Не всё, что может быть подсчитано,

Не всё, что может быть подсчитано,

Имеет значение, и не всё, что имеет

Значение, может быть подсчитано.

                                 А. Эйнштейн

КВАНТОВАЯ ФИЗИКА

ЛЕКЦИЯ 1

    При рассмотрении проблемы электромагнитного излучения твердых тел классическая физика столкнулась с непреодолимыми трудностями. Данные теоретических расчетов существенно не совпадали с экспериментальными данными в области коротковолнового диапазона излучения.

    В 1900 г. Максом Планком была выдвинута принципиально новая физическая гипотеза о дискретности энергии теплового излучения и наличии ее минимальной порции – кванта энергии излучения. Эта гипотеза позволила Планку описать равновесное тепловое излучение во всех диапазонах длин волн.

    Развивая гипотезу о квантах, Альберт Эйнштейн выдвинул корпускулярную теорию излучения, в которой электромагнитное излучение представлялось как поток частиц, названных фотонами. Фотонная теория излучения смогла объяснить явления квантовой оптики.

    В дальнейшем идея корпускулярно-волнового дуализма была обобщена на все материальные объекты в природе, что привело к созданию квантовой физики.

Законы теплового излучения

    Тепловым излучением называют электромагнитное излучение, испускаемое нагретыми телами за счёт своей внутренней энергии в широком диапазоне частот.

    Если несколько нагретых излучающих тел окружить идеально отражающей оболочкой, то внутри оболочки установится термодинамическое равновесие,  т.е. температуры всех тел станут равными, а распределение энергии между телами и излучением не будет изменяться со временем.   Излучение, находящееся в равновесии с излучающими телами называют равновесным. Равновесность является основным свойством теплового излучения. Другие виды излучения этим свойством не обладают.

    Для равновесного излучения, которому можно приписать температуру излучающих тел, можно рассчитать и термодинамические характеристики, например, внутреннюю энергию, давление, энтропию и т.д.

    Равновесное тепловое излучение однородно, т.е. его плотность энергии одинакова во всех точках внутри полости, где оно заключено. Такое излучение изотропно и не поляризовано - оно содержит все возможные направления распространения и направления колебаний векторов  и .

    Энергию, излучаемую с единицы площади поверхности нагретого тела в единицу времени и приходящуюся на единичный диапазон частот, называют спектральной испускательной способностью тела или спектральной плотностью энергетической светимости.

    Дж/м²

    ω – частота излучения;

    Т  – температура тела.

 

    Суммарную мощность , излучаемую с единицы площади поверхности тела по всему диапазону частот

 

  ,          Вт/м²

 

называют энергетической светимостью.

    Спектральную испускательную способность можно представить и как функцию длины волны излучения λ.

r_{λ , Т} dλ = r_{ω , T} dω .

 

Учитывая, что  получаем  .

    Знак < < – > > носит формальный характер т.к. указывает лишь на то, что с возрастанием длины волны λ частота убывает, и его можно опустить.

 

    Спектральной поглощательной способностью тела называют безразмерную величину

 , где

d Ф_ω – поток падающего на поверхность тела излучения в узком диапазоне частот dω , вблизи частоты ω ;

- поток излучения, поглощаемый телом.

    Тело, у которого    и одинакова по всему диапазону частот называют серым телом.

   

    Абсолютно черным телом (АЧТ) называют тело, у которого    на всех частотах и при любых температурах. В теории теплового излучения оно является эталонным телом.

    Моделью АЧТ является замкнутая полость с малым отверстием, диаметр которого значительно меньше поперечных размеров полости, которая может иметь любую форму и может быть изготовлена из любого непрозрачного материала.

                                               

                                                            

    Именно  малому  отверстию в  полости

и    приписывается свойство АЧТ.  Если

стенки полости поддерживать при некоторой

температуре Т, то отверстие будет излучать

как абсолютно черное тело с температурой Т.

 

    Закон Кирхгофа

Отношение испускательной и поглощательной способностей одинаково для всех тел в природе, включая абсолютно черное тело, и  является одной и той же универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры тела.

 

или

 

 , где

и   - испускательные способности АЧТ

 

    Зная   и a_{ω , T} реального тела можно определить энергию, излучаемую этим телом в любом диапазоне частот.

 

    Закон Стефана-Больцмана

Формулы Рэлея-Джинса и Вина

    Применяя к тепловому излучению классический закон равнораспределения энергии по степеням свободы ( на каждую стоячую электромагнитную волну частотой ω приходится в среднем энергия kT)   Рэлей и Джинс получили

      r ^* _{ω , T} =

    Попытка получить закон Стефана–Больцмана из этой формулы приводит к абсурдному результату, получившему название – « ультрафиолетовая катастрофа»:

    Формула Рэлея – Джинса согласуется с экспериментом только в области малых частот (больших значений λ ).

    В области больших частот ω  ( малых значений λ ) эксперимент хорошо согласовывается с эмпирической формулой Вина

 

  ,     где С₁  и С₂ - константы

 

 

Гипотеза о квантах.  Формула Планка

    Планк получил формулу для u_{ω , T} , хорошо согласующуюся с экспериментальными данными во всем диапазоне частот. Для этого он ввел гипотезу, коренным образом противоречащую представлениям классической физики о непрерывном испускании и поглощении электромагнитного излучения веществом.

 

    Планк предположил, что энергия испускаемого телом электромагнитного излучения может принимать не любые, а только вполне определенные дискретные значения

E_n = nε _o ,

 

пропорциональные некоторой элементарной энергии ( кванту  энергии)

ε ₀ = h ν = ω , где

h = 6, 626^.10^-34 Дж ^. с  и  = = 1, 05 ^. 10^-34Дж ^. с = 0, 658 ^. 10^-15эВ ^. с - постоянные Планка.

    Размерность физической величины «энергия время» в механике называют действием, поэтому постоянную Планка называют также квантомдействия. Постоянная Планка имеет также размерность момента импульса (Дж ^. с = Н ^. с ^. м)

    Используя понятие кванта энергии, Планк получил известную формулу Планка

       .

 

    Задача

    Используя формулу Планка для   r *_{ω, T} доказать законы Стефана-Больцмана и Вина.

    Решение:

1) Закон Стефана-Болцмана:

Из таблиц определенных интегралов («Приложения» к сборнику задач Иродова)

 ,  т.е.      , где σ = .

 

2) Закон смещения Вина получается при анализе формулы Планка на экстремум.

 

0 =  , т.е.

 

3

    При α можно записать  .

    Тогда

    Учитывая, что  , получаем окончательно , где .

 

Лекция 2

Фотоэффект

    Дальнейшее развитие квантовая гипотеза Планка получила прежде всего в работах Эйнштейна, который выдвинул гипотезу о световых квантах – фотонах.

    Фотон – это ультрарелятивистская незаряженная частица, имеющая нулевую массу покоя и всегда движущуюся со скоростью с. Если при неупругом столкновении с другой элементарной частицей фотон «останавливается», то он исчезает, передавая всю свою энергию этой частице. Энергия фотона определяется выражением

   .

    Формально фотону можно приписать релятивистскую массу

m _ф = ε _ф/с² = hν / c ² = h / cλ = .

    Импульс фотона

р_ф= ε _ф/с = h / λ = hν / c = .

 

    Если направление распространения световой волны задать волновым вектором  , где ( ), то

.

 

    Впервые отдельные фотоны излучения были обнаружены в опытах, проведенных Боте при облучении тонкой металлической фольги слабым пучком рентгеновского излучения, под действием которого она сама становилась источником рентгеновского излучения.

    Если бы энергия этого излучения распространялась в виде сферических волн, то левый и правый счетчики С_л  и С_п должны срабатывать практически одновременно, а самописцы Л  и П , связанные со счетчиками, должны оставлять метки на движущейся ленте друг против друга. Опыт, однако,  показал, что счетчики реагировали совершенно независимо друг от друга.  Все  происходило   так,  как   если   бы  излучение  фольги       Ф распространялось в виде отдельных квантов, которые могли попадать либо в левый, либо в правый счетчик.

    Гипотеза о корпускулярных свойствах света позволила объяснить результаты экспериментов по фотоэлектрическому эффекту, совершенно непонятных с позиций классической электромагнитной теории.

 

    Внешним фотоэффектом называют явление испускания электронов вещества под действием электромагнитного излучения.

    Исследование закономерностей фотоэффекта проводят на установке с фотоэлементом в виде вакуумной двухэлектродной лампы, схематически показанной на рисунке.

                                  

    Металлический катод К при освещении его через кварцевое окошко видимым светом или ультрафиолетовым излучением испускает электроны. Эти фотоэлектроны, достигая антикатода А, обеспечивают протекание в цепи электрического тока, который фиксируется миллиамперметром. Источники питания подключены так, что позволяют изменять полярность подаваемого на фотоэлемент напряжения.

    Здесь же приведен качественный вид вольт-амперной характеристики такого фотоэлемента для случая неизменного светового потока, падающего на катод. Ускоряющему электрическому полю соответствует положительное напряжение, в области которого все испускаемые катодом электроны достигают анода, обусловливая фототок насыщенияI _нас.

    При отрицательном напряжении (U< 0) фотоэлектрон попадает в тормозящее электрическое поле, преодолеть которое он может, лишь имея определенный запас кинетической энергии. При некотором отрицательном напряжении, модуль которого U _з называют задерживающим напряжением (потенциалом), фототок становится равным нулю.

    Измерив U _з , можно определить максимальную кинетическую энергию К _m  или максимальную скорость    фотоэлектронов.

.

    Законы фотоэффекта

1) Для монохроматического света определенной длины волны фототок насыщения пропорционален световому потоку, падающему на катод.

2) Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов не зависит от величины светового потока, а определяется лишь частотой излучения.

    3) Для каждого вещества катода существует своя граничная частота ν _к         (или граничная длина волны ), такая, что излучение с частотой ν < ν _к ( ), фотоэффекта не вызывает (красная граница).

 

 

    Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта

     В процессе неупругого соударения фотона со свободным электроном металла  фотон передаёт электрону энергию

 

ε _ф = А_в + К _m ,    где

 

    А_в – работа выхода электрона из металла (минимальная энергия,        необходимая для преодоления потенциального барьера при освобождении электрона из данного металла катода).

    Из этого уравнения непосредственно вытекают второй и третий законы фотоэффекта. Если ε _ф < A _в получаем простые формулы для частоты и длины волны красной границы

 ;          и  .

        

    Первый закон фотоэффекта ( закон Столетова ) также объясняется корпускулярной природой света – число вырванных из металла электронов и, следовательно, фототок насыщения пропорциональны числу падающих на металл фотонов, которое определяется величиной потока энергии излучения.

    Важной количественной характеристикой фотоэффекта является квантовый выход Y, определяющий число вылетевших электронов, приходящихся на один, падающий на металл фотон.

 

    Y  10^{- 4} электрон/фотон для ν  ν _к

    Y = 0, 01 … 0, 05 электрон/фотон для ε _ф  1 эВ.

    Y   0, 1 электрон/фотон для ε _ф  10³ эВ (рентгеновское излучение).

 

Эффект Комптона

 

    При большой энергии фотонов ( > 0, 01 МэВ ) процесс поглощения фотонов электронами вещества становится маловероятным. В этом случае при взаимодействии электромагнитного излучения с веществом наблюдается его рассеяние с изменением направления распространения.

    Эффектом Комптона называют явление увеличения длины волны излучения вследствие рассеяния его веществом. Изменение длины волны   не

зависит от материала рассеивающего образца и исходной длины волны λ , а определяется только величиной угла рассеяния θ .

∆ λ = λ ’ – λ = Λ _k (1 – cosθ ) , где

 

    λ ’ –   комптоновское смещение ( длина волны рассеянного излучения)

    Λ _к=2, 426^.10^-12м – комптоновская длина волны электрона, полученная Комптоном экспериментально.

    Диафрагмы D ₁ и D ₂ выделяли узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения, который падал затем на исследуемый образец О. Для исследования   спектрального состава рассеянного излучения оно после прохода ряда диафрагм попадало на кристалл К рентгеновского спектрографа, а затем в счётчик С или на фотопластинку.

    Классическая теория оказалась не в состоянии объяснить закономерности комптоновского рассеяния и в первую очередь появление смещенной компоненты. С точки зрения классической теории электромагнитного излучения электрон сам как антенна под действием падающей волны начинает излучать вторичные сферические волны на частоте падающего излучения.

    Фотонная теория излучения объясняет этот эффект как следствие упругого рассеяния фотона  Ф    Ф’ на свободном электроне вещества. Формула Комптона оказывается следствием законов сохранения энергии и импульса при упругом соударении фотона и электрона.

    Пусть на покоящийся электрон с энергией m _е с²  падает фотон с энергией ε _ф и импульсом р_ф = ε _ф/с. После столкновения энергия и импульс фотона станут ε ’_ф   и р’_ф = ε ’_ф/с,  а энергия и импульс электрона отдачи Е   и р.

    Поскольку в результате столкновения электрон может стать релятивистским, этот процесс будем рассматривать на основе релятивистской механики из которой для электрона можно записать условие инвариантности энергии и импульса

Е ² - р²с² = m _e ² c ⁴

    В соответствии с законами сохранения энергии и импульса системы фотон-электрон до и после столкновения можно записать следующие равенства:

ЗСЭ: ε _ф + m _e c ² = ε ’ _ф + Е    Е² = (ε _ф – ε ’_ф + m _e c ² )²

ЗСИ: р² = (ε _ф/с)² + (ε ’_ф/с)² - 2(ε _фε ’_ф/с²) cosθ или

 

р ² с ² = ε _ф² + ε ’_ф² - 2ε _фε ’_ф cosθ

Равенство для ЗСИ записано на основе теоремы косинусов для треугольника импульсов.

 

 

    Подставляя значения Е² и р²с² в условие инвариантности получаем

 

   С учётом того, что    и    имеем окончательно λ ’ - λ = Λ _к(1- cos θ ),  где Λ _к =   = 2, 42^.10^{-12 м}

    С  помощью  счетчиков  рассеянных фотонов Ф и электронов отдачи Э установленных симметрично относительно, рассеивателя Р и включённых в схему совпадений С было доказано экспериментально существование индивидуального столкновения фотона с электроном.

  

    Задача

    При облучении вещества рентгеновским излучением с некоторой длиной волны λ обнаружили, что максимальная кинетическая энергия релятивистских электронов отдачи равна К_м. Определить λ.

    Решение:

    К =К_м если р = р_макс, что возможно только если векторы ,    и   коллинеарны, т.е. θ = 0

 

    Учитывая, что Е = mc ² + K , получаем для законов сохранения энергии и импульса:

    ЗСЭ:   ε _ф – ε ’_ф = К_м

                                              2ε _ф  = К_м + р^.с,  где

    ЗСИ: ε _ф/с + ε ’_ф/с = р

 

Так как р^.с = (К_м^.(К_м + 2 m _e c ² ))^1/2  ( смотри ниже Приложение ) то

 

                                                                            Приложение:

 

 

 и окончательно     .

 

Гипотеза де Бройля

 

    Каждая материальная частица наряду с корпускулярными обладает волновыми свойствами, причём соотношения, связывающие волновые и корпускулярные характеристики частицы, остаются такими же как и у фотона, т.е.

  и      :   

    Согласно гипотезе де Бройля, свободно движущейся частице, обладающей энергией Е и импульсом р соответствует волновой процесс с частотой    и длиной волны    .

 

Примечание: в настоящее время в   СИ килограммом называют массу тела, для которой частота де Бройля точно равна

 

    Волна де Бройля распространяется в направлении скорости частицы. Она не является электромагнитной и имеет специфическую природу, для которой  нет аналога в классическойфизике, но которая должна обладать такими свойствами волн как интерференция и дифракция

    Для нерелятивистской частицы

    Для релятивистской частицы  

и

 

    Оценим величину волн де Бройля для микро и макро-объектов.

 

    Для нерелятивистского электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U ~ 150 B получаем

м

    Размеры атомов и расстояния между молекулами в твёрдых телах имеют тот же порядок ~ 10^{-10 м.}

    Для макроскопического, но достаточно малого объекта – пылинки, масса которой m ₀ = 10^-6г, а скорость v = 1 мм/с получаем

 

 м

    Такая длина волны значительно меньше наименьшего из известных в природе размеров – размеров атомного ядра, порядок которого 10^-15  м.

 

    Волновые свойства частиц проявляются максимальным образом в тех случаях, когда дебройлевская длина волны частицы сравнима с характерными размерами области движения частицы

λ _Б  ~ L ,

например, при взаимодействии электрона с атомами

    В тех случаях, когда λ _Б < < L (пример с пылинкой), волновые свойства частицы становятся несущественными, и для описания движения таких объектов необходимо пользоваться законами классической механики.

 

Дифракция микрочастиц

    Первые экспериментальные исследования, подтвердившие волновую природу частиц были выполнены при исследовании дифракции электронов на кристаллической решётке. Дебройлевская длина волны электрона при ускоряющей разности потенциалов ~ 100 В имеет порядок ~ 10^{-10 м. Расстояние между атомными плоскостями в кристалле имеет такой же порядок. Поэтому, так же как и в случае рентгеновского излучения, кристалл может играть роль дифракционной решётки для электронных волн.}

    Пусть имеется совершенный кристалл, обладающий идеальной, без каких либо нарушений кристаллической решёткой, и электроны падают на кристалл под углом скольжения   по отношению к рассеивающему семейству плоскостей.

β = π - 2θ – угол между  падающим и дифрагирующим пучками электронов.

    При значении угла θ , удовлетворяющему условию Брэгга-Вульфа

 

2 d ^. sin θ = т^. λ _Б       ( т = 1; 2; 3; 4… )

 

возникает интенсивный дифракционный максимум отражённой волны. Здесь

d – расстояние между отражающими плоскостями (постоянная решётки кристалла).

    Дифракционные максимумы появляются в тех случаях, когда разность хода волн, отражённых от соседних атомных плоскостей, равна целому числу длин волн де Бройля, т.е. имеет место интерференция.

    С учётом преломления электронных волн в кристалле условие Брега-Вульфа принимает вид

, где

n_e – показатель преломления электронных волн в кристалле.

    Результаты экспериментов по дифракции электронов, проведённые американцами Девиссоном и Джермером на монокристалле никеля, а также англичанином Дж.Томпсоном и советским физиком Тартаковским на тонкой поликристаллической фольге хорошо совпали с теоретической формулой Брэгга-Вульфа.

    В 1921г. немецкий физик Рамзауэр, исследуя упругое рассеяние электронов на атомах аргона, обнаружил явление, являющееся электронным аналогом хорошо известного в оптике пятна Пуассона. Если энергия электрона такова, что его дебройлевская длина волны сравнима с диаметром атома, то в результате дифракции электрона на атоме электроны проходят через атом аргона, не испытывая какого либо отклонения от направления своего первоначального движения.

 

    Позднее была обнаружена дифракция тепловых нейтронов, т.е. нейтронов, энергия которых сравнима с энергией   при комнатной температуре Т ~ 300 K. Для таких нейтронов

 

~ 10^{-10 м, где}   m_n – масса нейтрона.

    На рисунке приведена традиционная схема эксперимента по дифракции нейтронов.

Нейтроны, выходящие из ядерного реактора R , проходят через замедлитель S и теряют в нём часть своей энергии. Далее через коллимирующую систему  К, формирующую узконаправленный пучок, они попадают на кристалл  С, в котором и происходит дифракция. Дифрагировавший пучок нейтронов регистрируется детектором нейтронов D.

              В дальнейшем были обнаружены при дифракции на кристаллах волновые свойства атомов гелия, молекул водорода и тяжёлых молекул фторфуллерена С₆₀F₄₈. Таким образом, гипотеза де Бройля имеет универсальный характер для всех частиц, независимо от их природы и внутреннего устройства.

 

Уравнение волны де Бройля

Плоская волна частотой ω , распространяющаяся вдоль оси  ОХ может быть представлена в комплексной форме

 

ξ (х, t ) = A exp ( - i ( ω t – kx )), где i – мнимая единица

 

Согласно гипотезе де Бройля, свободной частице с энергией Е и импульсом р, движущейся вдоль оси ОХ, соответствует плоская волна

 

Ψ ( х, t) = A exp (  (E ^.t – p ^.x)),

 

распространяющаяся в том же направлении и описывающая волновые свойства частицы. Эту волну называют волной де Бройля.

    Волны материи (т.е. волны де Бройля) в процессе распространения могут отражаться, преломляться, интерферировать и дифрагировать по обычным волновым законам.

 

    Условие постоянства фазы волны де Бройля имеет вид

 

E^.t – p^.x = const

 

Дифференцируя это соотношение, находим фазовую скорость волны

 

   

Т.к.  < c,  то фазовая скорость волны де Бройля оказывается больше скорости света в вакууме с.

Ограничения на скорость, накладываемые теорией относительности, справедливы лишь для процессов, связанных с переносом массы или энергии. Фазовая скорость волны де Бройля не характеризует ни один из этих процессов, поэтому на её величину не накладывается никаких ограничений. Она имеет чисто символическое значение и является принципиально ненаблюдаемой величиной.

Групповая скорость волны де Бройля  .

Согласно теории относительности связь между  Е  и р для частицы с массой m определяется соотношением

Е² = р²с² + m ² c ⁴

Дифференцируя это соотношение, получаем

2Е^. dE = 2 pc ^2. dp          

Т.о.    , т.е. групповая скорость волны де Бройля равна скорости движения частицы – .

Лекция 4

Уравнение Шрёдингера

    В классической механике волновым уравнением называют уравнение вида

.

    Например, для электромагнитной волны имеем

        

.

    В квантовой механике   общеевременное уравнение Шредингера позволяет определить в любой момент времени волновую функцию Ψ для частицы массой т₀ , движущейся в силовом поле  = , описываемом скалярной потенциальной функцией U ( x, y, z, t )

 

.

    В большей части учебников это уравнение записывается в следующем традиционном виде:

i  =  - мнимая единица;

- оператор Лапласа в декартовых координатах;

- оператор Лапласа в                                            сферических координатах.

 

    Уравнение Шредингера, как и законы классической механики Ньютона, законы термодинамики, уравнения Максвелла для электродинамики не может быть выведено. Его следует рассматривать как некоторое научное положение, справедливость которого подтверждается данными экспериментов в атомной и ядерной физике.

 

    В квантовой механике существует класс задач о движении в силовых полях, для которых силовая функция не зависит от времени, т.е.

.

    Такие силовые поля называют стационарными силовыми полями. В этом случае силовая функция   имеет смысл потенциальной энергии частицы.

    В стационарных полях квантовая система может находиться в состояниях с определённым значением энергии Е . Эти состояния называют стационарными состояниями, а задачи о движении частиц, находящихся в таких состояниях – стационарными задачами квантовой механики.

 

    Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид

 

.

 

 

Не всё, что может быть подсчитано,

123456Следующая ⇒

Поделиться: