Механический смысл производной.

Производная – это скорость изменения функции.

Геометрический смысл производной.

Производная – это тангенс наклона угла касательной к оси .

                 

 

 

Не мое!!!!

 

 при

 

Рис.

 

Вычисление производной.

Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точек.

 

при

 при , следует

Обратное не верно.

Пример:

1)

                                                                 

                                                            

 

Таблица производных.

 

Правила дифференцирования.

1) Производная от суммы равна сумме производных: .

Доказательство:

2) Постоянный множитель выноситься за знак производной: .

3) Производная произведения: .

Доказательство:

4) Производная дроби: .

Доказательство:

 

 

Вывод формул для производных.

 

1)

2)

3)

4)

5)

 

 

6)

7)

8)

   

 

9)  

 

 

10)

11)  

 

Теорема о производной сложной функции.

Теорема.

Доказательство:

Пусть , определена и непрерывна в окрестности точки ( , , определена и непрерывна в окрестности точки .

Тогда .

 

Это верно при условии, что каждая из функций дифференцируема.

 

Теорема о производной обратной функции.

Теорема.

Доказательство:

Пусть  дифференцируемая в точке ( ).

 - обратная к .

Обратная функция существует если  монотонная функция.

Тогда

 

Производная сложной степенной функции.

Прием логарифмического дифференцирования.

 

Производная неявной функции.

– общий вид неявно заданной функции.

 

 

Производная параметрически заданной функции.

Примеры параметрических функций:

 

1)            

 

 

2)  

3)  

 – дифференцируемы.

 

Пример:

 

Гиперболические функции.

 (гипер. синус)

  (гипер. косинус)

 (гипер. тангенс)

(гипер. котангенс)

 

arsh (ареа синус)

arсh (ареа косинус)

arth (ареа тангенс)

arcth (ареа котангенс)

 

 

Схематичные графики гиперболических функций:

 

Производные высших порядков.

Механический смысл второй производной – это ускорение.

Геометрический смысл второй производной – отвечает за вогнутость или выпуклость графика функции.

Дифференциал.

 – гладкая, непрерывная и дифференцируемая.

         

Дифференциалом называется главная (линейная) часть приращения функции.

если

Свойства дифференциала:

1)

2)

3)

4)

Доказательство для :

Остальные доказываются аналогично.      

 

Инвариантность формы дифференцирования.

Форма дифференциала функции (производная умножить на дифференциал аргумента), не зависит от того, является ли аргумент функции независимой переменной или функций другого аргумента.

 

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема Рояля, теорема о корнях производных.

Доказательство:

Пусть  гладкая на , .

Тогда :

Любая гладкая функция, имеющая на концах отрезка одинаковые значения имеет, внутри этого отрезка, хотя бы один корень производной.

 

     

при

 при

 

Теорема Каши о среднем.

Доказательство:

Пусть  - гладкие на .

 на

Тогда :  , где .

F – гладкая на отрезке . По теореме Роле : .

 

 

 по условию, а  так как иначе по теореме Рояля , что противоречит условию.

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: