СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. СОВМЕСТНЫЕ И ЧАСТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

 

В практике приходится иметь дело с задачами, в которых взаимо­действуют несколько случайных величин, называемых системами.

Например, координаты точек показания при стрельбе в мишень, размер и рост костюма, выпадение суммы очков при подбрасывании двух игральных костей и т. д.

Плановые геодезические сети содержат пункты, каждый из кото­рых характеризуется координатами х, у, нивелирные сети содержат в общем случае п узловых точек, отметки которых представляют со­бой п случайных величин и др. Наиболее простой является система двух случайных величин х и у или, как ее еще называют, двухмерная случайная величина.

Закон распределения системы двух случайных величин, как пре­рывных, так и непрерывных, чаще всего задают в виде функции сов­местного распределения

 

F(x, y)=P(X < x, y < Y).

 

Ее основные свойства следующие.

1. Функция F (х, у) есть неубывающая функция обоих своих аргу­ментов.

2. F ( ) = F ( ) = F ( ) = 0.

3. F ( ) = F₁ (x), F ( ) = F₂(y),

где F ₁(x) и F ₂(y) - соответственно функции распределения случай­ных величин х и у, так называемые частные законы распределения.

4. F ( ) = 1.

Для непрерывной двухмерной случайной величины (х, у), вводится плотность распределения (поверхность распределения)

 

 

обладающая свойствами:

 

1) , 2) .

 

Геометрически это означает, что полный объем тела, ограниченный поверхностью распределения и плоскостью х O у, равен 1.

Функция и плотность совместного распределения связаны следую­щим соотношением:

                           (1.78)

 

Так как φ (х) = F( ), а частный закон распределения задан в виде плотности

 

 

то

 

                               (1.79)

Аналогично

                                   (1.80)

 

Формулы (1.77), (1.79) и (1.80) позволяют найти частные законы распределения, зная совместный закон.

Однако обратную задачу - установить закон совместного распре­деления, зная только частные законы, можно решить не всегда. Лишь в случае, когда случайные величины х и у независимы, можно напи­сать

 

                             (1.81)

 

(сравните с теоремой умножения для независимых событий).

Случайная величина у называется независимой от случайной ве­личины х, если закон распределения величины у не зависит от того, какое значение приняла величина х.

Аналогично условной вероятности P(A₂/A₁) для событий вводятся так называемые условные плотности распределения: f(y / x) - плот­ность распределения у при условии, что случайная величина х приня­ла значение х, и f(x / y) - плотность распределения х при условии, что случайная величина у приняла значение у.

Если условные плотности (условные законы) распределения из­вестны, то плотность совместного распределения

 

                                     (1.82)

 

или

 

                             (1.83)

 

Сравнивая выражения (1.82) и (1.83) с (1.81) приходим к математи­ческому условию независимости

 

                                         (1.84)

 

или

 

                                      (1.85)

 

Здесь имеется в виду так называемая вероятностная (статистиче­ская) зависимость. Вообще, различают два вида зависимостей - функциональную и вероятностную.

Функциональной зависимостью между двумя величинами X и Y называют такую зависимость, при которой каж­дому значению X соответствуют значения Y, которые можно точно

указать (например, у = , V = 4/3 R ³ и т. д.)

Вероятностной зависимостью между двумя ве­личинами X и Y называют такую зависимость, при которой каждому значению x соответствует распределение y, изменяющееся с изменением х (условное распределение). Вероятностная зависимость между слу­чайными величинами на практике встречается очень часто. Примеров можно привести очень много: рост и масса человека (эта зависимость выражается общеизвестной формулой                      У (кг) = X (см) - 100), высота и толщина дерева в лесу, размер и рост костюма. Вероятностная за­висимость является следствием воздействия на две случайные вели­чины одновременно как общих, так и раздельно действующих причин.

 

 

                             Рисунок 20.                  Рисунок 21.

 

Заканчивая описание системы двух случайных величин, приведем еще формулу для вычисления вероятности попадания случайной точ­ки (так можно называть двухмерную случайную величину) в произ­вольную область D

Формула

 

                  (l.86)

 

позволяет определить вероятность попадания в прямоугольник, огра­ниченный абсциссами  и  и ординатами  и .

1.214. Система случайных величин ( X, Y) распределена по закону

 

.

 

а) Найти коэффициент а;

б) установить, являются ли величины X, Y зави­симыми; найти ;

в) найти вероятность попадания случайной точки ( X, Y) в пределы квадрата R, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и имеют длину b = 2 (рис. 20).

Решение, а) Из условия

 

 

находим

б) Случайные величины  X, Y  независимы:

 

 

 

в)

 

 

1.215. Найти вероятность попадания случайной точки (х, у) в прямоуголь­ник R, ограниченный прямыми х = π /6, х = π /2, у = π /4, у = π /3, если  F (х, у) = sin( x) sin( y) (0 ≤ х ≤ π /2; 0 ≤ y ≤ π ).

Решение: Находим

 

 

и далее:

 

 

1.216. Система случайных величин ( X, Y) распределена с постоянной плотностью внутри квадрата R со стороной 1 (рис. 21). Написать выражение плотнос­ти и функции распределения φ (х, у), F( x, у). Построить функцию распределения системы. Написать выражения φ ₁(x), φ ₂(y). Определить, являются ли случайные величины ( X, Y) независимыми или зависимыми.

О т в е т:

 

Случайные величины (X, Y)  независимы, так как φ (х, у) = φ ₁ (х) φ ₂ (у)

1.217. Дана плотность совместного распределения

 

 

Найти: а) величину с; б) F(x, у).

О т в е т:

a)

b)

 

1.218. Двухмерная случайная величина задана поверхностью распределения

 

Найти φ ₁(x) и φ ₂(y); зависимы ли х, у?

Ответ:

 

Величины х и y зависимы.

1.219. Двухмерная случайная величина (х, у) задана дифференциальной функцией

 

 

Найти условные плотности распределения.

Ответ:

 

 

 

1.220. Случайные величины X и Y независимы и распределены по законам, заданным в виде частных кривых распределения

 

(нормальный закон) с параметрами   и

(равномерный закон) в интервале (0, 1).

Написать плотность совместного распределения.    

Ответ:

 

 

Рисунок 22.

 

1.221. Двухмерная случайная величина распределена в первой четверти ко­ординатной плоскости  с плотностью вероятности . Найти F(x, у) и вероятность попадания в прямоугольник, изо­браженный на рис. 22.

Указание. Коэффициент А найти из условия

 

 

Ответ:

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: