Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой величиной.

     Если  – бесконечно малая величина при  – бесконечно большая величина.

     Если  – бесконечно большая величина при  – бесконечно малая величина.

Доказательство:

Допустим, что  – бесконечно малая величина при , то , что . Значит  

Следствие:  и

Свойства бесконечно малых величин:

1) Алгебраическая сумма бесконечно малых величин есть бесконечно малая:

Доказательство:

 или , значит  – бесконечно малая величина.

2) Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть бесконечно малая: , где f(x)  – ограниченная.

Доказательство:

, значит  – бесконечно малая величина.

3) Частное от деления бесконечно малой величины на любую функцию, предел которой не равен 0, есть бесконечно малая: при  и .

Теоремы о пределах.

Теорема 1. Предел суммы равен сумме пределов, если они существуют:  

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

Получаем

Теорема 2. Предел произведения равен произведению пределов, если они существуют:  

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

Получаем

Теорема 3. Предел частного равен частному пределов: . При условии: все пределы существуют и .

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

Получаем

 

Теорема 4. Предел сохраняет знак неравенства.

Если .

Доказательство:

Следовательно,

Следствие:

 

Теорема 5. Если функция ограниченна и монотонна на (a, b), то она имеет предел:

Теорема 6. Критерий Коши.

Если ,

тогда и только тогда .

Приемы раскрытия неопределенностей.

1) Выделение общего множителя (для неопределенности ).

Пример:

 

2) Умножение на сопряженное выражение (для неопределенности ).

Пример:

 

3) Выделение главной части (для неопределенности ).

Примеры:

 

  

 

Теорема. Первый замечательный предел .

Доказательство (геометрическое):

  

Так как , то .

Следствия из теоремы:

1)  

2)

3)

4)

5)

Теорема. Второй замечательный предел .

Доказательство:

Бином Ньютона.

, где .

Используем бином Ньютона для доказательства неравенства:

Отсюда заключаем, что , а значит .

Следствия из теоремы:

1)

2)

3)

4)

Доказательство:

Если принять, что , то

 

Примеры:

1)

Учитывая, что .

2)

.Отсюда A = e.

Учитывая, что .

 

Сравнение б.м.в.

Пусть  – бесконечно малые величины при , т.е. .

Определение 1. Если , то  – б.м.в. одного порядка малости.

Определение 2. Если , то  – б.м.в. более высокого порядка, чем .

 

 –  более высокого порядка, чем  ("о" – читается как "о малое").

 –  более низкого порядка, чем  ("О" – читается как "О большое").

Определение 3. Если , то  и  эквивалентны – .

Следствие из определения 3:  при .

Теорема. Если  и  эквивалентны ( ) , то  и .

Доказательство:

Пусть  – бесконечно малые величины при  и они эквивалентны ( ).

     Тогда .

 

 

Непрерывность.

Определение 1. Пусть функция  определена в окрестности точки , тогда функция непрерывна в , если .

Определение 2. Функция  непрерывна, если .

Определение 3. Функция  непрерывна в точке , если .

Приращение аргумента .

Приращение функции .

Определение 4. Функция  непрерывна в точке , если .

     Если функция не является непрерывной в точке , то эта точка – точка разрыва.

     Если функция непрерывна на отрезке (a, b), то функция неразрывна на отрезке (a, b).

Определение 5. Функция  непрерывна в точке  справа, если .

 

Определение 5. Функция  непрерывна в точке  слева, если .

     Функция непрерывна на отрезке , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и односторонне непрерывна на его концах.

Теоремы о непрерывных функциях.

Теорема 1. Сложение, умножение, деление непрерывных функций – непрерывны.

Доказательство:

Пусть  и .

Тогда .

Доказательство для умножения и деления аналогично доказательству для сложения.

Теорема 2. Композиция непрерывных функций непрерывна:

Функция  непрерывна в точке , если g(x) непрерывна в точке и f(y) непрерывна в .

Теорема 3. Все элементарные функции непрерывны.

Разрыв функции.

Разрыв первого рода.

Пусть  и  существуют:

I. Если , то в точке функция испытывает разрыв скачок первого рода.

Примеры:

1)

2)  – целая часть числа x.

 

 

3)  – дробная часть от числа x.

II. Если , то в точке функция испытывает устранимый разрыв первого рода.

Примеры:

1)

 

2)  

Рисунок.

 

 

3)

4)

Рисунок.

Разрыв второго рода.

Функция испытывает разрыв второго рода, если  – не существует.

 

Свойства функции непрерывной на замкнутом отрезке.

Пусть функция  непрерывна на замкнутом отрезке .

Теорема 1. Функция принимает наибольшее и наименьшее значение на . Или , где .

Теорема 2. Функция принимает все свои промежуточные значения на . Или , где  – область значений.

Теорема 3. Если функция принимает на концах отрезка  значения разных знаков, то внутри отрезка найдется точка, в которой . Или .

Производная функции.

Пусть функция  определенна в окрестности точки .

Тогда , где  и .

     Производная функции в точке есть предел отношения приращения функции ( ) и приращения аргумента ( ), когда .

Дифференцируемость.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: