ВЕРОЯТНЕЙШЕЕ ЧИСЛО ПОЯВЛЕНИЙ СОБЫТИЯ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ

 

Вероятнейшим числом появлений события при многократных ис­пытаниях ( k ₀ ) называется число, соответствующее наибольшей при данных условиях вероятности. В обычном смысле — это наиболее возможное число.

В математическом смысле число k ₀ отвечает условиям:

 

p_n ( k ₀ ) ≥ p_n ( k ₀ +1);   p_n ( k ₀ ) ≥ p_n ( k ₀ — 1)                    (1.19)

 

В теории вероятностей доказывается, что условия будут соблюде­ны, если

 

пр — q < k ₀ < пр + р;                                (1.20)

 

отметим, что так как разность пр + р - (пр - q ) = р + q = 1, то всегда существует целое число k ₀, удовлетворяющее написанному выше двойному неравенству. При этом, если пр + р - число целое, то вероятнейших чисел два: пр - q  и  пр + р. В условии задачи 1.116 имеем:

 

4 * 0, 33 - 0, 67 ≤ k ₀ ≤ 4 * 0, 33 + 0, 33,

 

или 0, 65 ≤ k ₀ ≤ 1, 65, откуда k ₀ = 1.

Следует заметить, что левая и правая части неравенства (1.20) раз­личаются на единицу.

1.128. Из многолетних наблюдений установлено, что вероятность выпадения дождя 1 июля равна 0, 227.Найти вероятнейшее число дней k_a, когда в ближайшие 50 лет 1 июля выпадает дождь.

Решение. По условию задачи п = 50, р = 0, 227,

 

nр – q ≤  к₀ ≤ пр + р,

50*0.227 – 0.773 ≤  к₀ ≤ 50*0.227 + 0.227,

10.5 ≤  к₀ ≤ 11.5,

Следовательно, за ближайшие 50 лет 1 июля наиболее возможное число дождливых дней k₀ = 11.

1.129. Одна величина измеряется 20, а другая 25 раз. Определить вероятней­ шее число k₀ появлений положительной случайной ошибки в каждом случае.

Ответ: 10; 12 или 13.

1.130. Производится 7 испытаний. Вероятность положительного исхода в каждом опыте равна 2/3. Подсчитать вероятнейшее число а положительных исходов и вероятность р_а..

Ответ: α =5; р_α  = 0, 307.

1.131. Решить предыдущую задачу, если производится 8 испытаний.

Ответ: а - 5 или 6; р_а = 0, 273.

1.132. Сколько надо произвести независимых испытаний появления собы­тия А, чтобы вероятнейшее число осуществления этого события было 450? Вероятность р(А) при каждом испытании равна 2/3.

Ответ: 675.

1.133. Предполагается сделать 400 независимых испытаний осуществления события А. Как велика должна быть постоянная вероятность р(А) при каждом испытании, чтобы вероятнейшее число появления события А было равно 150?

Ответ: 0, 375.

1.134. Сколько раз надо подбросить игральную кость, чтобы вероятнейшее число выпадений двойки было равно 32?

Решение. В данном случае р = 1/6, т₀ = 32. Требуется найти число не­зависимых испытаний п. Величины р, q = 1 — р, т₀ и п связаны между собой неравенством  nр – q ≤ m₀ ≤ пр + р, откуда

 

n*1/6 – 5/6 32;                  n*1/6 + 5/6 ≥ 32

Из первого неравенства n ≤ 197, а из второго п ≥ 191. Таким образом, необходимо провести от 191 до 197 независимых испытаний.

1.135. Вероятность изготовления нестандартной детали р = 0, 05. Сколько деталей должно быть в партии, чтобы вероятнейшее число нестандартных дета­лей в ней было равно 63?

Ответ: 1259 ≤ п ≤ 1279.

1.136. Каждая из 6 палочек разламывается на две части - длинную и ко­роткую. Затем 12 полученных обломков п раз объединяются в 6 пар, каждая из которых образует новую палку. Чему равно п, если вероятнейшее число объеди­нений обломков в первоначальном порядке равно 6.

Ответ: 1/1111, 62 369 ≤ п ≤ 72 764.

§ 8. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА

 

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях трудно, так как формула (1.14) требует выполнения действий над громадными числами. Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления собы­тия ровно k раз в п испытаниях, если число испытаний достаточно ве­лико.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность р появления собы­тия А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P_n ( k ) того, что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше п) значению функ­ции

 

 

где .

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента х (прил. II). Для отрицательных значений аргумента поль­зуются теми же таблицам, так как функция φ (х) четна, т. е. φ (- х) = φ (х).

Итак, вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна

                                 (1.21)

                                 (1.22)

 

1.137. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0, 2.

Решение. По условию п = 400; k — 80; р = 0, 2; q — 0, 8.

Воспользуемся асимптотической формулой Лапласа

 

P₄₀₀(80) = (1/√ (400*0, 2*0, 8))*φ (х) = 1/8*φ (х).

 

Вычислим x =( k- np)/ √ ( npq) =(80 – 400*0, 2)/8 = 0.

По таблице (прил. II) находим φ (0) = 0, 3989. Искомая вероятность P₄₀₀(80) = 1/8 • 0, 3989 = 0, 04986.

По формуле Бернулли Р₄₀₀(80) = 0, 0498.

1.138. Вероятность изготовления детали высшего сорта на данном станке равна 0, 4. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 26 деталей половина окажется высшего сорта.

Ответ: 0, 093.

1.139. Выполнено 40 измерений. Найти вероятность того, что положитель­ная ошибка появится в 25 случаях.

Ответ: 0, 036.

1.140. Бюффон бросил монету 4040 раз. При этом герб выпал 2048 раз. С какой вероятностью можно было ожидать этот результат?

Ответ: 0, 0085.

1.141. Найти вероятность выпадения герба 4 раза при 10 бросаниях монеты.

Решение. Имеем

 

t = (4 - 5)/ √ 2, 5 = 0, 632,    y' = 0, 460,         Δ t = 1/√ 2, 5 = 0, 632.

На основании формулы (1.21)

 

P₁₀(4) = (1*0, 460*0, 632)/√ 2=0, 207.

Биноминальное распределение дает Р₁₀(4) = 0, 205.

1.142. Приняв вероятность рождения мальчика равной 0, 515, найти вероят­ность того, что среди 80 новорожденных 42 мальчика.

Ответ: 0, 009.

1.143. Стрелок сделал 30 выстрелов с вероятностью попадания при отдель­ном выстреле 0, 3. Найти вероятность того, что при этом будет 8 попаданий.

Ответ: 0, 147.

1.144. Английский ученый Пирсон, подбросив монету 12 000 раз, получил частость выпадения герба 0, 5016. Найти вероятность получения такой частости при повторном опыте.

Ответ: 0, 007.

1.145.   Сколько раз с вероятностью 0, 0484 можно ожидать появления собы­тия А в 100 независимых испытаниях, если вероятность его появления в отдель­ном испытании равна 0, 5?

О т в е т: 55.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ФОРМЫ ЗАДАНИЯ ЗАКОНА

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: