Формулы Рэлея-Джинса и Вина

    Применяя к тепловому излучению классический закон равнораспределения энергии по степеням свободы ( на каждую стоячую электромагнитную волну частотой ω приходится в среднем энергия kT)   Рэлей и Джинс получили

      r ^* _{ω , T} =

    Попытка получить закон Стефана–Больцмана из этой формулы приводит к абсурдному результату, получившему название – « ультрафиолетовая катастрофа»:

    Формула Рэлея – Джинса согласуется с экспериментом только в области малых частот (больших значений λ ).

    В области больших частот ω  ( малых значений λ ) эксперимент хорошо согласовывается с эмпирической формулой Вина

 

  ,     где С₁  и С₂ - константы

 

 

Гипотеза о квантах.  Формула Планка

    Планк получил формулу для u_{ω , T} , хорошо согласующуюся с экспериментальными данными во всем диапазоне частот. Для этого он ввел гипотезу, коренным образом противоречащую представлениям классической физики о непрерывном испускании и поглощении электромагнитного излучения веществом.

 

    Планк предположил, что энергия испускаемого телом электромагнитного излучения может принимать не любые, а только вполне определенные дискретные значения

E_n = nε _o ,

 

пропорциональные некоторой элементарной энергии ( кванту  энергии)

ε ₀ = h ν = ω , где

h = 6, 626^.10^-34 Дж ^. с  и  = = 1, 05 ^. 10^-34Дж ^. с = 0, 658 ^. 10^-15эВ ^. с - постоянные Планка.

    Размерность физической величины «энергия время» в механике называют действием, поэтому постоянную Планка называют также квантомдействия. Постоянная Планка имеет также размерность момента импульса (Дж ^. с = Н ^. с ^. м)

    Используя понятие кванта энергии, Планк получил известную формулу Планка

       .

 

    Задача

    Используя формулу Планка для   r *_{ω, T} доказать законы Стефана-Больцмана и Вина.

    Решение:

1) Закон Стефана-Болцмана:

Из таблиц определенных интегралов («Приложения» к сборнику задач Иродова)

 ,  т.е.      , где σ = .

 

2) Закон смещения Вина получается при анализе формулы Планка на экстремум.

 

0 =  , т.е.

 

3

    При α можно записать  .

    Тогда

    Учитывая, что  , получаем окончательно , где .

 

Лекция 2

Фотоэффект

    Дальнейшее развитие квантовая гипотеза Планка получила прежде всего в работах Эйнштейна, который выдвинул гипотезу о световых квантах – фотонах.

    Фотон – это ультрарелятивистская незаряженная частица, имеющая нулевую массу покоя и всегда движущуюся со скоростью с. Если при неупругом столкновении с другой элементарной частицей фотон «останавливается», то он исчезает, передавая всю свою энергию этой частице. Энергия фотона определяется выражением

   .

    Формально фотону можно приписать релятивистскую массу

m _ф = ε _ф/с² = hν / c ² = h / cλ = .

    Импульс фотона

р_ф= ε _ф/с = h / λ = hν / c = .

 

    Если направление распространения световой волны задать волновым вектором  , где ( ), то

.

 

    Впервые отдельные фотоны излучения были обнаружены в опытах, проведенных Боте при облучении тонкой металлической фольги слабым пучком рентгеновского излучения, под действием которого она сама становилась источником рентгеновского излучения.

    Если бы энергия этого излучения распространялась в виде сферических волн, то левый и правый счетчики С_л  и С_п должны срабатывать практически одновременно, а самописцы Л  и П , связанные со счетчиками, должны оставлять метки на движущейся ленте друг против друга. Опыт, однако,  показал, что счетчики реагировали совершенно независимо друг от друга.  Все  происходило   так,  как   если   бы  излучение  фольги       Ф распространялось в виде отдельных квантов, которые могли попадать либо в левый, либо в правый счетчик.

    Гипотеза о корпускулярных свойствах света позволила объяснить результаты экспериментов по фотоэлектрическому эффекту, совершенно непонятных с позиций классической электромагнитной теории.

 

    Внешним фотоэффектом называют явление испускания электронов вещества под действием электромагнитного излучения.

    Исследование закономерностей фотоэффекта проводят на установке с фотоэлементом в виде вакуумной двухэлектродной лампы, схематически показанной на рисунке.

                                  

    Металлический катод К при освещении его через кварцевое окошко видимым светом или ультрафиолетовым излучением испускает электроны. Эти фотоэлектроны, достигая антикатода А, обеспечивают протекание в цепи электрического тока, который фиксируется миллиамперметром. Источники питания подключены так, что позволяют изменять полярность подаваемого на фотоэлемент напряжения.

    Здесь же приведен качественный вид вольт-амперной характеристики такого фотоэлемента для случая неизменного светового потока, падающего на катод. Ускоряющему электрическому полю соответствует положительное напряжение, в области которого все испускаемые катодом электроны достигают анода, обусловливая фототок насыщенияI _нас.

    При отрицательном напряжении (U< 0) фотоэлектрон попадает в тормозящее электрическое поле, преодолеть которое он может, лишь имея определенный запас кинетической энергии. При некотором отрицательном напряжении, модуль которого U _з называют задерживающим напряжением (потенциалом), фототок становится равным нулю.

    Измерив U _з , можно определить максимальную кинетическую энергию К _m  или максимальную скорость    фотоэлектронов.

.

    Законы фотоэффекта

1) Для монохроматического света определенной длины волны фототок насыщения пропорционален световому потоку, падающему на катод.

2) Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов не зависит от величины светового потока, а определяется лишь частотой излучения.

    3) Для каждого вещества катода существует своя граничная частота ν _к         (или граничная длина волны ), такая, что излучение с частотой ν < ν _к ( ), фотоэффекта не вызывает (красная граница).

 

 

    Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта

     В процессе неупругого соударения фотона со свободным электроном металла  фотон передаёт электрону энергию

 

ε _ф = А_в + К _m ,    где

 

    А_в – работа выхода электрона из металла (минимальная энергия,        необходимая для преодоления потенциального барьера при освобождении электрона из данного металла катода).

    Из этого уравнения непосредственно вытекают второй и третий законы фотоэффекта. Если ε _ф < A _в получаем простые формулы для частоты и длины волны красной границы

 ;          и  .

        

    Первый закон фотоэффекта ( закон Столетова ) также объясняется корпускулярной природой света – число вырванных из металла электронов и, следовательно, фототок насыщения пропорциональны числу падающих на металл фотонов, которое определяется величиной потока энергии излучения.

    Важной количественной характеристикой фотоэффекта является квантовый выход Y, определяющий число вылетевших электронов, приходящихся на один, падающий на металл фотон.

 

    Y  10^{- 4} электрон/фотон для ν  ν _к

    Y = 0, 01 … 0, 05 электрон/фотон для ε _ф  1 эВ.

    Y   0, 1 электрон/фотон для ε _ф  10³ эВ (рентгеновское излучение).

 

Эффект Комптона

 

    При большой энергии фотонов ( > 0, 01 МэВ ) процесс поглощения фотонов электронами вещества становится маловероятным. В этом случае при взаимодействии электромагнитного излучения с веществом наблюдается его рассеяние с изменением направления распространения.

    Эффектом Комптона называют явление увеличения длины волны излучения вследствие рассеяния его веществом. Изменение длины волны   не

зависит от материала рассеивающего образца и исходной длины волны λ , а определяется только величиной угла рассеяния θ .

∆ λ = λ ’ – λ = Λ _k (1 – cosθ ) , где

 

    λ ’ –   комптоновское смещение ( длина волны рассеянного излучения)

    Λ _к=2, 426^.10^-12м – комптоновская длина волны электрона, полученная Комптоном экспериментально.

    Диафрагмы D ₁ и D ₂ выделяли узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения, который падал затем на исследуемый образец О. Для исследования   спектрального состава рассеянного излучения оно после прохода ряда диафрагм попадало на кристалл К рентгеновского спектрографа, а затем в счётчик С или на фотопластинку.

    Классическая теория оказалась не в состоянии объяснить закономерности комптоновского рассеяния и в первую очередь появление смещенной компоненты. С точки зрения классической теории электромагнитного излучения электрон сам как антенна под действием падающей волны начинает излучать вторичные сферические волны на частоте падающего излучения.

    Фотонная теория излучения объясняет этот эффект как следствие упругого рассеяния фотона  Ф    Ф’ на свободном электроне вещества. Формула Комптона оказывается следствием законов сохранения энергии и импульса при упругом соударении фотона и электрона.

    Пусть на покоящийся электрон с энергией m _е с²  падает фотон с энергией ε _ф и импульсом р_ф = ε _ф/с. После столкновения энергия и импульс фотона станут ε ’_ф   и р’_ф = ε ’_ф/с,  а энергия и импульс электрона отдачи Е   и р.

    Поскольку в результате столкновения электрон может стать релятивистским, этот процесс будем рассматривать на основе релятивистской механики из которой для электрона можно записать условие инвариантности энергии и импульса

Е ² - р²с² = m _e ² c ⁴

    В соответствии с законами сохранения энергии и импульса системы фотон-электрон до и после столкновения можно записать следующие равенства:

ЗСЭ: ε _ф + m _e c ² = ε ’ _ф + Е    Е² = (ε _ф – ε ’_ф + m _e c ² )²

ЗСИ: р² = (ε _ф/с)² + (ε ’_ф/с)² - 2(ε _фε ’_ф/с²) cosθ или

 

р ² с ² = ε _ф² + ε ’_ф² - 2ε _фε ’_ф cosθ

Равенство для ЗСИ записано на основе теоремы косинусов для треугольника импульсов.

 

 

    Подставляя значения Е² и р²с² в условие инвариантности получаем

 

   С учётом того, что    и    имеем окончательно λ ’ - λ = Λ _к(1- cos θ ),  где Λ _к =   = 2, 42^.10^{-12 м}

    С  помощью  счетчиков  рассеянных фотонов Ф и электронов отдачи Э установленных симметрично относительно, рассеивателя Р и включённых в схему совпадений С было доказано экспериментально существование индивидуального столкновения фотона с электроном.

  

    Задача

    При облучении вещества рентгеновским излучением с некоторой длиной волны λ обнаружили, что максимальная кинетическая энергия релятивистских электронов отдачи равна К_м. Определить λ.

    Решение:

    К =К_м если р = р_макс, что возможно только если векторы ,    и   коллинеарны, т.е. θ = 0

 

    Учитывая, что Е = mc ² + K , получаем для законов сохранения энергии и импульса:

    ЗСЭ:   ε _ф – ε ’_ф = К_м

                                              2ε _ф  = К_м + р^.с,  где

    ЗСИ: ε _ф/с + ε ’_ф/с = р

 

Так как р^.с = (К_м^.(К_м + 2 m _e c ² ))^1/2  ( смотри ниже Приложение ) то

 

                                                                            Приложение:

 

 

 и окончательно     .

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: