Теорема Логранжа. Теорема о конечных приращениях.

Доказательство:

Пусть  гладкая на ,

Тогда : .

Пусть :

  

Геометрический смысл:

Для любой гладкой на замкнутом отрезке кривой найдется точка, в которой касательная параллельна хорде AB.

 

Правило Лопиталя (теорема Вернули – Лопиталя).

Пусть  и  гладкие в окрестности  и

Тогда

Правило Лопиталя: Придел отношения функций равен приделу отношения их производных.

Доказательство:

Применим теорему для  и , , где  точка в окрестности .

 

 где .

Примеры:

1)

2)

3)  

 

Формула Тейлора.

Пусть  определена и непрерывна и имеет все производные до n-ого порядка включительно, в некоторой точке .

- остаточный член в форме Тейлора.

- полином Тейлора для .

 

1)

2)

3)

, где k=0,1,2,…n.

 

Запись остаточного члена.

 – остаточный член в форме Логранжа.

 

– остаточный член в форме Каши.

 – остаточный член в форме Пиано.

 

Ряд Тейлора.

Формула Маклорена.

Любой многочлен совпадает со свой формулой Маклорена, при этом постоянный член равен 0.

1)             

2) 

3)

4)

5)

 

Треугольник Паскаля.

 

Исследование функции.

План общего исследования функции.

1. Область определения, четность, периодичность.

2. С помощью пределов выясняем непрерывность, ищем асимптоты.

3. С помощью первой производной – монотонность и экстремумы.

4. С помощью второй производной – выпуклость и вогнутость, точки перегиба.

5. График функции.

Монотонность.

Функция называется возрастающей если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, а меньшему соответствует меньше.

 

Функция называется убывающей если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, а меньшему соответствует большее.

 

Теорема. У возрастающей функции производная больше 0 ( ).

Доказательство:

 

x		-1
y		min
	–	0	+

 

 

Экстремумы функции.

Точка -называется точкой max, если существует некоторая окрестность точки, что для любой точки x из этой окрестности .

 

Точка -называется точкой min, если существует некоторая окрестность точки, что для любой точки x из этой окрестности .

Необходимый признак экстремума, если  -точка экстремума.

 

Если и , то это точка экстремума.

Если  - точка экстремума и существует , то производная =0.

Точка, в которой производная, равна нулю, называется критической точкой.

, теорема Логранжа.

Первый достаточный признак экстремума.

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с ”+” на “-“,то в этой точке максимум.

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с ”-” на “+“,то в этой точке минимум.

 

Второй достаточный признак экстремума.

Если в критической точке 2-ая производная больше нуля, то это точка минимума, а если в критической точке 2-ая производная меньше нуля, то это точка максимума.

Пример:

 

x		1		3
y		Max		Min
	+	0	-	0	+

 

Выпуклость и вогнутость.

⇐ Предыдущая12345

Поделиться: