Квантовые системы из одинаковых частиц

Лекция 13

Квантовые системы из одинаковых частиц

    Квантовые особенности поведения микрочастиц, отличающие их от свойств макроскопических объектов, проявляются не только при рассмотрении движения одной частицы, но и при анализе поведения системы микрочастиц ( систем электронов, протонов, нейтронов и т.д. ).

 

    Для системы из N частиц с массами т₀₁, т₀₂, … т_{0 i}, … m _{0 N}, имеющих координаты (x_i, y_i, z_i), волновая функция может быть представлена в виде

Ψ ( x ₁, y ₁, z ₁, … x_{i ,} y_i, z_i, … x_N, y_N, z_N, t ).

 

    Для элементарного объёма

       dV_i = dx_i^.dy_i ^.dz_i

величина

 =

 

определяет вероятность того, что одна частица находится в объёме dV₁, другая в объёме dV₂ и т.д.

    Зная волновую функцию системы частиц, можно найти вероятность любой пространственной конфигурации системы микрочастиц, а также вероятность любой механической величины как у системы в целом, так и у отдельной частицы и вычислить  среднее значение механической величины.

 

    Волновую функцию системы частиц находят из уравнения Шрёдингера

 , где

 оператор функции Гамильтона для системы частиц

 

 +  .

Здесь

   

 силовая  функция  для i -ой частицы во внешнем поле, а

        

    энергия взаимодействия i -ой и j -ой частиц.

Неразличимость тождественных частиц в квантовой

Механике

    Частицы, обладающие одинаковыми массой, электрическим зарядом, спином и т.д. будут вести себя в одинаковых условиях совершенно одинаковым образом.

        

    Если в системе поменять i -ую и j -ую частицы, то в силу тождественности одинаковых частиц состояние системы не должно изменяться. Неизменной останется полная энергия системы, а также все физические величины, характеризующие её состояние.

 

    Принцип тождественности одинаковых частиц: в системе одинаковых частиц реализуются лишь такие состояния, которые не меняются при перестановке частиц местами.

 

Симметричные и антисимметричные состояния

    Введём оператор перестановки частиц в рассматриваемой системе -  . Действие этого оператора заключается в том, что он переставляет местами i -ую  и j -ую частицы системы.

    Все возможные состояния системы, образованной одинаковыми частицами, делятся на два типа:

симметричные, для которых

и

 

антисимметричные, для которых

 

 

    Если волновая функция, описывающая состояние системы, в какой либо момент времени является симметричной (антисимметричной), то этот тип симметрии сохраняется и в любой другой момент времени.

Бозоны и фермионы

    Частицы, состояния которых описываются симметричными волновыми функциями, называются   бозонами . Системы, состоящие из таких частиц, подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна. К бозонам относятся фотоны, π - и к-мезоны, фононы в твёрдом теле, экситоны в полупроводниках и диэлектриках. Все бозоны обладают нулевым или целочисленным спином .

    Частицы, состояния которых описываются антисимметричными волновыми функциями, называются фермионами . Системы, состоящие из таких частиц, подчиняются статистике Ферми – Дирака. К фермионам относятся электроны, протоны, нейтроны, нейтрино и все элементарные частицы и античастицы с полуцелым спином.

    Связь между спином частицы и типом статистики остаётся справедливой и в случае сложных частиц, состоящих из элементарных. Если суммарный спин сложной частицы равен целому числу или нулю, то эта частица является бозоном, а если он равен полуцелому числу, то частица является фермионом.

 

    Пример: α -частица  ( ) состоит из двух протонов и двух нейтронов т.е. четырёх фермионов со спинами + . Следовательно спин ядра   равен 2 и это ядро является бозоном.

    Ядро лёгкого изотопа    состоит из двух протонов и одного нейтрона (три фермиона). Спин этого ядра  . Следовательно ядро   фермион.

 

 

Лекция 14

Лекция 15

Распределение Ферми–Дирака

Квантовая  статистика Ферми–Дирака описывает идеальный газ из фермионов – ферми–газ.

Распределение Ферми–Дирака  –  закон, выражающий распределение частиц по энергетическим состояниям в ферми–газе:

  при статистическом равновесии и отсутствии взаимодействия среднее число частиц в i –ом   состоянии с энергией E_i при температуре Т равно:

 

.

 

Из этой формулы следует, что < N_i > _Ф-Д не может быть больше единицы. Это означает, что в одном квантовом состоянии не может находиться более одной ферми–частицы, что согласуется с принципом Паули

Химический потенциал для фермионов может быть только положительным ( μ > 0 ). Иначе при   числа заполнения стали бы равными нулю, чего естественно быть не может.

Для случая малых чисел заполнения ( < N_i > _Ф-Д < < 1 ) получаем

и

Тогда (пренебрегая единицей в знаменателе) получаем

 , где  А =

Распределение Ферми–Дирака при малых числах заполнения (разреженный газ фермионов) переходит в классическое распределение Максвелла–Больцмана.

 

I – статистическое распределение

Максвелла–Больцмана;

 

II – статистическое распределение

  Ферми–Дирака.

 

Можно сделать вывод, что разреженные квантовые газы  (и в случае бозонов, и в случае фермионов) не являются вырожденными и подчиняются классической статистике.

Хотя квантовая статистика в данном случае приводит к тем же результатам, что и классическая, квантовая природа  частиц газа остаётся неизменной.

 

Кардинальное различие между статистическими распределениями Максвелла–Больцмана и Ферми–Дирака наблюдаются при  . Классические частицы могут накапливаться в одном и том же состоянии в большом количестве. Для них < N_i >  тем больше, чем меньше их энергия Е. Что же касается фермионов, то максимальное их число в одном квантовом состоянии не может превышать единицу, что согласуется с принципом Паули.

 

Химический потенциал μ имеет размерность энергии и в случае фермионов его называют энергией Ферми  или уровнем Ферми  и обозначают E_F. При этом распределение Ферми–Дирака принимает вид

 

< N_i > _Ф-Д =  .

Энергия Ферми является медленно меняющейся функцией температуры Т.

 

При  получаем

< N_i > _Ф-Д = 1 при E < E_F(0)

 

< N_i > _Ф-Д = 0  при  E > E_F(0)

 

Здесь Е _F(0) – значение энергии Ферми при Т = 0.

Полученные результаты показывают, что все квантовые состояния с энергиями E < E_F(0) оказываются занятыми фермионами, а все состояния с энергиями E > E_F(0)   –   свободными.

 

Физический смысл энергии Ферми заключается в том, что при   энергия Ферми E_F (0) является максимальной энергией, которой могут обладать фермионы .

Ниже приведены графики зависимости < N_i > от  Е при Т = 0 (слева) и при Т   (справа)

 

 

 

При Т = 0 распределение Ферми–Дирака представляет собой ступенчатую функцию единичной высоты, обрывающуюся при Е = Е _F(0).

 

При температуре отличной от нуля резкий скачок < N_i > _Ф-Д от единицы до нуля становится более размытым и происходит в области энергий, ширина которой порядка kT

При любой температуре отличной от нуля    при E = E_F.

 

Наряду с энергией Ферми E_F при анализе поведения ферми-частиц вводится также  импульс Ферми p_F и   скорость Ферми υ _F , определяемые соотношениями

     и      .

Это максимальные импульс и скорость, которыми может обладать ферми-частица с массой т_о при температуре Т = 0.

 

Электронный газ в металлах

Модель свободных электронов в металлах предполагает, что при образовании кристаллической решётки от атомов отщепляются некоторые слабее всего связанные с ними (валентные) электроны.

Электроны проводимости, обеспечивающие электропроводность металлов, в первом приближении можно рассматривать как идеальный газ свободных электронов , для которых металлический проводник является потенциальной ямой.

 

В случае Т = 0 электроны располагаются на самых нижних доступных для них энергетических уровнях.

Согласно принципу Паули, на

каждом энергетическом уровне будет находиться по два электрона с различной ориентацией спинов .

Если число электронов в металлическом проводнике  равно N, то при Т = 0 будут заполнены первые N/2 уровней с энергией E . Число заполненных и свободных энергетических уровней очень велико, и они расположены настолько плотно, что энергетический спектр электронов можно считать квазинепрерывным.

    Найдём функцию распределения электронов проводимости по энергиям.

    Число электронов dN, энергия которых лежит в интервале от Е до    равно

, где

    -  плотность квантовых состояний электронов в 

                                                 металле. т.е. число состояний, приходящихся на единичный энергетический интервал.

    Полное число свободных электронов в металлическом проводнике с объёмом V

 

N =  = V

    Концентрация электронов п в металле

 

п =  = .

    Функцию

F(E)  =   =

 

называют   функцией распределения свободных электронов по энергиям.

    С помощью функции распределения F ( E ) можно найти среднее значение любой физической величины Q, зависящей от Е

При Т = 0 функция F ( E ) имеет вид

                              

             F(E) =

Распределение электронов по энергиям описывается выражением

                dn =

Из физического смысла функции распределения следует, что площадь под кривой F ( E ) численно равна концентрации п свободных электронов в металле.

 Верхний предел интегрирования для вычисления  п  при Т = 0 нужно брать равным E_F(0). Тогда интегрируя, получаем

 

п = .

 

    Отсюда находим E_F(0):

E_F(0) =

    Расчёты показывают, что энергия Ферми электронного газа в металлах составляет несколько электрон–вольт.

 

    Наряду с энергией Ферми вводится понятие  температуры Ферми Т _F, которая определяется следующим образом:

kT_F = E_F(0)  .

    Справа представлено схематическое распределение электронов по энергетическим уровням при Т > 0

    Все состояния, энергия которых меньше энергии Ферми на величину порядка kT, заняты электронами. Все состояния, энергия которых превосходит энергию Ферми на величину порядка kT, оказываются свободными. В области энергий шириной порядка kT  вблизи энергии Ферми имеются уровни, частично заполненные электронами. Только электроны, заполняющие уровни в этой области, могут принимать участие в различных физических процессах в металлах. Только их энергия может изменяться в ходе этих процессов.

 

 

Зависимость   F ( E ) при Т> 0 имеет участки S₁   и S₂, площади которых одинаковы и определяют число электронов в единице объёма металла, перешедших при нагреве образца с заполненных уровней (S₁) на незаполненные (S₂).

 

Интеграл п = позволяет получить приближённое значение E_F  при E_F > > kT.

.

 

Условие E_F > > kT выполняется для всего диапазона температур, при котором металлы существуют в твёрдом виде, а при температуре близкой к комнатной .

 

Вырожденный электронный газ

Вырожденный электронный газ – это газ, свойства которого существенно отличаются от свойств классического идеального газа вследствие неразличимости одинаковых частиц в квантовой механике.

Газ, состоящий из квантовых частиц, оказывается вырожденным тогда, когда среднее расстояние между частицами < a > становится меньше или сравнимым с дебройлевской длиной волны частицы λ _Б, т.е.  .

Температурой вырождения  называется температура, ниже которой проявляются квантовые свойства газа, обусловленные тождественностью его частиц. Для газа, состоящего из фермионов, температурой вырождения является температура Ферми Т _F, которая тем больше, чем меньше масса частиц и чем больше их концентрация. Так как масса электрона очень мала (т_е = 9, 1^.10 ^{– 30 кг ),} а концентрация электронов в металлах достаточно велика ( 10²⁸ … 10²⁹ м ^{– 3} ) то T_F ~ 10⁴ K.

 Электронный газ в металлах оказывается вырожденным при всех температурах, при которых металл остаётся в твёрдом состоянии.

Лекция 16

Термоэлектронная эмиссия

При повышении температуры металла кинетическая энергия теплового хаотического движения электронов увеличивается и может стать настолько большой, что некоторые из электронов смогут преодолевать потенциальный барьер U_o на границе металла и выходить наружу.

 

 

а – функция  распределения   F ( E )           

при Т₁ = 0  (пунктирная линия)

и при T₂ > 0  (сплошная линия)

 

б – значения U_o, E_F    и А_В    для

вольфрама

 

 

    При Т₁ = 0 свободные электроны не могут покидать вольфрам, поскольку глубина потенциальной ямы U_o = 13, 45 эВ превышает максимальное значение их кинетической энергии, равное E_F = 8, 95 эВ. При нагреве металла до температуры T₂ ~ 1000 K “хвост” функции распределения F ( E ) заходит за уровень U_o , т.е. у некоторой части электронов кинетическая энергия превышает глубину потенциальной ямы и они могут покинуть металл. Испускание электронов нагретыми телами называют  термоэлектронной эмиссией .

 Если металл поместить в электрическое поле, напряжённость которого     направлена к поверхности металла, то это поле будет отводить вышедшие электроны от металла. В вакууме вблизи поверхности металла будет создаваться направленное движение электронов, т.е. появляется термоэлектронный ток.

Термоэлектронную эмиссию можно наблюдать а помощью вакуумного диода – двухэлектродной лампы.

Катод такого диода обычно представляет из себя проволоку, по которой пропускают ток, для нагрева джоулевым теплом.

При холодном катоде электронам не хватает энергии, чтобы покинуть катод и ток через диод не течёт. При нагреве катода до высокой температуры (от 900 до 2900 К для разных типов катодов) электроны выходят с поверхности катода и ускоряются электрическим полем, создавая ток, текущий через диод.

Из типичной ВАХ вакуумно-

го диода следует, что при нагретом катоде ток через диод может протекать даже при отрицательных значениях подаваемого напряжения, то есть наиболее энергичные электроны, покинувшие катод, доходят до анода, несмотря на небольшое тормозящее электрическое поле.

    При положительном значении напряжения и между анодом и катодом вылетающие электроны увлекаются электрическим полем, но зависимость создаваемого электрического тока от напряжения не является линейной, т.е. закон Ома не выполняется. Начальный участок ВАХ достаточно хорошо описывается законом  «трёх вторых» Ленгмюра

I ~ u^3/2

 

    Такой характер зависимости I ( u ) обусловлен влиянием на движение электронов в лампе отрицательного пространственного заряда, формируемого электронами, не достигшими анода.

При дальнейшем увеличении и всё большая часть вылетевших с поверхности катода электронов будет увлекаться к аноду. Наконец начиная с некоторого напряжения, все испущенные катодом электроны будут падать на анод. Термоэлектронный ток в диоде достигает своего максимального значения I_S, называемого током насыщения.

Плотность тока насыщения j_S   характеризует эмиссионные свойства катода – максимальное число электронов, которое может испустить катод с единицы поверхности в единицу времени при данной температуре.

Величину j_S вычисляют по формуле Ричардсона–Дэшмана

 , где

А =  1, 2^.10⁶ А/(м²К²)  – универсальная константа (постоянная

                                               Ричардсона).

 

Видно, что j_S очень сильно зависит от А_В и Т. Так для вольфрама повышение температуры от 1000 К до 2500 К увеличивает плотность тока эмиссии практически от нуля до 3000 А/м², а покрытие поверхности вольфрама мономолекулярным слоем оксида тория ThO₂,  уменьшающее работу выхода, даёт возможность при  Т = 1900 К  получать j_S = 10 000 A/м²

 

Эффект Шоттки

Выясним, какие силы действуют на вылетевший из металла термоэлектрон и как они зависят от расстояния х от электрона до поверхности металла. Пусть х значительно превышает период кристаллической решётки, а поверхность металла является плоской и непрерывной.

 

а –  поле системы электрон–металл

   

б – поле, создаваемое электроном

  и его зеркальным изображени-

  ем    

Согласно методу зеркальных изображений, сила, которая действует на электрон   со  стороны   проводящей  поверхности,  отстоящей   от   него  на

расстоянии х, будет такой же, как между зарядами – е и +е, расположенными на расстоянии 2х друг от друга 

 .

 

Потенциальная энергия электрона в таком силовом поле

 .

Если к поверхности металла приложить внешнее электрическое поле , способствующее выходу электронов из металла, то потенциальную энергию электрона в электрическом поле можно представить в виде

 .

Суммарную потенциальную энергию электрона, находящегося вблизи поверхности металла, помещённого в электрическое поле, можно представить как

U = U _из + U _ЭЛ = U_o  .

Во внешнем электрическом поле работа выхода электрона из металла уменьшается на величину А_В. Это уменьшение приводит к тому, что большее число электронов преодолевает потенциальный барьер на границе металл–вакуум, что ведёт к увеличению силы тока электронной эмиссии ( эффект Шоттки ).

Расчёты дают выражение

∆ А_В =  , а формула Ричардсона–Дэшмана принимает вид

 .

Из металлов

Пусть вблизи поверхности металла имеется электрическое поле напряжённостью  , способствующее выходу электронов из металла.

Рассматривая эффект Шоттки, было показано наличие потенциального барьера на границе металл–вакуум. Туннелирование  электронов через такой барьер и объясняет явление холодной эмиссии – выход электронов из металла при низкихтемпературах.

Согласно представлениям классической физики, электрон не может преодолеть потенциальный барьер, но в квантовой механике вероятность туннелирования электрона из металла определяется коэффициентом прохождения через потенциальный барьер

 

 .

 

Для упрощения расчёта рассматривают туннелирование электронов через треугольный потенциальный барьер, где

 

   Коэффициент прозрачности такого барьера

 

 ,     

 

где верхний предел интегрирования определяется из условия U(x_o) = E.

 

Интегрируя, получаем

 .

Введём обозначение

 ,

где     имеет смысл напряжённости эффективного электрического поля.

                        Тогда     и плотность тока холодной эмиссии

(10⁸  10⁹ )В/м – усреднённое по энергиям электронов значение .

        

    Туннелируют через потенциальный барьер в основном электроны, энергия которых близка к энергии Ферми E_F.

        

    Чтобы создать большую напряжённость электрического поля   вблизи поверхности металла, автоэлектронные эмиттеры делают в виде поверхностей с малым радиусом кривизны: конуса, иглы, лезвия и т.д.

Лекция 13

Квантовые системы из одинаковых частиц

    Квантовые особенности поведения микрочастиц, отличающие их от свойств макроскопических объектов, проявляются не только при рассмотрении движения одной частицы, но и при анализе поведения системы микрочастиц ( систем электронов, протонов, нейтронов и т.д. ).

 

    Для системы из N частиц с массами т₀₁, т₀₂, … т_{0 i}, … m _{0 N}, имеющих координаты (x_i, y_i, z_i), волновая функция может быть представлена в виде

Ψ ( x ₁, y ₁, z ₁, … x_{i ,} y_i, z_i, … x_N, y_N, z_N, t ).

 

    Для элементарного объёма

       dV_i = dx_i^.dy_i ^.dz_i

величина

 =

 

определяет вероятность того, что одна частица находится в объёме dV₁, другая в объёме dV₂ и т.д.

    Зная волновую функцию системы частиц, можно найти вероятность любой пространственной конфигурации системы микрочастиц, а также вероятность любой механической величины как у системы в целом, так и у отдельной частицы и вычислить  среднее значение механической величины.

 

    Волновую функцию системы частиц находят из уравнения Шрёдингера

 , где

 оператор функции Гамильтона для системы частиц

 

 +  .

Здесь

   

 силовая  функция  для i -ой частицы во внешнем поле, а

        

    энергия взаимодействия i -ой и j -ой частиц.

12345Следующая ⇒

Поделиться: