Электронный газ в металлах

Модель свободных электронов в металлах предполагает, что при образовании кристаллической решётки от атомов отщепляются некоторые слабее всего связанные с ними (валентные) электроны.

Электроны проводимости, обеспечивающие электропроводность металлов, в первом приближении можно рассматривать как идеальный газ свободных электронов , для которых металлический проводник является потенциальной ямой.

 

В случае Т = 0 электроны располагаются на самых нижних доступных для них энергетических уровнях.

Согласно принципу Паули, на

каждом энергетическом уровне будет находиться по два электрона с различной ориентацией спинов .

Если число электронов в металлическом проводнике  равно N, то при Т = 0 будут заполнены первые N/2 уровней с энергией E . Число заполненных и свободных энергетических уровней очень велико, и они расположены настолько плотно, что энергетический спектр электронов можно считать квазинепрерывным.

    Найдём функцию распределения электронов проводимости по энергиям.

    Число электронов dN, энергия которых лежит в интервале от Е до    равно

, где

    -  плотность квантовых состояний электронов в 

                                                 металле. т.е. число состояний, приходящихся на единичный энергетический интервал.

    Полное число свободных электронов в металлическом проводнике с объёмом V

 

N =  = V

    Концентрация электронов п в металле

 

п =  = .

    Функцию

F(E)  =   =

 

называют   функцией распределения свободных электронов по энергиям.

    С помощью функции распределения F ( E ) можно найти среднее значение любой физической величины Q, зависящей от Е

При Т = 0 функция F ( E ) имеет вид

                              

             F(E) =

Распределение электронов по энергиям описывается выражением

                dn =

Из физического смысла функции распределения следует, что площадь под кривой F ( E ) численно равна концентрации п свободных электронов в металле.

 Верхний предел интегрирования для вычисления  п  при Т = 0 нужно брать равным E_F(0). Тогда интегрируя, получаем

 

п = .

 

    Отсюда находим E_F(0):

E_F(0) =

    Расчёты показывают, что энергия Ферми электронного газа в металлах составляет несколько электрон–вольт.

 

    Наряду с энергией Ферми вводится понятие  температуры Ферми Т _F, которая определяется следующим образом:

kT_F = E_F(0)  .

    Справа представлено схематическое распределение электронов по энергетическим уровням при Т > 0

    Все состояния, энергия которых меньше энергии Ферми на величину порядка kT, заняты электронами. Все состояния, энергия которых превосходит энергию Ферми на величину порядка kT, оказываются свободными. В области энергий шириной порядка kT  вблизи энергии Ферми имеются уровни, частично заполненные электронами. Только электроны, заполняющие уровни в этой области, могут принимать участие в различных физических процессах в металлах. Только их энергия может изменяться в ходе этих процессов.

 

 

Зависимость   F ( E ) при Т> 0 имеет участки S₁   и S₂, площади которых одинаковы и определяют число электронов в единице объёма металла, перешедших при нагреве образца с заполненных уровней (S₁) на незаполненные (S₂).

 

Интеграл п = позволяет получить приближённое значение E_F  при E_F > > kT.

.

 

Условие E_F > > kT выполняется для всего диапазона температур, при котором металлы существуют в твёрдом виде, а при температуре близкой к комнатной .

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: