Распределение Бозе – Эйнштейна

Идеальный газ из бозонов (бозе–газ) – описывается квантовой статистикой Бозе –Эйнштейна.

Распределение Бозе–Эйнштейна – закон, выражающий распределение частиц по энергетическим состояниям в бозе–газе:  при статистическом равновесии и отсутствии взаимодействия среднее число частиц в i - ом состоянии с энергией Е _i при температуре системы Т равно

_Б-Э =     , где

k  – постоянная Больцмана,

T  –  термодинамическая температура,

μ – химический потенциал – термодинамическая функция состояния, определяющая изменение внутренней энергии  системы.

Одним из условий термодинамического равновесия системы является равенство химического потенциала для всех частей системы.

 

Для систем бозонов с постоянным числом частиц химический потенциал может принимать только отрицательные значения ( μ < 0 ).

Величину    называют также числом заполнения энергетического уровня с энергией Е _i   ( далее будем для краткости писать просто Е ).

Из анализа распределения Б – Э следует, что число бозонов, находящихся на одном энергетическом уровне ( в одном состоянии ), ничем не ограничено и при малых значениях параметра   может оказаться очень большим, а при Е = 0 в системе бозонов может происходить бозе – конденсация , с которой связаны такие явления, как сверхпроводимость и сверхтекучесть.

 

Рассмотрим    случай    малых  чисел    заполнения    ( будем     считать

< < 1 ). Это условие выполняется при > > 1 или при > > 1. Тогда можно записать

 , где  .

 

Отсюда следует, что при малых числах заполнения, или, как говорят, в случае разреженного газа бозонов распределения Б – Э переходит в классическое распределение Максвелла – Больцмана.

                     < N>            

I – статистическое распределение Максвелла – Больцмана;

II –статистическое распределение Бозе – Эйнштейна

 

Газ, свойства которого в силу тождественности частиц в квантовой механике отличаются от свойств классического идеального газа, называют вырожденным газом .

Газ бозонов является вырожденным. Только в случае, когда < < 1, вырождение снимается и разреженный бозе–газ ведёт себя подобно классическому газу.

Обычные газы, атомы которых являются бозонами, при нормальных температурах и давлениях не являются вырожденными и подчиняются классической статистике. Вырождение для них наступает либо при очень низких температурах, либо при очень высоких давлениях, т.е. тогда, когда эти газы перестают быть идеальными.

С помощью распределения Бозе–Эйнштейна описываются свойства теплового излучения, теплоёмкость кристаллов и многие другие физические явления. 

Для систем бозонов с переменным числом частиц химический потенциал равен нулю ( μ = 0 ). Распределение Бозе–Эйнштейна для систем с переменным числом частиц принимает вид

 

 .

                                               

 

Пример: пользуясь распределением Б – Э можно получить формулу

            Планка для равновесного излучения.

 

Рассмотрим излучение, находящееся внутри замкнутой полости, стенки

которой нагреты до комнатной температуры Т. Это излучение представляет собой идеальный газ фотонов, т.е. систему бозонов с переменным числом частиц, распределение по энергиям которых с учётом того, что     описывается выражением

    Плотность квантовых состояний g ( E ), т.е. число состояний приходящихся на единичный энергетический интервал, для фотонов описывается выражением

 , где

 

V – объём полости; с – скорость света в вакууме; Е/с – импульс фотонов

 

(по аналогии с плотностью квантовых состояний   для нерелятивистских электронов с импульсом  )

 

    Энергия излучения в узком энергетическом интервале от Е до (Е+ dE) складывается из энергий отдельных фотонов и равна

< N _ф > ^.g _ф(E)^.E^.dE

В частотном интервале, соответствующему данному энергетическому интервалу

от      до

можно получить выражение для той же самой энергии с помощью объёмной спектральной плотности энергии излучения и_{ω, Т} , представляющей собой энергию излучения в одиночном частотном интервале, отнесённую к единице объёма

u_{ω , T} ^.. V ^. dω = < N _ф > g _ф ( E ) E ^. dE.

 

Тогда, заменив    dE    на     и Е на      получим

 

 .

Лекция 15

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: