ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ В ИНТЕРВАЛ

Одним из важнейших основных понятий теории вероятностей яв­ляется понятие о случайной величине.

Случайной называется величина, которая в результате опыта мо­жет принять то или иное одно значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Примером случайных величин являются:

1) число попаданий при п выстрелах,

2) результат измерения какой-либо вели­чины,

3) координаты точек попадания при стрельбе и т. д.

Случайные величины могут быть прерывными (дискретными) и не­прерывными.

Прерывной случайной величиной называют такую случай­ную величину, возможные значения которой можно заранее указать (вышеприведенный пример 1).

Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, возможные значения которой непрерывно заполняют не­который промежуток и не могут быть перечислены заранее (примеры 2 и 3).

От событий, понятием которых мы оперировали в главе 1, всегда можно перейти к случайным величинам. Пусть производится опыт, в котором может появиться или не появиться событие А.

Вместо события А можно рассматривать случайную величину X, равную 1, если событие А происходит, и равную 0, если событие А не происходит.

В отличие от величины неслучайной случайную величину недоста­точно характеризовать числом, необходимо каждому из ее возможных числовых значений приписывать вероятность появления этих значе­ний.

Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможным значением случайной величины и соответствующими вероятностями, называют законом распределения случайной величины. Закон распре­деления - фундаментальное понятие теории вероятностей.

Для характеристики закона распределения прерывной случайной величины часто применяются ряд (таблица) и многоугольник распре­деления. Если X — случайная величина, которая может принять зна­чения Х₁ , Х₂, ..., Х_п, то ряд распределения имеет вид

 

Xi	X1	X2	…	Xn
pi	p 1	p2	…	pn

                                                                                                (1.23)

в которой перечислены возможные значения случайной величины X и соответствующие им вероятности. Так как в таблице перечислены все возможные значения Х_i, то . Например, для случайной величины k - числа появлений положительной ошибки при 8 измерениях ряд распределения имеет следующий вид:

 

Число появлений к	0	1	2	3	4	5	6	7	8	Контроль
X	1	8	28	56	70	56	28	8	1	256
p	256	256	256	256	256	256	256	256	256	256

 

Здесь вероятности р _i  вычислены по формуле (1.14)

P₈(k) = C₈^kp^hq^n-k (p = 1/2).

 

Чтобы придать ряду распределения более на­глядный вид, прибегают к его графическому изображению, отклады­вая по оси абсцисс значения X _i а по оси ординат - вероятности. Концы ординат соединяют ломаной линией. Полученная фигура называет­ся многоугольником распределения. Так, для приведенного выше ряда распределения многоугольник имеет вид, представленный на рис. 3.

 

                    Рисунок 3.                               Рисунок 4.

 

Функция распределения

 

Для задания закона распределения как прерывной, так и непре­рывной случайной величины служит так называемая функция рас­пределения. Функцией распределения называется вероятность того, что случайная величина принимает значение, меньшее некоторого за­данного значения х случайной величины X, т. е.

 

F ( x ) = P ( X < x ).                                           (1.24)

 

Функцию F ( x ) называют еще интегральной функцией распределе­ния. Приведем ее некоторые свойства:

1) F ( ) = 0;    

2) F ( ) = 1;    

3) F (х₂) ≥ F ( x ₁ ), если x ₂ ≥ x _1.

 Эти свойства легко иллюстрировать с помощью геометрической интерпретации как вероятность попадания на отрезок левее точки х, расположенной на числовой оси х (рис. 4).

1.146. Построить функцию распределения для случайной величины X = k числа попаданий в мишень при четырех выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле р = 0, 33.

Решение. Ряд распределения (см. задачу 1.116) имеет вид

k_i                        0          12                          3          4

p_i=р₄( k_i)       0, 20      0, 40      0, 29      0, 10      0, 01

Из определения функции F( X) (1.24) и ряда распределения следует:

1) При k ≤ 0   F ( k = 0) = р ( k < 0) = 0;

2) При k =1  F ( k = l) = p( k< 1)= p( k = 0) = 0, 20;

3) При k = 2 F (k = 2) = p(k< 2) =p(k=0)+p(k= l) = 0, 60.

Аналогично рассуждая, имеем:

4) При k = 3       F (6 = 3) = 0, 89;

5) При k = 4  F ( k =4) = 0, 99;

6) При k> 4  F ( k> 4) = 1, 00.

Общая формула .

           Рисунок 5.                               Рисунок 6.        

 

Откладывая по оси абсцисс значение k, а по оси ординат F ( k ) и выбрав определенный масштаб, получим график F ( k ) (рис. 5).

Закон распределения для непрерывной случайной величины удоб­но задавать в виде плотности распределения (кривой распределения), которая определяется как производная от функции распределения, т. е.

                    (1.25)

 

Плотность φ (x) называется еще дифференциальным законом рас­пределения (а функция F ( x ) — интегральным законом).

Плотность φ (x) обладает свойствами:

 

1)       2)                 (1.26)

 

т. е. площадь, заключенная «под кривой распределения», всегда рав­на 1. Если все возможные значения X заключены в пределах от α до β, то

 

                                        (1.27)

 

Величину φ ( x ) dx, выражающую с точностью до бесконечно малой вероятность попадания на участок dx, примыкающий к точке X, на­зывают элементом вероятности (рис. 6).

Очевидно, что F ( x ) и φ (х) связаны соотношением

 

.                                             (1.28)

 

Вероятность попадания на участок выражается через плотность так:

 

                              (1.29)

1.147. Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью

φ (х) = a cos ( x ) при ;

                

             Рисунок 7.                             Рисунок 8.

 

 

 

             Рисунок 9.                             Рисунок 10.

 

φ (х) =0 при .

 

а) Найти коэффициент а; б) построить график плотности φ (x); в) найти функцию распределения F( x) и построить ее график.

Решение: а) На основании свойства (1.26) можно записать

 

 

откуда, а = 1/2.

б) График плотности φ (x) изображен на рис. 7.

в) По формуле (1.28) получаем

 

 

 

График F( x) изображен на рис. 8.

1.148. Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью φ (x) = С при а < х < β (равномерный закон распределения).

а) Выразить C через а и β ; б) найти F(x).

Решение, а) Так как график функции φ (x) = С имеет вид, представлен­ный на рис. 9, то на основании свойства (1.27) площадь прямоугольника (или ) равна единице, т. е. (β - а)*С = 1, откуда

 

а)   и ;

b) ;

 

Часто оказывается необходимым знать вероятность того, что случайная ве­личина примет значение, заключенное в некоторых пределах, например от  до .

При этом условимся левый конец  включать в участок ( , ), а правый не включать. Можно показать, что тогда искомая вероятность

 

                    (1.30)

 

Это следует из геометрической интерпретации (рис. 10). Заметим, что , при этом для непрерывной величины             Р (х = а) = 0. Одна­ко такое значение случайной величины в отличие от прерывной величины нель­зя считать невозможным (оно происходит, но крайне редко).

1.149. В условиях задачи 1.116 найти вероятность того, что число попаданий в мишень будет находиться в пределах 1 ≤ k < 3 (т. е. будет равно 1 или 2).

Решение. На основании выражения (1.30) имеем

Р {1 ≤ k < 3} = F ( k = 3) — F ( k = 1) = 0, 89 — 0, 20 = 0, 69.

Действительно

Р {1 ≤ k < 3} = p₄ (l) + p₄ (2) = 0, 40+0, 29 = 0, 69.

1.150. Функция распределения случайной величины X имеет вид

Найти вероятность попадания величины X на участок  .

Решение. Так как случайная величина непрерывна, то Р(х = а.) = 0. Поэтому

 

1.151. Составить ряд распределений случайной величины X — числа опы­тов, которые необходимо сделать до первого появления интересующего нас собы­тия, если вероятность его появления в одном опыте равна р (указание: p_i = q^i-1 p).

1.152. Составить ряд распределения вероятностей и построить многоуголь­ник распределения числа появлений отрицательной случайной ошибки при трех измерениях.

1.153. Составить ряд распределения вероятностей и построить многоуголь­ник распределения вероятностей появления положительной случайной ошибки при восьми измерениях.

1.154. Случайная величина X распределена по закону Коши

 

f(x) = a/(1-x²);

 

 

 

                                                                                      Рисунок 11.

 

a) найти коэффициент а; б) найти функцию распределения F( x); в) найти вероят­ность попадания величины X на участок (—1; +1).

Ответ: а) ;   б) ;     в)

1.155. Случайная величина X подчинена показательному закону распреде­ления

Найти F(x).

Ответ: .

1.156. Кривая распределения случайной величины X представляет собой полуэллипс с полуосями а и Ь (рис. 11, а). Величина a известна. Требуется по­строить функцию распределения F( x).

Решение. Величина b находится из условия равенства единице площа­ди, ограниченной кривой распределения:

.

Плотность распределения

 

График функции F( x) см. на рис. 11, б.

1.157. Функция распределения случайной величины X имеет вид

.

Найти φ (x).

Ответ: .

 

1.158. Плотность распределения случайной величины X записывается так:

Чему равно А? Найти плотность распределения.

1.159. Ряд распределения случайной величины X имеет вид

 

x_i 1    2     3       4

p_i 0, 10 0.15 0.20  ?

 

 

Дописать недостающую вероятность. Построить функцию распределения. Найти вероятность попадания в интервал Р{1 ≤ х < 3}.

1.160. Подобрать самостоятельно функцию, которая могла бы служить плотностью распределения непрерывной случайной величины в соответствующем интервале, выбрав ее из класса: 1) степенных, 2) показательных, 3) логарифми­ческих или тригонометрических функций. Найти соответствующую функцию распределения.

1.161. Пусть случайная величина X имеет плотность распределения . Чему равна вероятность того, что данная случайная величина примет значение, лежащее на интервале (0, 1)?

Решение. Искомая вероятность Р (0 < х < 1) может быть найдена с помощью выражения (1.29):

В нашем случае

(здесь произведена замена переменного t = —x²).

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: