N – натуральные числа, Q – рациональные(дробные), Z – целые числа

R – все действительные

M(N) = A⁰, где M – множество, A⁰ – алеф нуль.

Счетное множество – это множество, элементы которого можно посчитать.

 – счетные и имеют одинаковую мощность

R – несчетное

Множество действительных чисел всюду плотны на всей числовой оси.

 [a, b] – замкнутый

 (a, b) – открытый

 

 

Окр [x₀] – окрестность точки x₀ , любой открытый промежуток, содержащий x₀.

Окр [x₀] = (a, b), где (a, b) содержит x₀ – это окрестность.

ax₀ = x₀b,  – окрестность x₀

Кванторы

1)  – кванты всеобщности;

2)  – кванты существования.

|x – x₀| – расстояние от точки x до точки x₀

Рисунок.

Числовой функцией (f) называется соответствие между числовыми множествами X Y, при котором каждому значению x соответствует (сопоставимо) некоторое значение y.

             

                 y = f (x)

      

образ x      прообраз y      

 

     У каждого прообраза всегда один образ, у каждого образа может быть много прообразов.

Взаимнооднозначная функция  – это когда разные x имеют разные y.

Способы задания функций:

а) аналитический;

б) графический;

в) табличный;

г) алгоритмический.

Функции делятся на 2 класса

 

                    Элементарные          неэлементарные

                                                              (специальные)

     Элементарные функции изучаются в школьной математике и делятся на:

1) Базисные

а) Степенные y = xⁿ

б) Показательные y = a^x

в) Тригонометрические y = sin x

2) Остальные:

f

           

X     Y  

 

f ^-1 (обратная функция)

     Обратные показательным – логарифмические функции.

Обратные тригонометрическим – arc…

Пример:

     y = f (g(x)) – сложная функция – композиция элементарных функций.

    

     Элементарными функциями называются функции, полученные из элементарных базисных функций с помощью алгебраических операций и операций композиции.

Г(f) – график функции.

График функции есть множество точек (x, y), где y = f(x).

Общие свойства функций:

1) Четность –

2) Нечетность –

3) Периодичность –

Рисунок

f(x) – ограниченная сверху, если

f(x) – ограниченная снизу, если

f(x) – ограниченная, если

f(x) – монотонная, если она постоянно возрастает или постоянно убывает

Если y = f(x), то Д – область определения данной функции.

Свойства модулей суммы и разности:

 

Теория пределов

Число b называется пределом функции в точке а, если для любой  – окрестности точки b существует   – окрестность точки а.

 

 – предел функции при , равный b.

     Число b называется пределом функции при неограниченном возрастании аргумента . Для любого существует такое N, и если , то .

Примеры :

y = f(x) =      

y = f(x) = x²                        

1)

2)

Пример:

y = , когда ,

Неопределенности.

 

Раскрытие неопределенностей.

Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.

Если функция f(x) имеет предел в точке a ,то она ограниченна в некоторой окрестности точки a.

Доказательство :

Пусть , тогда , отсюда получаем . Обратное неверно.

Контрольный пример:

 в окрестности точки 0.

 – не существует.

Рис (необязательно).

Бесконечно малой величиной при  называется функция, предел которой в точке a равен 0.

      – бесконечно малая величина (б.м.в.).

1)  – бесконечно малая величина при

2)  – бесконечно малая величина при

Бесконечно большой величиной при  называется функция неограниченно возрастающая.

      – бесконечно большая величина (б.б.в.)

Любая бесконечно большая величина неограниченна.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: