Введение в математический анализ.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА (КЧ)

Комплексным числом z называется выражение z = a+bi , где , i – мнимая единица. i ² = –1.

a – действительная часть КЧ или a = Re z.

b – мнимая часть КЧ или b = Im z.

 

0+bi = bi - чисто мнимое число

a + 0i = a - действительное число

0 + 1i = i	1 + 0i = 1	0 + 0i = 0
мнимая единица	обычная единица	обычный нуль

Z₁ = a₁ + b₁i

Z₂ = a₂ + b₂ i

Действия над КЧ.

Z₁  Z₂ = (a₁  a₂) + (b₁  b₂) i – сложение/вычитание КЧ.

Возведение в степень мнимой единицы:

i¹ = i       i² = – 1  i³ = i       i⁴ = 1

Z₁  Z₂ = (a₁ + b₁ i) (a₂ + b₂ i) = a₁ a₂ + a₁ b₂ i + a₂ b₁ i + b₁ b₂ i² =

 = (a₁ a₂ – b₁ b₂) + (a₁ b₂ + a₂ b₁) i – произведение КЧ.

Сопряженным числом ( ) для данного комплексного числа называется число, которое отличается только знаком мнимой части от данного числа.

          

Пример:

 

 – деление КЧ.

Пример:

Комплексная плоскость.

Z = a + b i – алгебраическая форма записи КЧ.

Модуль КЧ.

Аргумент КЧ.

Аргумент КЧ – .

Полярная систе

ма координат

Декартова система.                     Полярная система.

 – полярный радиус,  – полярный угол,   – полярные координаты.

Пример:

 

 – тригонометрическая форма записи КЧ.

Примеры:

Формула Эйлера.

– Формула Эйлера

 

– взаимосвязь между e, i и

– показательная форма КЧ.

КЧ не сравнивают между собой. Множество КЧ не упорядоченно.

Возведение в степень КЧ.

При возведении в степень модуль возводиться в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Формула Муавра.

Возведение во 2 – ю и 3 – ю степень по формуле Муавра:

Используя равенство КЧ, получим:

Извлечение корня из КЧ.

k = 0, 1…,n – 1.

Корень n – ой степени из КЧ имеет n различных значений.

Примеры:

1)

2)

Все корни n-ой степени из единицы находятся на единичной окружности и делят эту окружность на n равных частей.

 

Введение в математический анализ.

N – натуральные числа, Q – рациональные(дробные), Z – целые числа

R – все действительные

M(N) = A⁰, где M – множество, A⁰ – алеф нуль.

Счетное множество – это множество, элементы которого можно посчитать.

 – счетные и имеют одинаковую мощность

R – несчетное

Множество действительных чисел всюду плотны на всей числовой оси.

 [a, b] – замкнутый

 (a, b) – открытый

 

 

Окр [x₀] – окрестность точки x₀ , любой открытый промежуток, содержащий x₀.

Окр [x₀] = (a, b), где (a, b) содержит x₀ – это окрестность.

ax₀ = x₀b,  – окрестность x₀

Кванторы

1)  – кванты всеобщности;

2)  – кванты существования.

|x – x₀| – расстояние от точки x до точки x₀

Рисунок.

Числовой функцией (f) называется соответствие между числовыми множествами X Y, при котором каждому значению x соответствует (сопоставимо) некоторое значение y.

             

                 y = f (x)

      

образ x      прообраз y      

 

     У каждого прообраза всегда один образ, у каждого образа может быть много прообразов.

Взаимнооднозначная функция  – это когда разные x имеют разные y.

Способы задания функций:

а) аналитический;

б) графический;

в) табличный;

г) алгоритмический.

Функции делятся на 2 класса

 

                    Элементарные          неэлементарные

                                                              (специальные)

     Элементарные функции изучаются в школьной математике и делятся на:

1) Базисные

а) Степенные y = xⁿ

б) Показательные y = a^x

в) Тригонометрические y = sin x

2) Остальные:

f

           

X     Y  

 

f ^-1 (обратная функция)

     Обратные показательным – логарифмические функции.

Обратные тригонометрическим – arc…

Пример:

     y = f (g(x)) – сложная функция – композиция элементарных функций.

    

     Элементарными функциями называются функции, полученные из элементарных базисных функций с помощью алгебраических операций и операций композиции.

Г(f) – график функции.

График функции есть множество точек (x, y), где y = f(x).

Общие свойства функций:

1) Четность –

2) Нечетность –

3) Периодичность –

Рисунок

f(x) – ограниченная сверху, если

f(x) – ограниченная снизу, если

f(x) – ограниченная, если

f(x) – монотонная, если она постоянно возрастает или постоянно убывает

Если y = f(x), то Д – область определения данной функции.

Свойства модулей суммы и разности:

 

Теория пределов

Число b называется пределом функции в точке а, если для любой  – окрестности точки b существует   – окрестность точки а.

 

 – предел функции при , равный b.

     Число b называется пределом функции при неограниченном возрастании аргумента . Для любого существует такое N, и если , то .

Примеры :

y = f(x) =      

y = f(x) = x²                        

1)

2)

Пример:

y = , когда ,

Неопределенности.

 

Раскрытие неопределенностей.

Рис (необязательно).

Бесконечно малой величиной при  называется функция, предел которой в точке a равен 0.

      – бесконечно малая величина (б.м.в.).

1)  – бесконечно малая величина при

2)  – бесконечно малая величина при

Бесконечно большой величиной при  называется функция неограниченно возрастающая.

      – бесконечно большая величина (б.б.в.)

Любая бесконечно большая величина неограниченна.

Разрыв первого рода.

Пусть  и  существуют:

I. Если , то в точке функция испытывает разрыв скачок первого рода.

Примеры:

1)

2)  – целая часть числа x.

 

 

3)  – дробная часть от числа x.

II. Если , то в точке функция испытывает устранимый разрыв первого рода.

Примеры:

1)

 

2)  

Рисунок.

 

 

3)

4)

Рисунок.

Разрыв второго рода.

Функция испытывает разрыв второго рода, если  – не существует.

 

Свойства функции непрерывной на замкнутом отрезке.

Пусть функция  непрерывна на замкнутом отрезке .

Теорема 1. Функция принимает наибольшее и наименьшее значение на . Или , где .

Теорема 2. Функция принимает все свои промежуточные значения на . Или , где  – область значений.

Теорема 3. Если функция принимает на концах отрезка  значения разных знаков, то внутри отрезка найдется точка, в которой . Или .

Производная функции.

Пусть функция  определенна в окрестности точки .

Тогда , где  и .

     Производная функции в точке есть предел отношения приращения функции ( ) и приращения аргумента ( ), когда .

Дифференцируемость.

Теорема.

Доказательство:

Пусть , определена и непрерывна в окрестности точки ( , , определена и непрерывна в окрестности точки .

Тогда .

 

Это верно при условии, что каждая из функций дифференцируема.

 

Теорема о производной обратной функции.

Теорема.

Доказательство:

Пусть  дифференцируемая в точке ( ).

 - обратная к .

Обратная функция существует если  монотонная функция.

Тогда

 

Производная сложной степенной функции.

Прием логарифмического дифференцирования.

 

Производная неявной функции.

– общий вид неявно заданной функции.

 

 

Теорема Каши о среднем.

Доказательство:

Пусть  - гладкие на .

 на

Тогда :  , где .

F – гладкая на отрезке . По теореме Роле : .

 

 

 по условию, а  так как иначе по теореме Рояля , что противоречит условию.

 

Треугольник Паскаля.

 

Исследование функции.

План общего исследования функции.

1. Область определения, четность, периодичность.

2. С помощью пределов выясняем непрерывность, ищем асимптоты.

3. С помощью первой производной – монотонность и экстремумы.

4. С помощью второй производной – выпуклость и вогнутость, точки перегиба.

5. График функции.

Монотонность.

Функция называется возрастающей если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, а меньшему соответствует меньше.

 

Функция называется убывающей если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, а меньшему соответствует большее.

 

Теорема. У возрастающей функции производная больше 0 ( ).

Доказательство:

 

x		-1
y		min
	–	0	+

 

 

Экстремумы функции.

Точка -называется точкой max, если существует некоторая окрестность точки, что для любой точки x из этой окрестности .

 

Точка -называется точкой min, если существует некоторая окрестность точки, что для любой точки x из этой окрестности .

Необходимый признак экстремума, если  -точка экстремума.

 

Если и , то это точка экстремума.

Если  - точка экстремума и существует , то производная =0.

Точка, в которой производная, равна нулю, называется критической точкой.

, теорема Логранжа.

Первый достаточный признак экстремума.

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с ”+” на “-“,то в этой точке максимум.

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с ”-” на “+“,то в этой точке минимум.

 

Второй достаточный признак экстремума.

Асимптоты

Вертикальные                   Наклонные    Горизонтальные

(частный случай наклонной асимптоты)

I. Вертикальные асимптоты всегда имеют уравнение , где  – точка разрыва второго рода.

Значит  

II. Наклонная асимптота имеет вид .

 

Пример:

 – вертикальная асимптота, т.к.

Наклонная асимптота

Возможные варианты графика функции.

Примеры исследования функции:

I.

1)    Функция нечетная.

2) вертикальные асимптоты, т.к.

Наклонная асимптота

3)

    

   

 

4)

   

 – точка перегиба.

Схематичный график данной функции:

3)     – функция нечетная.

 - при

 - при

 

4)

 - наклонных асимптот нет.

 

-горизонтальная асимптота.

 - точка перегиба.

5)

- вертикальная асимптота.

  

 

6)

 

-точка перегиба.

 

7)

 

 

 

8)

9) Декартов лист.

Полярные координаты.

 

 – декартовы координаты.

- полярные координаты.

 

 - архимедова спираль.

 

 

 

 

 -гиперболическая спираль.

 - кардиоида.

 - улитка Паскаля.

 - овалы Кассини.

 

 – Лемниската Бернкли.

 

 

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА (КЧ)

Комплексным числом z называется выражение z = a+bi , где , i – мнимая единица. i ² = –1.

a – действительная часть КЧ или a = Re z.

b – мнимая часть КЧ или b = Im z.

 

0+bi = bi - чисто мнимое число

a + 0i = a - действительное число

0 + 1i = i	1 + 0i = 1	0 + 0i = 0
мнимая единица	обычная единица	обычный нуль

Z₁ = a₁ + b₁i

Z₂ = a₂ + b₂ i

Действия над КЧ.

Z₁  Z₂ = (a₁  a₂) + (b₁  b₂) i – сложение/вычитание КЧ.

Возведение в степень мнимой единицы:

i¹ = i       i² = – 1  i³ = i       i⁴ = 1

Z₁  Z₂ = (a₁ + b₁ i) (a₂ + b₂ i) = a₁ a₂ + a₁ b₂ i + a₂ b₁ i + b₁ b₂ i² =

 = (a₁ a₂ – b₁ b₂) + (a₁ b₂ + a₂ b₁) i – произведение КЧ.

Сопряженным числом ( ) для данного комплексного числа называется число, которое отличается только знаком мнимой части от данного числа.

          

Пример:

 

 – деление КЧ.

Пример:

Комплексная плоскость.

Z = a + b i – алгебраическая форма записи КЧ.

Модуль КЧ.

Аргумент КЧ.

Аргумент КЧ – .

Полярная систе

ма координат

Декартова система.                     Полярная система.

 – полярный радиус,  – полярный угол,   – полярные координаты.

Пример:

 

 – тригонометрическая форма записи КЧ.

Примеры:

Формула Эйлера.

– Формула Эйлера

 

– взаимосвязь между e, i и

– показательная форма КЧ.

КЧ не сравнивают между собой. Множество КЧ не упорядоченно.

Возведение в степень КЧ.

При возведении в степень модуль возводиться в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Формула Муавра.

Возведение во 2 – ю и 3 – ю степень по формуле Муавра:

Используя равенство КЧ, получим:

Извлечение корня из КЧ.

k = 0, 1…,n – 1.

Корень n – ой степени из КЧ имеет n различных значений.

Примеры:

1)

2)

Все корни n-ой степени из единицы находятся на единичной окружности и делят эту окружность на n равных частей.

 

Введение в математический анализ.

12345Следующая ⇒

Поделиться: