Сферических волновых процессов

Специфической особенностью сферических волн является непрерывное изменение площади поверхности сферического фронта.

Сферическую волну, распространяющуюся от центра излучения на периферию, называют расходящейся.

Фронт расходящейся волны непрерывно увеличивается.

Волну противоположного направления распространения называют сходящейся.

Поверхность ее фронта непрерывно уменьшается, стремясь к нулю в некоторой точке, называемой центром схождения.

Площадь поверхности фронта равна 4π r ² , где r — радиус сферы фронта.

Опытами установлено, что амплитуда колебаний, наводимых распространяющимся волновым возмущением на разных расстояниях r от центра излучения или схождения, изменяется по закону обратной пропорциональности радиусу.

Если обозначить текущее значение амплитуды символом А, наблюдаемая зависимость выразится соотношением Ar = A ₁ r ₁ , где А₁ — условное значение амплитуды волны на удалении от центра r ₁=1. При этом амплитуда на любом радиусе r определится выражением

Единицу в числителе в этом и подобных отношениях мы будем опускать, условившись считать единицу в индексе при символе параметра знаком увеличения показателя длины в его размерности на единицу.

Такой закон изменения амплитуды соответствует сохранению в распространяющейся волне ее кинетической энергии, подсчитанной по всей поверхности фронта.

Количество движения расходящейся волны, приходящееся на единицу поверхности фронта, изменяется вместе с амплитудой по закону 1/ r, а подсчитанное по всему фронту увеличивается пропорционально радиусу.

Только при такой зависимости количества движения от радиуса обеспечивается постоянство кинетической энергии.

В теории уравнение сферической волны отличается от уравнения плоской добавлением множителя амплитуды 1/ r .

Это простое с виду изменение становится непреодолимым препятствием на пути к точному отображению связей между амплитудой и распределением параметров состояния по телу волны, так как необходимое при этом интегрирование наталкивается на интегральный синус, не выражаемый конечным числом элементарных функций.

Отсюда делается правильный вывод о нелинейном характере сферического волнового процесса, при котором точное отображение закона движения может быть достигнуто в форме сходящегося ряда тригонометрических функций.

Это громоздко и неудобно, поэтому теория прибегает к приемлемому для многих практических задач приближению, принимая амплитуду волны при интегрировании постоянной и ограничивая применимость условием r >> λ .

Для нашей цели это приближение неприемлемо, так как оно распространяется не только на количественный результат, но и на физический смысл происходящего.

Кроме того, нам важно выработать понимание процесса при всех условиях и особенно вблизи центра, чтобы исследовать сам процесс излучения расходящихся возмущений и переходные процессы на заключительном этапе схождения сходящейся волны.

Действительно, если на удалении от центра излучения r >> λ амплитуда волны существенна, то вблизи центра волна, скорее всего, имеет ударную форму, распространяется со значительно большей скоростью и представляет собой в большей мере телесное, чем ситуационное движение.

Поэтому именно вблизи центра переходные процессы могут приводить к изменению формы существования.

Заметим, что упомянутая зависимость амплитуды от радиуса здесь недействительна и вблизи центра длина волны много больше, чем на периферии.

На больших расстояниях от центра возмущения (схождения) в погрешностях вычислений могут скрываться погрешности передачи уравнением физического смысла процесса.

Последние могут накапливаться по ходу распространения или приобретать в каких-то условиях решающее значение.

 

 

Движение отдачи

 

Сначала проследим за распространением одиночной расходящейся волны отталкивания, уравнение которой задано распределением плотности:

,                                         (15)

 

где 0 ≤ x ≤ λ , x = Ct - r отмеряется от переднего фронта волны к заднему фронту, а Δρ₁ есть условный максимум приращения плотности в волновом теле при r =1, умноженный на этот единичный радиус.

Радиусом r здесь обозначается расстояние от центра излучения до положения равновесия того материального слоя, для которого рассчитываются параметры возмущения, и это как бы является основанием признать его постоянной величиной.

Но одновременно этот радиус обозначает текущее положение той фазы возмущения, параметры которой вычисляются, и в этом значении он есть величина переменная.

В знаменателе амплитуды значение радиуса определяется расстоянием от центра излучения до середины волны, где находится фаза максимума.

Этот радиус отличается от радиусов других фазовых сфер не более чем на половину длины волны.

Но, учитывая малость длины волны по сравнению с радиусом, этим отличием при вычислениях пренебрегают.

Чтобы особенности сферического процесса выступили более выпукло, выявленные выше явления трансформации учитывать не будем.

Амплитуду волны примем малой:     .

 

В предположении сохраняющейся формы волны уравнение (6) справедливо по отношению к каждой фазе волны:

Распределение скорости переноса материи в некотором масштабе повторяет распределение плотности.

Его можно получить простой подстановкой соответствующего множителя в последний член уравнения волны:

 

.                                        (15a)

 

В каждой фазе плотность имеет свое значение, но по условию малости возмущения этим различием пренебрегают, принимая в знаменателе приближенно ρ=ρ ₀.

Давление и плотность связаны адиабатой Пуассона: p = p ₀ ( ρ / ρ ₀ )^а.

Малость изменения этих величин позволяет использовать приближение:

В этом приближении уравнение приобретает вид: .

Отсюда   .            (15б)

 

Индекс начальной скорости опущен, как принято в теории малых возмущений, поскольку отношение С/С_о очень близко к единице.

Уравнения (15а) и (156) тоже можно рассматривать как уравнения волны, заданной соответственно распределением скорости или распределением приращения давления.

Однако ниже будет показано, что утверждение о сохранении энергии волнового возмущения относительно справедливо только по отношению к цугам периодического возмущения, а энергия одиночных волн в процессе распространения изменяется.

Поэтому множитель 1/ r при амплитуде одиночной волны не верен.

Обозначим: Ц— количество центробежного движения волны, подсчитанное по всему фронту по формуле Ц=4πρ²ц ,

где есть количество этого движения на единицу

 

поверхности фронта.

Вычисления приводят к выражению:

 

Ц=2πСλΔρ₁ r ,                                                           (16)

 

из которого видно, что количество движения расходящейся волны действительно увеличивается пропорционально радиусу.

Так как все члены произведения в правой части, стоящие перед радиусом, в оговоренных условиях можно рассматривать как постоянные величины, дифференциал количества центробежного движения по радиусу постоянен:

 

dW=2πСλΔρ₁· dr .                                                       (16a)

 

Здесь возникает вопрос, каким образом в этом процессе удовлетворяется закон сохранения количества движения.

Ссылка на уравновешенность приращений количества движения в диаметрально противоположных элементах волны неуместна, так как в непосредственном взаимодействии они не находятся.

Построим малый телесный угол с вершиной О в центре волновой сферы, вращая плоский угол β относительно одной из своих сторон (см. рис. 5).

Конус телесного угла выделит элемент волнового тела.

Количество движения в этом элементе нарастает пропорционально радиусу с тем же коэффициентом, что и во всей волне.

Рассмотрим взаимодействие выделенного элемента с внешней средой по границам выделения.

Внешнее давление на элемент со стороны переднего и заднего фронтов одинаково и равно p ₀ .

Давление на боковую поверхность элемента, образованную пересечением конуса телесного угла со сферическим слоем волнового тела, переменно по х.

Его можно представить уравнением р(х) =р₀+Δр(х).

Таким образом, внешнее воздействие на элемент представлено давлением р₀, равнодействующая которого равна нулю по причине замкнутости поверхности элемента и плюс к тому избыточным давлением Δр, распределенным по конической боковой поверхности элемента по известному нам закону (15б).

Разложив элементарные силовые воздействия избыточного давления на составляющие, параллельные биссектрисе телесного угла и перпендикулярные ей, обнаружим, что первые складываются в неуравновешенную силу радиального направления

,                                       (17)

   

 

а последние уравновешиваются.

С учетом Sinβ≈β вычисление интеграла обнаруживает постоянство значения силы:

.                                              (17a)

 

Обозначим количество движения элемента произведением т V .

Тогда:

Отcюда: d ( mV )= πCλβ ² Δρ ₁ dr .

 

Полный телесный угол в 4/β² раз больше малого телесного угла, выделившего элемент волны.

Совокупность элементарных воздействий f по всей поверхности волновой сферы сложится в центробежное воздействие на волновое тело:

.                                                (17б)

 

Под этим воздействием количество движения волны изменяется по закону: d ( MV )=4π CλΔρ ₁ · dr , где произведением MV обозначено количество центробежного движения волны исследуемой формы (15).

Сопоставляя последний результат с выражением (16а), убеждаемся, что количество движения в волне формы (15) увеличивается вдвое быстрее, чем следует из закона пропорциональности радиусу.

В таком случае должна увеличиваться кинетическая энергия волны.

И действительно, неуравновешенная сила f приложена к движущимся элементам материи и совпадает по направлению с перемещением этих слоев.

Совершаемая при этом работа затрачивается на пополнение кинетической и потенциальной энергии волнового слоя.

Эти результаты обнаруживают неустойчивость волны формы (15), поскольку первая степень радиуса в знаменателе амплитуды утверждает, что далее такая волна будет распространяться с сохранением энергии, а это не так.

Мы произвольно задали форму волны, а эта форма, как выяснилось, не соответствует волне сохраняющейся энергии.

Обратим внимание на то обстоятельство, что неуравновешенная сила f будет совершать работу и нагнетать кинетическую энергию любой одиночной расходящейся волны или любого положительного или отрицательного элемента периодического возмущения, когда параметры состояния материи в переднем и заднем фронтах такие же, как в невозмущенной материи.

И поскольку, по наблюдениям, в распространяющихся периодических возмущениях сохраняются и форма, и энергия, это утверждение справедливо не только по отношению к возмущению в целом, но и по отношению к каждому его положительному или отрицательному элементу в отдельности.

Отсюда следует вывод, что параметры состояния материи в переднем и заднем фронтах таких элементов различны.

Между фронтами существует перепад давления, компенсирующий избыток воздействия по боковым поверхностям и каким-то образом нейтрализующий работу неуравновешенной силы.

Попробуем вскрыть эти отношения.

Если кинетическая энергия расходящейся волны сохраняется, а количество движения нарастает пропорционально радиусу, то энергия вытеснения тоже должна возрастать пропорционально радиусу:

       .                                      (18)

 

Здесь B — энергия вытеснения; S ₁— условный перенос материального слоя волной единичного радиуса, умноженный на единицу длины, а отношение S ₁ / r = S _λ есть перенос материального слоя, положение равновесия которого находится на удалении r от центра излучения.

В связи с увеличением количества движения волны пропорционально радиусу, в волне сохраняющейся энергии увеличивается и перенос материи через каждую фиксированную в пространстве сферическую поверхность.

Если выделить сферический пространственный слой радиусами r и r +Δ r и подсчитать изменение количества материи в этом слое, определяемое различием вноса и выноса материи положительной волной при входе и выходе, обнаружится понижение плотности материи и энергии в тылу волны.

Изъятую из каждого слоя пройденного пространства материю и энергию волна уносит с собой в форме содержащейся в ее теле избытка материи и энергии вытеснения.

Давление в тылу волны снижается ниже уровня p _0.

Возникает перепад давления между передним и задним фронтами с соответствующим снижением значения неуравновешенной силы f.

Подсчитав приращение объема элементарного сферического слоя материи, перенесенного волной в новую позицию, легко убедиться, что изъятая из него энергия точно равна приращению энергии вытеснения волны на пути в толщину этого слоя.

Пониженное давление в тылу волны является предпосылкой к образованию центростремительного движения, наличие которого могло бы удовлетворить закон сохранения количества движения.

Снова обратимся к процессу в малом телесном угле.

Ничего не изменится, если коническую поверхность телесного угла считать непроницаемой, а трение во взаимодействии элемента с этой поверхностью отсутствующим.

Материальные слои, перемещающиеся вдоль оси конуса, расширяются по фронту.

Работа расширения переходит в энергию их же направленного движения, но во взаимодействиях ситуационного движения передается по направлению распространения волны вместе с волновым возмущением как направленная добавка к внутреннему взаимодействию в теле волны.

Взаимодействие можно считать одновременно и дискретным, поскольку оно осуществляется микроносителями, и непрерывным, поскольку в макроскопических масштабах множественные взаимодействия микроносителей сливаются в единое макроскопическое взаимодействие.

В паре взаимодействующих сферических слоев всегда один внутренний, а другой внешний.

Суть взаимодействия не будет искажена, если приём возмущения от внутреннего материального слоя и передачу возмущения внешнему слою разнесем во времени и будем считать их совершающихся, соответственно, во внутреннем и внешнем столкновениях.

В расходящейся волне возмущение передается от внутреннего слоя к внешнему слою.

Разобьем заключенную в малом телесном угле материю на слои равной толщины Δ r .

Волновое возмущение, распространяющееся в объеме телесного угла, тоже окажется разбитым на элементы, содержащиеся каждый в своем слое.

Сначала исследуем распространение одного элемента возмущения.

Зададим слою, расположенному на расстоянии r =1 от вершины угла скорость V = V ₁ в положительном направлении радиуса и проследим последовательную передачу этого возмущения от слоя к слою в парных столкновениях.

Скорость движения слоя, несущего возмущение, обозначим V , а послеударную скорость слоя, только что принявшего возмущения V +Δ V .

Таким образом, V является дискретной функцией радиуса.

При упругом центральном ударе движущегося тела по такому же неподвижному телу ударяющее тело останавливается, а ударяемое вступает в движение со скоростью ударявшего.

Но в нашем случае ударяемое тело в ((r +Δ r)/r)² раз массивнее ударяющего.

В этом случае послеударная скорость ударяемого тела определится из уравнения:

 

.

 

Отсюда:         .

 

В пределе Δ r →0 получаем дифференциальное уравнение:

 

.                                                         (19)

 

Решение этого уравнения: V = V ₁ / r обнаруживает обратную пропорциональность между скоростью переходящего от слоя к слою движения и радиусом сферы слоя, совершающего это движение в данный момент времени.

Поскольку масса сферического слоя толщины Δ r пропорциональна квадрату радиуса, количество передаваемого движения увеличивается пропорционально радиусу.

Таким образом, анализ передачи возмущения от слоя к слою в столкновениях слоев приводит именно к таким результатам, которые наблюдаются на опыте.

Послеударная скорость материального слоя, столкнувшегося с более массивным неподвижным слоем, не равна нулю.

Слой приобретает некоторую скорость отдачи ΔV `, определяемую уравнением:

 

.

 

Произведя вычисления и переход к пределу Δr→0, получим дифференциальное уравнение:

.                                                      (20)

 

Это уравнение нужно понимать так.

В каждом слое, через который передан элемент волнового возмущения, возникает элементарное движение отдачи dV `.

Во время прохождения волны через данный слой движение отдачи накапливается.

Текущее значение скорости отдачи можно вычислить интегрированием по фазам переданного возмущения от 0 до х, а после полного прохождения волны от 0 до λ.

Приращение движения отдачи в каждом слое компенсирует приращение центробежного движения.

Проверять это нет необходимости, поскольку исходные уравнения, из которых выводились уравнения (19) и (20), основаны на законах сохранения энергии и количества движения.

В тылу положительного возмущения сохраняющейся формы движение отдачи складывается в центростремительный поток постоянного расхода.

На значительных расстояниях от центра плотность энергии движения отдачи много меньше плотности волновой энергии.

Но факт состоит в том, что на каждом пройденном волной участке остается движение отдачи, энергия которого добавляется к энергии ранее порожденного движения отдачи, тогда как энергия расходящейся волны сохраняется.

Следовательно, движение отдачи образуется за счет энергии, изъятой из среды.

Этот вывод вытекает непосредственно из законов сохранения энергии и количества движения, примененных при выводе уравнений (19) и (20).

И это означает, что второе начало термодинамики находится в противоречии с этими законами.

Существуют аналогия и различие между процессами приращения количества центробежного движения в сферической волне и в упругом твердом теле такой же формы, предварительно сжатом до меньшего радиуса.

В обоих случаях центробежное движение возникает за счет внутренней энергии тела.

Различие состоит в том, что по исчерпании энергии упругой деформации в твердом теле приращение количества центробежного движения становится отрицательным, а энергия этого движения снова переходит в энергию деформации, но теперь противоположного знака.

В волне же состав материи меняется.

Отработанную материю, в которой уже наведена деформация противоположного знака с изъятием части внутренней энергии, волна непрерывно оставляет в тылу заднего фронта, а передним фронтом она захватывает свежую материю и наводит в ней деформацию сжатия все большей энергии.

Указанное различие намекает на зависимость приращения количества движения волны от соотношения в ней ситуационной и телесной форм движения.

Теперь будем искать движение отдачи симметричного цуга. Пусть цуг, приобретший относительную стабильность, задан распределением скорости:

,                                   (21)

где       — уравнение огибающей амплитуд цуга;

 

х - расстояние от переднего фронта цуга до фронта, в котором вычисляется параметр состояния, 0≤х≤ nλ;

n — число волн, составляющих цуг;

r—радиус сферы переднего фронта цуга, r = Ct;

t— время, отсчитанное от момента начала излучения возмущения.

Цуг изображен на рисунке 4.

Нам нужно определить закон распределения смешений в области определимости цуга.

Для этого нужно умножить правую часть уравнения (21) на dt и интегрировать по времени.

В правой части переменная t входит в состав аргумента синуса и в скрытом виде в состав знаменателя огибающей амплитуд.

Такой интеграл не выражается конечным числом элементарных функций, поэтому его вычисляют приближенно, принимая радиус заданным и вынося его из-под знака интеграла.

Иначе говоря, расчет ведется по правилам плоской волны.

В этом подходе текущее смешение S выражается уравнением:

      .                            (22)

 

Есть возможность несколько улучшить взаимное соответствие между распределениями скорости и смещения, поврежденное при приближенном интегрировании.

Для общности отображения подставим в знаменателе амплитуды значение r = Ct .

Знаменатель примет вид: 2 nC ² t .

Далее дифференцируем уравнение (22) по времени и производим в полученном результате обратную замену С t = r .

Получаем:

 

.      (23)

 

Таким образом, уравнение (22) является точной первообразной уравнения (23), а не (21).

Использованным приемом мы не преодолели проблемы интегрального синуса, а только уточнили отношение между скоростью переноса и текущим смещением и выявили форму движения отдачи в симметричном цуге.

Если волна задана законом распределения смещений (22), то соответствующее ему распределение скорости описывается уравнением (23), отличающимся от уравнения (21) учетом движения отдачи.

Движение отдачи V представлено вторым слагаемым в квадратных скобках.

Оно приняло вид гармонического колебательного движения, хотя положительные полуволны цуга оставляют за собой поток центростремительного, а отрицательные — поток центробежного движения.

Периодическая смена направления движения потока в каждом сечении происходит как колебание свободной массы под воздействием  периодической внешней силы.

Убедиться в том, что второе слагаемое выражает движение отдачи, можно путем непосредственного конструирования уравнения (23) с использованием дифференциальных уравнений (19) и (20).

Таким образом, уравнение (23) описывает наложение двух движений разного рода, совершающихся по своим законам каждое.

На рис.6 представлены графики скоростей переносного движения V , движения отдачи V ` и их суммы V + V ’, относящиеся к срединной части цуга.

Масштаб движения отдачи сильно искажен в сторону увеличения, для обеспечения визуального восприятия.

Обратите внимание на то, что суммарное движение опережает переносное, будто бы перенос каждого материального слоя начинается до наложения на него возмущающего воздействия, а прекращается до снятия этого воздействия.

Опережение возникает в связи с тем, что движение отдачи каждой предшествующей полуволны передается последующей полуволне с направлением, совпадающим с направлением ее переносного движения.

Переход движения отдачи в волновое движение происходит путем смещения границы раздела между полуволнами вперед по направлению распространения, так как возникающее в конце полуволны переносное движение противоположного направления приходится признавать принадлежащим следующей полуволне.

В результате этого каждая полуволна непрерывно прирастает спереди и усекается сзади.

Соответственно смещается и срединное сечение каждой полуволны, которое, согласно схеме смешений, должно совпадать с положением равновесия материального слоя в колебательном процессе.

Наводимое движением отдачи возмущение среды создает перепад давления между передним и задним фронтами полуволн.

Это видно непосредственно на рис.6.

Так как в расходящихся возмущениях распределения плотности материи, плотности внутренней энергии, давления и скорости переноса пропорциональны, график V ’ можно рассматривать как распределение плотности материи, по которой распространяется возмущение V .

На рисунке видно, что перепад давления оказывает центростремительное воздействие на положительную полуволну и центробежное на отрицательную полуволну.

С учетом этих воздействий возникшее ранее несоответствие неуравновешенной силы f и ее работы наблюдаемым фактам, по-видимому, будет устранено.

Соответственно двум движениям, суммируемым в правой части уравнения (23), энергия расходящейся волны тоже должна состоять из двух слагаемых.

Из них первое слагаемое должно в процессе распространения сохраняться по величине, а второе быстро убывать.

Происхождение второго слагаемого понятно, оно возникает в связи с отражением от источника излучения движения отдачи каждой излучаемой волны.

Потеря энергии второй составляющей движения, по-видимому, связана с тем, что это движение не является распространяющимся, а в материи всякое возмущение стремится распространиться.

Куда уходит эта энергия?

Если безоговорочно верить уравнению (23), то во внутреннюю энергию среды.

Но безоговорочно верить нельзя.

Поэтому не исключено, что хотя бы часть этой энергии переходит в энергию распространяющегося возмущения, представленного первым слагаемым.

Энергия движения отдачи относится к энергии переносного движения как (λ/2π r )², поэтому в большей мере оно проявляется при малых радиусах волновой сферы.

Так, в явлении, известном в авиации, как звуковой барьер, необходимость отражения движения отдачи порождает дополнительное сопротивление.

Рев выходящего из сопла реактивного потока тоже связан с движением отдачи.

Он порождается колебаниями, возмущаемыми в связи с резким изменением угла расхождения струй при выходе из сопла.

Любопытный пример движения отдачи дает описанный в литературе опыт по определению коэффициента восстановления при ударе.

Шарик падает с известной высоты на гладкую твердую стальную плиту. Измеряется высота отскока.

Корень квадратный из отношения высоты отскока к высоте падения есть коэффициент восстановления.

Если этот шарик тоже выполнен из твердой стали и если высота падения выбрана так, что напряжения в момент удара не достигли предела упругости, то коэффициент восстановления, определенный таким образом, близок к единице.

Однако при ударе в плите возбуждается расходящаяся волна длиной в два диаметра шарика.

Ее энергия составляет заметную долю энергии удара.

Объяснение почти полного восстановления энергии шара при отскоке возможно только в предположении, что энергия движения отдачи расходящейся волны передана шару.

Но в таком случае нужно считать, что энергия расходящейся по объему плиты волны изъята из тепловой энергии материала зоны удара.

И это является примером несправедливости второго начала термодинамики в области вещества.

Из соотношения энергий излучаемой волны и ее движения отдачи просматривается существование зависимости между размером излучателя и максимальной длиной волн, которые он способен излучать.

На расстоянии нескольких длин волн от центра излучения движение отдачи не обнаруживается эмпирически непосредственно.

Но накапливающиеся проявления этого движения обнаруживаются во многих явлениях природы.

По ходу дела мы будем отмечать эти явления.

 

Стоячие волны

 

Когда в некоторой области пространства две одинаковых череды плоских волн

 

и 

 

распространяются навстречу друг другу, в зоне их наложения образуется система стоячих волн:

 ,                               (24)

 

где ω=2πC/λ .

Скорость распространения обеих черед обозначена положительной величиной С, а противоположная направленность второй череды обозначена знаком «минус».

Координата х отсчитывается от места встречи передних фронтов возмущений, а время — от момента встречи.

Последняя тригонометрическая функция описывает закон колебания материального сечения х во времени, а предшествующие ей множители правой части устанавливают распределение амплитуд колебаний по материальным сечениям зоны наложения.

Амплитуды смещений равны нулю в сечениях x =±пλ/2, где п=0;1;2...

Этими сечениями, которые мы будем различать на четные и нечетные, материя разбивается на полуволновые осцилляторы.

В каждом осцилляторе все материальные слои колеблются синфазно по отношению друг к другу и противофазно по отношению к колебаниям в смежных осцилляторах, имея максимум амплитуды колебаний в середине.

Поэтому материя во всей системе стоячих волн смещается либо от четных граничных сечений к нечетным сечениям, либо наоборот, меняя направление движения каждую половину периода колебаний.

В моменты смены направления движения скорость всюду равна нулю, а плотность материи распределена по пространству с периодом в длину волны так, что экстремумы находятся в граничных сечениях.

Это и есть стоячие волны.

В моменты времени t =кТ, где к = 0; 1; 2..., максимумы плотности находятся в четных сечениях, а минимумы в нечетных.

В моменты t=Т/2+ k Т распределение плотности противоположно.

В моменты t=Т/4+ k Т/2 плотность всюду одинакова, а скорость движения каждого слоя принимает амплитудное значение.

Число волн в системе увеличивается на единицу каждую половину периода, а за период к системе добавляется по одной волне с каждой стороны.

Нарастание числа стоячих волн продолжается до момента полного наложения черед друг на друга.

Процесс колебаний типа стоячих волн широко освещен в литературе.

Мы обращаемся к нему потому, что исследование взаимодействия волн собираемся начать именно с него, как с простейшего случая взаимодействия волновых процессов.

Поэтому мы должны выявлять и такие моменты действительности, которые не заметны в рамках приближений волновой теории.

Как показывает опыт, за полным наложением черед следует распад системы стоячих волн, воспринимающийся в общих чертах как выход из зоны наложения тех первичных возмущений, которые образовывали стоячие волны.

Этот факт стал одним из оснований укоренившегося в теории принципа суперпозиции, содержащего в себе ложное утверждение, будто бы волны проходят друг сквозь друга без взаимодействия.

В действительности стоячие волны возникают именно как результат взаимного отражения сталкивающихся переносных движений.

Предположим, что в сечении х=0, в котором впервые соприкасаются рассмотренные выше встречные возмущения, установлена преграда, отражающая волновые возмущения.

Она не изменит ситуации стоячих волн, так как само это сечение неподвижно.

Оно так же не позволяет волновому возмущению перейти из отрицательной области х в положительную область или наоборот, как жесткая преграда.

Значит, реальность состоит в том, что равные встречные движения отражаются друг от друга, производя в плоскости симметрии процесса кратковременное уплотнение материи в форме стоячей волны.

Движения, отразившиеся одно от другого в сечении х=0, отправляются в противоположные стороны.

На расстоянии ±λ/2 от него они снова встречаются с равными себе встречными движениями и претерпевают повторные отражения, образуя в этих сечениях стоячие нечетные волны.

Число стоячих волн в этот момент равно двум, так как в сечении х=0 минимум плотности.

Отраженные в этих взаимодействиях первичные движения образуют затем стоячие четные волны в сечениях x =±λ, и так далее.

Таким образом, система стоячих волн возникает в результате многократных отражений первичных движений.

И хотя в рамках приближений волновой теории параметры состояния в системе стоячих волн хорошо описываются уравнениями первичных распространяющихся возмущений, по сути, эти процессы различны, и при более точном исследовании это различие может быть обнаружено количественно.

Очевидно, что по отношению к стоячим волнам не применимы понятия опережающего сигнала и последействия.

Система стоячих волн не утрачивает энергии в этих явлениях, поскольку их нет.

Нет оснований ожидать и увеличения длины стоячих волн во времени.

Следовательно, системы стоячих волн стабильнее распространяющихся.

Число входящих в систему волн и, соответственно, длина системы могут быть много больше предельных значений для цуга, образованного из волн такой же длины.

Однако совершенная стабильность недостижима и в стоячих волнах; рассеяние энергии имеет место и в этом процессе. Оно обнаруживается при больших амплитудах колебаний.

Описание волновых процессов в гармонических функциях получено с применением ряда приближений, с помощью которых реально нелинейная связь между параметрами заменяется идеализированной линейной, приблизительно верной при малых изменениях значений параметров.

В результате получается очень удобное описание, представленное для колебаний в среде с распределенными параметрами уравнением (24).

Удобство заключается в том, что движение всех материальных слоев во всех осцилляторах системы подчиняется общему ритму.

Они все одновременно останавливаются и обращают свое движение с таким ускорением, чтобы через половину периода снова замереть в неравновесном положении и одновременно начать обращенное движение.

Такие колебания называют гармоническими, то есть согласованными.

Но нам не следует забывать, что согласованность эта относится к принятому нами отображению процесса, а в реальном процессе имеет место тем большая несогласованность движений слоев, чем больше амплитуда возмущения.

В чем выражается несогласованность реальных движений? В нарушении синхронности обращения движения слоев.

А поскольку наблюдаемое движение воспринимается как упорядоченное, то существует какой-то порядок последовательности обращения движений слоев.

В волновом процессе ситуационное движение сочетается с телесным движением.

Доля телесного движения увеличивается с увеличением амплитуды, при этом в жестком телесном колебательном процессе (торцевой удар стержня) имеет место различие по задержке обращения движения между слоями.

Промежуток времени от момента остановки до момента начала движения в обратном направлении тем больше, чем ближе материальный слой к препятствию и дальше от противоположного препятствию торца стержня.

Появление последовательного обращения в текучей упругой материи не покажется неожиданностью, если путем непрерывного резонансного нагнетания колебаний довести характер обращения движения в системе стоячих волн до ударного.

При этом с увеличением энергии колебаний количество материи, собирающейся в зоне повышенной плотности в момент ее максимума, будет увеличиваться, а оставшейся в зоне пониженной плотности уменьшаться, так как предельное изъятие материи относительно среднего значения плотности ограничено единицей.

Понятия потенциальной энергии и энергии вытеснения утратят свое значение.

Процесс можно описать только в первичных понятиях кинетической энергии направленного и внутреннего движений.

Таким образом, в случае предельно малой амплитуды возмущения все материальные слои осциллятора начинают движение от одной преграды к другой одновременно и с разными скоростями, а в стремлении к предельно большой амплитуде возмущения последовательно, с более равномерным распределением скоростей.

Реальный процесс представляет собой сочетание этих двух движений в пропорции, зависящей от амплитуды.

Но он остается периодическим.

Всякое периодическое движение разложением Фурье может быть представлено в виде бесконечного ряда гармонических функций возрастающих частот.

Высокочастотный участок спектра может накрыть спектр СВД среды, и у нас нет уверенности в том, что спектральный состав движения останется неизменным после обращения.

Позже выработанные здесь представления помогут нам разобраться в структуре СВД эфира и частиц.

А сейчас воспользуемся другим подходом, чтобы убедиться в наличии потерь энергии в системе стоячих волн.

Опережающее распространение энергии проявляется там, где имеется градиент плотности внутренней энергии.

В каждом осцилляторе направление градиента энергии меняется два раза за цикл.

Наводимое потоком опережающего распространения перераспределение удельной энергии отстает по времени от наведенного возмущения так, что в срединной части осциллятора среднее значение удельной энергии получается несколько больше, чем в краевых участках.

При этом содержащийся в срединной части избыток энергии периодически смещается в сторону то четного, то нечетного граничного сечения, именно в ту сторону, в которую в момент выравнивания плотности материи совершается движение.

Поэтому начало сжатия материи от среднего значения плотности происходит при избытке плотности энергии.

А весь процесс сжатия и последующего расширения до выравнивания плотности материи совершается с отводом энергии.

Значит, кинетическая энергия движения в момент максимума скорости каждый раз будет меньше предшествующего значения.

Но здесь нужна оговорка: если не возникнет параметрический резонанс.

О нем речь будет позже.

Когда при равенстве длин волн встречных возмущений между ними имеется небольшое различие по амплитуде и, соответственно, по количеству движения в полуволнах, материальные слои стоячих волн в зоне максимума получают некоторую подвижность в направление распространения волн большей амплитуды.

Такая подвижность не вызывает смещения системы стоячих волн или материи в целом: в зоне минимума материальные слои перемещаются в противоположном направлении, а спустя период очередные стоячие волны появляются в тех же местах, что и предшествующие.

Будем называть такую систему подвижными стоячими волнами.

А само явление подвижности стоячих волн будем рассматривать как свидетельство передачи энергии колебаний по направлению подвижности максимумов, так как при перемещении материальных слоев совершается работа.

Две одинаковые череды, с которых мы начинали тему стоячих волн, конечно же, неестественная форма движения.

Нужно было рассматривать взаимодействие цугов.

Но мы могли утонуть в мелких расплывчатых подробностях.

После введения понятия подвижности стоячих волн это можно сделать с большей ясностью.

Но это не наш вопрос.

Процесс распада системы стоячих волн мы тоже не будем рассматривать и примем без обсуждения утверждение, что распад системы сопровождается волновым излучением.

В системе стоячих волн, которую мы рассматривали выше, движение совершалось вдоль оси х.

Если в дополнение к этой системе попытаться образовать подобным же образом вторую систему стоячих волн с движением вдоль оси у, перпендикулярной х, вместо желаемого наложения двух систем произойдет распад первой, а характер общей картины наведенных движений будет скорее хаотическим, чем упорядоченным.

Данные наблюдений свидетельствуют, что стоячих двухмерных волн в открытом пространстве не существует.

Некоторую аналогию возникающего в таком случае движения можно найти в затухающей мертвой зыби на водной поверхности.

Устойчивость одномерной системы стоячих волн определяется симметрией движений, обеспечивающей полное обращение всей совокупности движений в каждом столкновении с сохранением симметрии.

В двухмерном процессе соблюдение этих условий невозможно, так как из зоны уплотнения материя будет расходиться по всем направлениям плоскости  х; y .

Поэтому столкновения примут характер хаотических пульсаций, и в этих столкновениях движения будут измельчаться вплоть до спектра СВД среды.

Сказанное справедливо для случая трехмерного возмущения.

Поэтому системы стоячих сферических волн тоже невозможны.

Но концентрические сферические и стоячие цилиндрические волны возможны, так как они одномерны и движения в них симметричны.

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: