Распределение Ферми–Дирака

Квантовая  статистика Ферми–Дирака описывает идеальный газ из фермионов – ферми–газ.

Распределение Ферми–Дирака  –  закон, выражающий распределение частиц по энергетическим состояниям в ферми–газе:

  при статистическом равновесии и отсутствии взаимодействия среднее число частиц в i –ом   состоянии с энергией E_i при температуре Т равно:

 

.

 

Из этой формулы следует, что < N_i > _Ф-Д не может быть больше единицы. Это означает, что в одном квантовом состоянии не может находиться более одной ферми–частицы, что согласуется с принципом Паули

Химический потенциал для фермионов может быть только положительным ( μ > 0 ). Иначе при   числа заполнения стали бы равными нулю, чего естественно быть не может.

Для случая малых чисел заполнения ( < N_i > _Ф-Д < < 1 ) получаем

и

Тогда (пренебрегая единицей в знаменателе) получаем

 , где  А =

Распределение Ферми–Дирака при малых числах заполнения (разреженный газ фермионов) переходит в классическое распределение Максвелла–Больцмана.

 

I – статистическое распределение

Максвелла–Больцмана;

 

II – статистическое распределение

  Ферми–Дирака.

 

Можно сделать вывод, что разреженные квантовые газы  (и в случае бозонов, и в случае фермионов) не являются вырожденными и подчиняются классической статистике.

Хотя квантовая статистика в данном случае приводит к тем же результатам, что и классическая, квантовая природа  частиц газа остаётся неизменной.

 

Кардинальное различие между статистическими распределениями Максвелла–Больцмана и Ферми–Дирака наблюдаются при  . Классические частицы могут накапливаться в одном и том же состоянии в большом количестве. Для них < N_i >  тем больше, чем меньше их энергия Е. Что же касается фермионов, то максимальное их число в одном квантовом состоянии не может превышать единицу, что согласуется с принципом Паули.

 

Химический потенциал μ имеет размерность энергии и в случае фермионов его называют энергией Ферми  или уровнем Ферми  и обозначают E_F. При этом распределение Ферми–Дирака принимает вид

 

< N_i > _Ф-Д =  .

Энергия Ферми является медленно меняющейся функцией температуры Т.

 

При  получаем

< N_i > _Ф-Д = 1 при E < E_F(0)

 

< N_i > _Ф-Д = 0  при  E > E_F(0)

 

Здесь Е _F(0) – значение энергии Ферми при Т = 0.

Полученные результаты показывают, что все квантовые состояния с энергиями E < E_F(0) оказываются занятыми фермионами, а все состояния с энергиями E > E_F(0)   –   свободными.

 

Физический смысл энергии Ферми заключается в том, что при   энергия Ферми E_F (0) является максимальной энергией, которой могут обладать фермионы .

Ниже приведены графики зависимости < N_i > от  Е при Т = 0 (слева) и при Т   (справа)

 

 

 

При Т = 0 распределение Ферми–Дирака представляет собой ступенчатую функцию единичной высоты, обрывающуюся при Е = Е _F(0).

 

При температуре отличной от нуля резкий скачок < N_i > _Ф-Д от единицы до нуля становится более размытым и происходит в области энергий, ширина которой порядка kT

При любой температуре отличной от нуля    при E = E_F.

 

Наряду с энергией Ферми E_F при анализе поведения ферми-частиц вводится также  импульс Ферми p_F и   скорость Ферми υ _F , определяемые соотношениями

     и      .

Это максимальные импульс и скорость, которыми может обладать ферми-частица с массой т_о при температуре Т = 0.

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: