)/a; t₁ = (a - M_x)/σ.

Для функции F ( t ) имеются таблицы, однако более удобно пользо­ваться другой, связанной с ней аналитически функцией

 

                              (1.65)

 

обладающей свойством Ф(- t ) = - Ф( t ) (нечетная функция).

Функция Ф( t ) численно равна заштрихованной площади в осях х и φ ( x ) (рис. 18, а) и в осях t и φ ( t ) (рис. 18, б).

Как видно из рис. 18, б, имеет место связь

 

                                      (1.66)

 

( F ( t ) есть площадь под кривой φ ( t ), ограниченная справа абсциссой t ).
Подставив формулу (1.66) в выражение

 

Р{а < X < b } = Р{ t ₁ < X < t ₂ } = F ( t ₁ ) – F ( t ₂ ).

Получим

Р{а < Х  < b ) = 1/2{Ф( t ₂ ) -Ф ( t ₁ )}.               (1.67)

 

Если пределы t ₂ и t ₁ изменения случайной переменной z таковы, что t ₂ = |t ₁| = t, то можно написать

,    (1.68)

откуда следует, что функция Ф( t ) представляет собой вероятность попадания в интервал, симметричный относительно математического ожидания.

Для функций Ф( t ) составлены таблицы (см. прил. IV). В случае их отсутствия применяют формулу

 

                      (1.69)

 

Функцию Ф( t ) называют интегралом вероятностей, или функцией Лапласа. Последнее ее название связано с так называемой интеграль­ной теоремой Лапласа, который доказал, что при большом числе ис­пытаний п число появлений интересующего нас события k заключено в пределах

 

Р{а < k < b } = {Ф (t ₂ )-Ф (t ₁ )}.                        (1.70)

 

Ярким примером случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения, является случайная ошибка измерений, опре­деляемая по формуле

В теории ошибок измерений существует важнейшее понятие - истинное значение измеряемой величины X, а величина

 

Δ _i = x_i - X,                                               (1.71)

называется истинной ошибкой измерения. Выражение (1.71) можно переписать в виде

 

Δ _i = x_i - M _X + M _X - X = Q_i + c.

 

Величину с называют систематической ошибкой измерения, кото­рая может быть как постоянной, так и переменной величиной (подроб­нее см. [2]).

В классической теории ошибок принимают постулат 1

 

М_Х = Х,

 

т. е. полагают, что систематические ошибки в измерениях отсутствуют, (это свойство называют несмещенностью) или их исключают пра­вильной постановкой методики измерений. Тогда, очевидно, будем иметь свойства   Δ _i = Q_i  и

 

.

 

Постулат 2 предполагает, что ошибки Δ _i подчинены нормальному закону распределения с плотностью

 

                                    (1.72)

 

или, если перейти к нормированной величине ,

                                                                          (1.73)

 

Причем

 

,                                             (1.74)

 

Выражение (1.72) часто записывается в виде

 

                                       (1.75)

 

где  - так называемая мера точности.

Свойства случайных ошибок, вытекающие из указанных двух по­стулатов и проявляющиеся при массовых испытаниях, могут быть оха­рактеризованы следующим образом.

Свойство 1. Случайные ошибки по абсолютной величине с заданной вероятностью Р не превосходят определенного предела, равного tσ , где t - коэффициент такой, что Р = Ф( t ). Так, например, из 100 ошибок с вероятностью Р = 0, 67 не превосходят предел, равный σ , 67 ошибок, 95 ошибок с вероятностью 0, 95 не превосходят 2 σ и т. д.

Свойство 2. Положительные и отрицательные случайные ошибки, равные по абсолютной величине, равновозможны, т. е.

 

Р{Δ > 0} = Р{Δ < 0} = 1/2.

Свойство 3. Среднее арифметическое из значений случайной ошиб­ки при неограниченном возрастании числа наблюдений имеет свойство компенсации,  т. е.

 

вер  .                                      (1.76)

 

Систематические ошибки этим свойством обладают редко.

Свойство 4. Малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются чаще, чем большие.

Плотность нормального распределения ошибок Δ _i (1.72) или (1.73) называют кривой ошибок, или кривой Гаусса.

1.183. Вычислить ординаты кривой нормального распределения для значе­ний Δ = 0, σ, 2σ, Зσ, если σ = 0, 47". По полученным данным построить кривую распределения. Вычисления проконтролировать по таблице (прил. II).

Решение. Прежде всего, имеем

 

Вычисления располагаем в табл. 1.

 

Таблица 1

 

Δ i	t	-h2Δ 2 =  -t2/2		y		y = y' h
0 σ	0	0	1	0, 851	0, 564	0, 850
1 σ	1	- 0, 50	0, 607	0, 516	0, 342	0, 516
2 σ	2	-2, 0	0, 136	0, 115	0, 076	0, 115
3 σ	3	- 4, 5	0, 010	0, 008	0, 0063	0, 008

 

 

Примечания:

 

 

(Построение кривой ошибок дано на рис. 19).

 

 

Рисунок 19.

 

При построении кривой ошибок масштабы выбирают так, чтобы обеспечить на­глядность,

Кривая Гаусса обладает следующими свойствами:

1) функция φ (Δ ) четная, т. е. φ (Δ ) = φ (- Δ ), и кривая симметрична относи­тельно оси ординат;

2) кривая Гаусса лежит выше оси абсцисс;

3) кривая Гаусса имеет максимум в точке Δ = 0;

4) поскольку кривая имеет максимум и в то же время асимптотически при­ближается к оси Δ, то она имеет две точки перегиба - одну справа, другую слева от оси φ (Δ ), причем абсцисса точек перегиба Δ = σ;

5) касательные к кривой в точках перегиба пересекают ось абсцисс в точках Δ = ±2σ (см. рис. 19).

1.184. Выполнено 64 измерения. Найти вероятность того, что:

1) число положительных ошибок будет заключено в пределах 24 ≤ k ≤ 40;.

2) в пределах 16 ≤ k ≤ 40.

Решение. 1) Так как число испытаний достаточно велико, то для реше­ния задачи применим формулу (1.70). Находим

 

 

Поэтому, так как t₂ = | t |, то по формуле (1.68)

 

Р {24 ≤ k ≤ 40} = Ф (2) = 0, 954.

 

2) Вычисляем t₂ = 2; t₁ = - 4.

На основании формулы (1.70) имеем

 

Р{16 ≤ k ≤ 40} = 1/2 {Ф( t₂) - Ф( t₁ )} = 1/2 {Ф(2) - Ф(- 4)}.

 

По свойству (1.65) с помощью таблицы прил. IV находим

Р {16 ≤ k ≤ 40} = 1/2 {0, 954 + 1, 000} =0, 977,

 

где

 

 

Учитывая теорему Ляпунова и вспомнив выражение (1.56), показывающее, что число k можно представить в виде суммы достаточно большого числа слагае­мых, можно прийти к выводу, что случайная величина k приближенно подчинена нормальному закону распределения. Поэтому понятным становится и выражение (1.21) как частный случай (1.62).

Выражение (1.69) можно записать также в виде

 

 

Но величина Q = n/ k есть частота появления события, а величина pq/ n = σ _Q есть с. к. о. частоты (см. 1.171). Поэтому вероятность отклонения частоты от вероятности по абсолютной величине на заданное число ε = tσ _Q определим по формуле

 

                                                           (1.77)

 

1.185. Монету бросают 100 раз. Найти вероятность того, что отклонение частоты появления герба от вероятности по абсолютной величине не превзойдет величину ε = 0, 1.

Решение. На основании формулы (1.77) имеем

 

 

Так как ε = tσ _Q  = 0, 1, σ _Q = √ ( pq/ n) = √ (1/400) = 1/20,  то t = 2, 0.

1.186. Бюффон бросил монету 4040 раз, причем герб выпал 2048 раз. Можно ли считать полученное отклонение числа появлений герба от 2020 случайным или же оно обусловлено систематической причиной?

Решение. Расхождение эмпирической частоты Бюффона от теоретичес­кой можно считать случайным, если вероятность того, что при 4040 бросаниях монеты отклонение числа выпадений герба от 2020 равно или больше по абсолют­ной величине, чем у Бюффона, достаточно большая. Пусть т — число выпаде­ний герба при 4040 бросаниях монеты. Находим вероятность

 

Р( | т — 2020 | < 28) = 0, 622.

 

Поэтому вероятность противоположного события, т. е. того, что | k — 2020 | ≥ 28, равна 1 — 0, 6217 = 0, 3783. Так как эта вероятность достаточно большая, то результат Бюффона можно считать обусловленным случайными причинами.

1.187. Проведено 700 независимых испытаний, в каждом из которых веро­ятность наступлений события А равна 0, 7. Найти вероятность того, что частота появлений события А окажется заключенной между 460 и 600.

Ответ: 0, 993.

1.188. Найти вероятность того, что число мальчиков среди 1000 новорожден­ных больше 480, но меньше 540 (вероятность рождения мальчика принять рав­ной 0, 515).

Ответ: 0, 929.

1.189. Вероятность выпуска радиолампы с дефектом равна 0, 03. Найти мак­симально возможное отклонение ξ частости от 0, 03 среди 2000 радиоламп, чтобы вероятность получить отклонение, по абсолютной величине меньшее ξ, была рав­на 0, 999.

Ответ: 0, 013.

1.190. Произведено 1000 независимых испытаний с вероятностью наступле­ния интересующего нас события А в отдельном испытании 0, 01. Найти границы, в которых с вероятностью 0, 99 заключена частость наступлений события А.

Ответ: 0, 0019.

1.191. В каждой из 1000 колод по 36 карт. Из каждой колоды вынимают на­ удачу две карты. Чему равна вероятность, того, что число пар хотя бы с одним тузом заключено между 100 и 200?

Ответ: 0, 159.

1.192. Найти такое число k, чтобы с вероятностью, приблизительно равной 0, 7, число выпадений герба при 4000 бросаний монеты было заключено между 3000 и k.

Ответ: 925.

1.193. Найти вероятность того, что в партии из 800 изделий отклонение числа изделий первого сорта от наивероятнейшего числа не превысит по абсолют­ной величине 50, если вероятность появления изделия первого сорта равна 0, 7. Ответ: 0, 9999.

 

Таблица 2

 

Число ошибок, n	Заданное предельное значение  |Δ |	t	Ф( t)	P(Δ > tσ ) = 1 – Ф( t)	Число ошибок		Контроль
					Превышающих заданное Δ k = n (1 – Ф(t))	Укладывающихся в предел от 0 до ± tσ
100	1, 0	1	0, 6827	0, 3173	32	68	100
100	2, 0	2	0, 9545	0, 455	5	95	100
100	2, 5	2, 5	0, 9876	0, 0124	1	99	100
1000	3, 0	3, 0	0, 9973	0, 0027	3	997	1000

 

1.194. Вычислить интеграл вероятностей для t == 0, 30; 0, 40; 0, 50, 0, 60 по формуле (1.69) и сравнить его с табличным.

1.195. Вычислить наиболее возможное число ошибок Δ из общего их числа п = 100, превышающих по абсолютной величине:

а) одинарное с. к. о. измере­ний, т. е. σ;

б) удвоенное с. к. о., т. е. 2σ;

в) 2, 5σ;

г) утроенное с. к. о., т. е. 3σ, при п = 1000.

Решение. По условию задачи имеем при п = 100 а) | Δ | > σ; б) | Δ | > 2σ; в) | Δ | > 2, 5σ при п = 1000; г) | Δ | > 3σ. Необходимо определить:

а) Р{| Δ | > σ }; б) Р{| Δ | > 2σ }; в) Р{| Δ | > 2, 5σ }; г) Р{| Δ | > 3σ } Определив Ф( t) по таблице   (прил. IV), сведем результаты вычислений в табл. 2.

1.196. Вероятность появления ошибки в пределах от - 10 до 10" равна 0, 95, т. е. Р{| Δ | < 10" } = 0, 95. Вычислить с. к. о. измерений, если М | Δ | = 0.

Решение. Так как Ф( t) = 0, 95, то по таблице функции Ф( t) обратным интерполированием находим t = 1, 96. Но t = (Δ – M | Δ |)/σ = 10" /σ = 1, 96, откуда σ = 5, 1".

1.197. Найти вероятность того, что ошибка измерений Д по абсолютной ве­личине не превзойдет предел 4" < | Δ | < 6", если σ = 10".

Решение. На основании теоремы сложения имеем

Р {4 < | Δ | < 6} = Р {- 6 < Δ < - 4} + Р {4 < Δ < 6}.

 

Можно написать

 

Р {4 < | Δ | < 6} = 2Р {4 < Δ < 6} =  Ф (6/10) – Ф (4/10) = 0, 452 — 0, 311 =0, 141.

 

1.198. Угол измеряется с систематической ошибкой в сторону завышения, равной 1, 2". Найти вероятность того, что отклонение измеренного значения уг­ла х от истинного X (т. е. ошибка измерения       Δ _i = x_i - X) не превзойдет по абсолютной величине 1, 6", если с. к. о. измерения σ = 0, 8".

Решение. Так как ошибки измерений подчиняются нормальному зако­ну, то искомая вероятность

 

Р {- 1, 6" < Δ < 1, 6" } = 1/2 {Ф ( t₁) - Ф ( t₂)},

 

где t₂ = (1, 6" - 1, 2" )/0, 8" = 0, 5", t₁ = (-1, 6" - 1, 2" )/0, 8" = - 3, 5 (систе­матическая ошибка рассматривается как М [ Δ ] ). Поэтому

 

Р {- 1, 6 < Δ < 1, 6} = - {Ф (0, 5) – Ф (-3, 5)} = 1/2 {0, 383 + 1, 000} = 0, 691.

 

1.199.   Найти ту же вероятность, но при условии отсутствия систематичес­кой ошибки.

Ответ: 0, 95.

Вероятным (средним) отклонением г называется величина, больше и меньше которой (по абсолютной величине) ошибки в ряде наблюдений равновозможны, т. е. Р{|Δ | < r} = 1/2.

Установить связь r  и σ  при нормальном законе распределения.

Ответ: r = 0, 67 σ .

1.200. Найти вероятность того, что ошибка Д не превзойдет предел, равный: а) 2 ; б) 2r.

Ре ш е н и е.

 

a)

 

поэтому

 

б)

 

поэтому

1.201. Определить вероятность того, что ошибка измерения Δ не превзойдет по абсолютной величине следующих пределов:

1) 1, 25σ; 2) 1, 50 σ; 3) 1, 75 σ; 4) 2, 00 σ; 5) 2, 25 σ; 6) 2, 50 σ; 7) 2, 75 σ; 8) 3, 00 σ; 9) 3, 25 σ; 10) 3, 50 σ.

Вычислить, сколько ошибок не выйдет за эти пределы, если всех ошибок 1000.

1.202. При некоторых условиях инструмент обеспечивает измерения с точностью σ = 10". Найти вероятность того, что при измерениях этим инстру­ментом в тех же условиях ошибка по абсолютной величине не превзойдет 6, 0".

1.203. Известно вероятное отклонение на 1 км нивелирного хода r  = 2, 0 мм. Определить вероятность того, что среднее отклонение на 1 км хода при нивели­ровании в таких же условиях окажется не более 4, 0 мм.

1.204. В каких пределах (- х; + х) можно с вероятностью 0, 495 ожидать появление ошибки Δ, т. е.   P (| Δ | ≤ х) = 0, 495, если σ = 15?

1.205. С. к. о. σ = 15 мм. Установить вероятность того, что ошибка измере­ния по абсолютному значению превысит 30 мм.

1.206. Вероятность того, что ошибка по абсолютной величине превзойдет 4, 0", равна 0, 823. Вычислить вероятное и среднее отклонения.

1.207. В каких пределах (- х; + x) можно с вероятностью 0, 75 ожидать появления ошибки, если вероятное отклонение равно 12 мм?

1.208. Вероятность появления ошибки в пределах (- 5, 0; + 5, 0" ) равна 0, 75, т. е.  Р (| Δ | ≤ 5, 0" ) = 0, 75. Вычислить среднее и вероятное отклонения.

1.209. Найти вероятность появления ошибки в пределах. (- 6, 0; + 6, 0 мм), если вероятное отклонение равно 2, 0 мм.

1.210. В каких пределах (- х; + х) можно с вероятностью 0, 683 ожидать появления ошибки, если σ = 5, 0".

1.211. Вероятность появления ошибки в пределах (- 10; + 10 мм) равна 0, 89. Определить среднее и вероятное отклонения.

1.212. С. к. о. σ = 13". Определить вероятность того, что ошибка измере­ния по абсолютной величине будет заключаться в пределах от 10 до 20".

1.213. Вероятное отклонение равно r = 2, 4 мм. Найти вероятность того, что ошибка измерения по абсолютной величине будет находиться в пределах от 1, 0 до 5, 0 мм.

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: