Скорость распространения и изменение формы волны

 

Волновое движение всегда связано с переносом материи.

Одиночную волну, направление переносного движения в которой совпадает с направлением распространения волны, будем называть волной отталкивания или положительной волной, а волну с противоположными направлениями переноса и распространения отрицательной или волной притяжения.

 

В симметричных периодических волновых возмущениях перенос материи принимает форму колебаний.

а) Схема излучения. «Т» — труба единичного сечения; «П» — подвижная перегородка.

б) Распределение плотности в момент конца излучения t = x.

в) Распределение плотности в момент t > x.

V — скорость перегородки «П» во время излучения и скорость переноса материи волной.

АВ — положительная волна; λ₊ — ее длина.

СД — отрицательная волна; λ_ — ее длина.

С₊ и С_ — скорость распространения положительной и отрицательной волны, соответственно.

Попытаемся излучить плоскую волну отталкивания прямоугольной формы по схеме, представленной на рис.1 графиком плотности.

В начальный момент времени плотность всюду ρ=ρ₀ возмущающая материальная поверхность «П», перпендикулярная оси х в начале координат, начинает движение со скоростью V в положительном направлении оси, то есть вправо по чертежу.

Ее движение деформирует прилегающие к ней слои материи.

Плотность материи перед возмущающей поверхностью увеличивается, а с противоположной стороны уменьшается на величину Δρ, а сама деформированная материя вовлекается в возмущаемое движение с той же скоростью движения V , деформирует последующие слои материи и вовлекает их в движение.

Зоны возмущенного состояния расширяются.

Передние фронты этих зон, обозначенные буквами А и Д, распространяются от возмущающей поверхности в противоположные стороны.

Вправо уходит фронт отталкивания А, влево фронт притяжения Д.

Это значит, что движение возмущающей поверхности порождает две противоположные по знаку и направлению распространения волны.

Пока мы сосредоточим свое внимание только на положительной волне.

Возмущение с левой стороны возмущающей поверхности, относящееся к отрицательной волне, учитывать не будем, то есть будем считать, что с тыльной стороны возмущающей поверхности плотность материи равна ρ_0.

Через промежуток времени τ передний фронт положительной волны окажется на удалении τС от начала координат, где С — скорость распространения волны, а возмущающая поверхность на удалении τ V .

Длина волны  λ= τ ( C - V ).

Количество материи в волновом слое, приходящееся на единицу поверхности фронта волны, можно вычислить как произведение текущего значения плотности ρ=ρ₀+Δρ на длину волны λ и как произведение начального значения плотности ρ₀ на расстояние τС от начала координат до переднего фронта.

Сравнение этих произведений приводит к соотношению:

.                                                                (6)

 

 

Приравняем количество движения импульсу:

ρ₀ τCV = Δ p τ , где Δp = p - p ₀ приращение давления.    (7)

Произведя преобразования с учетом уравнений (1), (5) и (6), получим зависимость скорости распространения волны от параметров начального состояния материи и возмущения:

 

    .                                       (8)

 

Индекс «к» при скорости распространения волны отмечает, что это значение скорости получено из условия равенства количества движения возмущающему импульсу.

Дело в том, что скорость распространения волны можно вычислить еще из уравнения энергетического баланса.

Составим его.

При перемещении возмущающей поверхности совершается работа в количестве pτV на единицу площади.

Поступающая в тело волны энергия реализуется в кинетической энергии направленного движения и приращении энергии внутреннего движения.

Уравнение баланса энергии имеет вид:

.                                      (9)

 

Обратите внимание на левую часть уравнения баланса.

Она есть произведение полного давления p = p ₀ +Δ p фактически действующего на тело возмущаемой волны, на путь перемещения возмущающей поверхности τV , полностью и точно отражающее приращение энергии в волновом теле.

Волновая же теория вычисляет эту работу как произведение Δ p·τV, не замечая работы внутреннего давления p ₀ на этом перемещении.

Подсчитанное по рекомендациям теории приращение энергии в волновом теле получается ровно вдвое больше кинетической энергии переносного движения ρ₀τ CV ² /2.

Другую половину этой энергии называют потенциальной энергией волны.

Сам процесс распространения волны трактуют как непрерывный переход потенциальной энергии в кинетическую и кинетической в потенциальную.

Почему же волновая теория не замечает, образно говоря, бревна, концентрируя внимание на соломине?

Ответ прост: работа, совершенная за счет внутренней энергии среды, ставит под сомнение второе начало термодинамики и всю систему знаний вместе с ним.

Но факт остается фактом: кроме собственной начальной внутренней энергии и учитываемой теорией кинетической и потенциальной энергии волны, в волновом слое содержится еще энергия в количестве p ₀τV в форме увеличенной энергии внутреннего движения.

Эта энергия равна работе, необходимой для предельно медленного вытеснения всей материи, находящейся перед возмущающей поверхностью, на расстояние τV , поэтому мы назовем ее энергией вытеснения.

Работу по вытеснению производит материя, расположенная с тыльной стороны возмущающей поверхности.

Поскольку за любой конечный промежуток времени выполняется бесконечно малая часть предстоящего вытеснения, вся энергия вытеснения содержится в волновом слое в форме дополнительной внутренней энергии.

С учетом сказанного процесс распространения положительной волны является распределенным по времени последовательным вытеснением материальных слоев, а переходы кинетической энергии в потенциальную и наоборот являются составными частями этого процесса и отражают переход энергии вытеснения от материи, вытеснение которой уже совершено, к последующим слоям материи.

Решая уравнение баланса энергии совместно с уравнениями (1), (4а) и(6)относительно С, находим:

 

  .                   (10)

 

 

Здесь индекс «Е» обозначает соответствие значения балансу энергии.

Пределы функций (8) и (10) при стремлении приращения плотности к нулю одинаковы:

.                         (11)

 

Назовем это значение начальной скоростью распространения волны.

Теория малых возмущений пользуется именно этим значением.

Но нулевой индекс она опускает и применяет это значение для волн конечных амплитуд, считая их достаточно малыми.

Чтобы распространить применимость формулы на газы разного молекулярного состава, ее выражают в обобщенном виде:

,                                                         (11а)

 

где а — показатель адиабаты Пуассона для данного газа.

Легко убедиться, что правые части этого выражения и выражения (11) тождественны при показателе адиабаты для идеального одноатомного газа, равной а=5/3.

Но при любом конечном значении приращения плотности Δρ значение скорости распространения волны, вычисленное по уравнению (10), получается больше вычисленного по уравнению (8).

Это соответствует выявленному ранее различию скоростей распространения потоков внутреннего взаимодействия по разным параметрам: скорость распространения энергии волнового возмущения больше скорости распространения количества движения.

Возможность получения разных решений свидетельствует еще об избыточности исходных данных.

В нашем случае избыточным является метафизическое представление о волне как таковой, в котором форма волны полагается заданной от рождения и сохраняющейся в процессе распространения.

Это представление соответствует принятому в теории адиабатическому процессу деформирования.

В действительности деформирование тем более отличается от адиабатического процесса, чем короче волна и чем больше ее амплитуда.

Поэтому волна трансформируется.

Скорость распространения каждого фронта волны индивидуальна, она определяется местными параметрами.

Опережающее распространение энергии приводит к увеличению удельной энергии перед волной, в результате чего значение начальной скорости здесь увеличивается, процесс передачи возмущения ускоряется.

 

Волна вытягивается вперед.

При постоянной скорости движения возмущающей поверхности, если скорость не слишком велика, распределение плотности материи по телу волны непрерывно и плавно снижается от возмущающей поверхности к переднему фронту, стремясь принять такое распределение, при котором скорость передачи возмущения на всех участках тела волны станет одинаковой, а форма волны — сохраняющейся.

Это стремление сохранится и после завершения процесса возмущения волны, когда волна оторвется от остановившейся возмущающей поверхности и превратится из связанной волны в свободную волну.

Но при конечной амплитуде волны различие скоростей переноса энергии и количества движения в потоках внутреннего взаимодействия не позволяет ей приобрести сохраняющуюся форму, поэтому длина свободной волны непрерывно нарастает, а амплитуда уменьшается.

Волна, оторвавшаяся от возмущающей поверхности и распространяющаяся свободно, приобретает возможность трансформироваться и со стороны заднего фронта.

Примем без обсуждения утверждение, что внутреннее взаимодействие и в задней части свободной волны сгладит резкие изменения параметров состояния, несколько растянув заднюю часть в пространстве.

В этом случае форму волны можно будет представить распределением по любому параметру с максимумом во внутренней части волны и плавными переходами от максимума к невозмущенной материи, которые мы будем называть передним и задним скатами.

В заднем скате опережающий перенос энергии потоками внутреннего взаимодействия выражается в перераспределении энергии в пользу задних слоев с выносом части энергии через задний фронт.

С учетом опережающего выноса энергии в переднем скате длина волны, определенная как расстояние между передним и задним фронтами распределения энергии, получится больше длины волны, определенной подобным же образом по распределению плотности. Причем крайние фронты энергии с обеих сторон выступают за пределы тела волны, определенного по распределению плотности.

Распределение каждого параметра состояния по телу волны наиболее выразительно характеризуется положением фронта максимума и крайних точек распределения, которые мы называем передним и задним фронтами.

Будем обозначать эти точки символами М, П и 3, соответственно, и дополнять эти обозначения нижними символами, указывающими на распределение параметра, к которому относится данный фронт.

Например, символами М_к будет обозначаться фронт максимума количества движения, а символами 3_Е задний фронт распределения внутренней энергии, в котором, по нашему мнению, среднеквадратическая скорость внутреннего движения u= u ₀.

Для обозначения скорости распространения того или иного фронта будем принимать оба этих символа в нижней позиции.

Так, символами С_ПК и С_ПЕ будут обозначены скорости распространения передних фронтов, относящихся к распределениям количества движения и энергии, соответственно.

Выше мы только что убедились, что при не слишком большой амплитуде волны скорость распространения каждого фронта переднего ската больше средней скорости распространения волны, причем она тем больше, чем ближе фронт к переднему фронту.

Передний фронт количества движения С_ПК  распространяется с отставанием от фронта энергии С_ПЕ, находясь в материальных слоях с избыточной удельной энергией относительно начального состояния.

По этой причине различие скоростей распространения этих фронтов уменьшается.

Но так как передний скат волны вытягивается вперед с уменьшением крутизны, отставание фронта количества движения от фронта энергии непрерывно увеличивается.

Участок процесса между двумя этими передними фронтами будем называть опережающим сигналом.

Волна непрерывно набегает на «подогретую» опережающим сигналом материю, а поток энергии по переднему скату восполняет утраченную опережающим сигналом энергию.

Захват энергии опережающего сигнала волной и сток энергии в опережающий сигнал образуют циркуляцию, в результате которой в переднем скате накапливается некоторый избыток внутренней энергии по сравнению с адиабатическим процессом.

О распределении этого избытка с определенностью можно сказать только то, что он концентрируется в передней части переднего ската.

В некоторой промежуточной точке ската он обращается в ноль, так как начальный избыток энергии к этому моменту израсходован на подпитку потока энергии, стекающего по переднему скату.

Каждый материальный слой продолжает поставлять энергию в поток переднего ската и во всех фазах большей плотности вплоть до максимума М_Е, после чего переключается на подпитку потока заднего ската.

Поэтому на остальной части переднего ската и прилегающей к нему части заднего ската удельная энергия меньше, чем предписывает адиабата.

Максимум энергии М_с опережает максимум количества движения М_к.

Этих данных достаточно для того, чтобы утверждать, что начальные фазы сжатия материальных слоев протекают с подводом, а заключительные с отводом энергии.

Значит, хотя бы часть захваченной волной энергии опережающего сигнала возвращается в волновой процесс.

Остальная часть переходит во внутреннюю энергию материи, остающейся в тылу волны.

Здесь она сливается с потоком энергии, стекающей по заднему скату.

Эту энергию и возникающий в связи с ее присутствием процесс назовем последействием.

Форма последействия зависит от стартовых условий волны.

Но в любом случае избыток энергии в тылу волны порождает избыточное давление, поэтому количество движения волны постепенно увеличивается.

Закон сохранения количества движения этим не нарушается, так как еще далее в тылу волны в той же мере нарастает количество движения противоположного направления: вытесненная материя стремится вернуться назад.

Задний фронт распределения количества движения и задний фронт распределения скорости переноса материи V =0, очевидно, совпадают.

Вопрос о скорости распространения задних фронтов оставим открытым.

Чем больше амплитуда, тем больше средняя скорость распространения волны, вычисленная по уравнениям (8) или (10), скорость переноса материи в максимуме и скорость распространения максимума.

А скорость распространения переднего фронта до некоторого значения амплитуды можно считать от нее не зависимой, равной скорости распространения энергетического потока внутреннего взаимодействия.

Скорость приращения длины переднего ската тем меньше, чем больше амплитуда.

При достаточно большой амплитуде волны, когда скорость распространения максимума плотности приближается к скорости распространения переднего фронта, передний скат длительное время остается коротким и крутым.

Волны с таким скатом мы называем нелинейными.

При еще большей амплитуде волны фронт максимума настолько приближается к переднему фронту, что эти два фронта почти сливаются.

Передний скат превращается в тончайший переходный слой между невозмущенной материей и волновым телом.

Скорость распространения такого переднего ската и каждой его фазы равна скорости распространения основного тела волны.

Она существенно превышает скорость потока внутреннего взаимодействия в невозмущенной материи и определяется не столько свойствами материи, по которой распространяется передний скат, сколько подпором со стороны основного тела волны.

В этом обстоятельстве обнаруживается преимущественно телесная форма движения. Такие волны мы называем ударными.

Поскольку уравнения (8) и (10) дают разные значения скорости распространения волны, для вычисления скорости распространения каждой фазы волны переменного профиля, и фазы максимума в том числе, воспользуемся общим для этих уравнений значением начальной скорости

 

, определяемой уравнением (11).

 

Процесс деформирования пока будем считать адиабатическим, чтобы не отвлекаться на изменения формы, связанные с опережающим распространением энергии.

Положим, волна плавного профиля задана распределением плотности с максимумом ρ_м=ρ_о+Δρ_м в точке М.

Это распределение можно приближенно представить как последовательное наложение п прямоугольных волновых возмущений, середины передних и задних фронтов которых, лежат на кривой распределения плотности.

Приращение плотности ΔΔρ=Δρ_м/п в каждой ступени выберем таким, чтобы скорость ее распространения относительно материи, возмущенной совокупностью предшествующих ступеней возмущения, можно было принять равной начальной скорости распространения при сложившихся параметрах состояния, то есть равной

,

 

где индексом ρ обозначено соответствие значения среднеквадратической скорости текущему значению плотности.

Скорость распространения этой ступени относительно невозмущенной материи будет больше на величину скорости переноса материи V _ρ совокупностью предшествующих ступеней возмущения.

Таким образом, скорость распространения фазы плотности ρ определится как функция двух взаимозависимых переменных:

 

 

Преобразовав:

 

получим скорость распространения данного фронта волны как функцию скорости переноса:

 

C ( V )= C_V = C ₀ + kV,                                                       (12)

 

где k —числовой коэффициент, приближенное значение которого k =4/3 определено только для малых возмущений в предположении адиабатического процесса деформирования.

В реальности он будет различным в разных фазах по причине перераспределения энергии по телу волны и выноса энергии потоками опережающего распространения.

Так, при вычислении скорости распространения фазы максимума слабой волны по формуле C _м = C ₀ + kV _м коэффициент k нужно брать близким к 2/3, так как в волне плавного профиля плотность внутренней энергии в зоне максимума плотности меньше, чем предписывается адиабатой Пуассона, и энергия непрерывно стекает в передний скат.

А в фазах, распространяющихся перед фронтом максимума, этот недостаток меньше или переходит в избыток.

С учетом поправки на перераспределение энергии скорость распространения этих фаз может быть как больше, так и меньше C _м, в зависимости от амплитуды.

Когда С_м больше скорости их распространения, ступень максимального возмущения уже нельзя считать распространяющейся по предшествующей ступени.

Она выбегает за пределы предшествующей ступени и зону меньшей плотности, еще более насыщая энергией передний скат. Это волна, превращающаяся в ударную волну.

Подпор энергии увеличивает скорость распространения переднего фронта.

Скорость распространения переднего фронта становится больше скорости энергетического потока внутреннего взаимодействия в невозмущенной материи, поэтому принятое ранее определение переднего фронта по энергии недействительно.

Условимся считать передним фронтом фазу переднего ската волны с минимальным, из доступных наблюдению, уровнем возмущения.

Одиночную волну, при распространении которой в равновесной материи расстояние между передним фронтом и фронтом максимума однозначно определяется амплитудой волны, мы называли ударной.

При постоянстве скорости возмущающей поверхности амплитуда связанной ударной волны постоянна, следовательно, связанная ударная волна не трансформируется передним скатом.

Процесс на этом участке, превратившемся в тончайший переходный слой, оставим пока без внимания, так как распределение параметров состояния на нем не меняется.

Связанная волна не может трансформироваться и задним фронтом, если скорость движения возмущающей поверхности постоянна.

Значит, все изменения происходят в основном теле волны, заключенном между переходным слоем и возмущающей поверхностью, и они исчерпываются увеличением длины прямоугольного волнового тела.

Условие сохранения формы для связанной ударной волны выполняется.

При этом условии закон сохранения материи выражается уравнением (6).

Выразим его в такой форме:

 

 ρ=ρ₀·C/(C-V).                                                                   (6a)

 

Уравнение баланса энергии (9), приведенное к единице массы волнового тела, после сокращения равных членов примет вид:

            ,                                              (9a)

 

где первый член правой части пропорционален начальной внутренней энергии материи, второй — сумме потенциальной и кинетической энергии волнового движения, а третий — энергии вытеснения.

Из уравнения (7), выражающего равенство количества движения импульсу, получаем:

  .                                                  (7a)

 

В области существования ударной волны действительны все три последних уравнения, и их совокупность достаточна для вычисления скорости распространения.

Обращаться к адиабате Пуассона излишне.

Совместное решение этих трех уравнений относительно С приводит к выражению:

 

 

Последний член в квадратных скобках равен квадрату начальной скорости, поэтому перепишем полученное уравнение так:

   .                                            (13)

 

На рис.2 построена зависимость скорости распространения связанной ударной волны С от скорости переноса материи V , вычисленная по уравнению (13).

Здесь же построены графики функций С _K и С _E ,  вычисленные согласно уравнений (8) и (10), но приведенные пересчетом к аргументу V .

За единицу скорости принято значение среднеквадратической скорости внутреннего движения и₀.

Примечательно, что в области малых скоростей возмущения V график функции С проходит в промежутке между графиками С _K и С _E и имеет общую с ними начальную скорость С₀

 

Поэтому функция С и в области малых возмущений в среднем отражает действительность с меньшей погрешностью, чем первые две функции.

Таким образом, уравнение (13) однообразно описывает зависимость скорости распространения линейных, нелинейных и ударных связанных волн, доставляя целостное понимание волнового процесса, необходимое для построения обшей картины Природы.

Уравнение (13) предоставляет возможность уточнить численное значение коэффициента k; в уравнении (12) для малых возмущений, вычислив производную функции (13) при V→0.

Вычисления дают значение k ₀=2/3.

С ростом V коэффициент k плавно увеличивается, стремясь к вычисленному ранее значению k=4/3.

Из структуры последнего уравнения видно, что скорость распространения ударной волны всегда больше 4 V /3 и стремится к этому значению как к асимптоте, когда V неограниченно возрастает.

Учитывая это обстоятельство в уравнении (6а), находим, что повышение плотности ρ/ρ₀ в теле ударной волны имеет предел, равный четырем.

Скорость внутреннего движения в теле волны, согласно уравнению (9а), не ограничена пределом.

Следовательно, не ограничено и давление p=ρи²/3.

Связанная ударная волна не теряет энергии ни передним, ни задним фронтом.

Значит, процесс адиабатический.

Ограниченному приращению плотности при неограниченном повышении давления соответствует неограниченное увеличение показателя адиабаты с ростом скорости переноса V .

Адиабату с показателем большим, чем в адиабате Пуассона, называют адиабатой Гюгоньо.

Она наблюдается в процессах жесткого деформирования, сопровождающегося перестройкой структуры внутреннего движения с наведением анизотропии.

Решая уравнение адиабаты p = p ₀ (ρ/ρ₀)^а относительно а, находим:

Действительно, логарифм числителя последнего слагаемого правой части не ограничен, а логарифм знаменателя не может быть больше логарифма четырех, поэтому показатель адиабаты с увеличением скорости переноса неограниченно увеличивается.

Соответственно увеличивается работа, совершаемая при деформировании единичной массы материи на каждом участке приращения плотности d ρ.

 Это связано с концентрацией внутреннего движения в переднем скате ударной волны по линии распространения.

На переходном участке осуществляется перевод материи из невозмущенного состояния ρ₀; и₀ в состояние ρ; и; V, соответствующее параметрам состояния материи в основном теле волны.

В переводе очевидно присутствие внешнего и внутреннего факторов.

Внешним фактором является воздействие волнового возмущения на материю, выражающееся в вовлечении материи в движение, деформации материи и наведении в ней анизотропии внутреннего движения.

Внутренний фактор определяется собственными свойствами материи и выражается в перестройке ее СВД с релаксацией анизотропии.

Являясь следствием внешнего фактора, перестройка СВД и релаксация совершаются с отставанием.

Длина переходного участка устанавливается во взаимодействии этих процессов.

Оторвавшись от возмущающей поверхности, связанная ударная волна превращается в свободную волну.

Начавшееся истечение материи формирует задний скат нарастающей длины.

В течение короткого промежутка времени, пока сигнал разгрузки распространяется по телу волны от заднего фронта к переднему, амплитуда волны сохраняется.

По истечении этого времени задний скат распространяется на всю длину основного тела волны от максимума до заднего фронта.

Амплитуда волны быстро уменьшается, так как материя истекает теперь и из зоны максимума плотности.

В дальнейшем эти процессы приведут к превращению ударной волны в длинную пологую, стареющую по известным нам законам.

Отметим еще один очевидный и важный для понимания Природы момент: с ростом амплитуды волновое движение становится все более телесным и менее ситуационным.

На практике мы обычно имеем дело с симметричными периодическими возмущениями, составленными из чередующихся положительных и отрицательных возмущений в форме полуволн синусоидальной формы.

На рис.3 изображен участок периодического возмущения со схемой распределения плотности и максимальных смешений в волнах.

В нижней части рисунка цифрами от 1 до 6 обозначены положения равновесия материальных слоев, находящихся в зафиксированном рисунком моменте времени в центральных и крайних фазах полуволн.

Символами S ₊ и S _ отмечены смещения слоев относительно положения равновесия.

В центральных фазах полуволн смешение равно нулю, а в крайних максимально и численно равно амплитуде смещения.

Эта схема позволяет судить о распределении энергии по телу волны.

Согласно сложившимся в теории волн представлениям, волновая энергия равна работе внешних сил, одинакова в каждой полуволне и состоит из равного количества кинетической и потенциальной энергии.

Первый взгляд на схему смещений порождает несколько иные представления.

Действительно, на длине волны λ содержится та внутренняя энергия, которой обладала материя до возмущения, и плюс к тому кинетическая энергия центробежного и центростремительного движений в полуволнах.

Внутренняя энергия распределена по телу волны неравномерно.

На схеме видно, что материя положительной полуволны сжата с обеих сторон: крайние сечения 3 и 5 смещены в сторону центрального сечения 4.

При смещении внешними и внутренними силами произведена одинаковая работа по вытеснению материи во встречных направлениях из пространства между позициями 2... 3 и из пространства между позициями 5... 6.

С погрешностью приближений волновой теории можно считать, что приращения плотности материи и энергии в положительной и отрицательной полуволнах равны по величине и противоположны по знаку.

Если в положительной полуволне приращение внутренней энергии принять равной сумме энергии вытеснения и потенциальной энергии, то в отрицательной полуволне убыль внутренней энергии выразится этой же суммой.

Значит, сумма потенциальных энергий положительной и отрицательной полуволн равна нулю.

Сумма энергий вытеснения тоже равна нулю.

Создается впечатление, что плотность энергии в волновом слое приросла только на величину плотности кинетической энергии.

Но и это впечатление является лишь поверхностным отражением действительности.

Волновое возмущение участвует в формировании давления среды по линии распространения.

Кинетическую энергию колебаний нужно рассматривать как анизотропную составляющую внутреннего движения, а потенциальную как изотропную.

Материя, в которой присутствует волновое возмущение, расширяется, поэтому положения равновесия материальных слоев в колебательном движении не совпадают с положением их равновесия до возмущения, а вынесены несколько вперед, что отмечено на схеме символом S_k а длина волны больше изначальной длины того участка материи, в котором она возмущена.

При расширении материи совершается работа, расходуется энергия.

И будет не удивительно, если в результате расширения плотность энергии в занимаемом волновым возмущением пространстве в итоге получится меньше, чем в невозмущенной материи.

К этому мы должны быть готовы.

В общих чертах трансформация периодических возмущений подобна описанной выше трансформации одиночных волн.

Коротко отметим некоторые детали.

Положим, в начальный момент времени периодическое возмущение представляет собой череду из ограниченного числа одинаковых волн не слишком большой амплитуды.

В окрестности всех внутренних минимумов накапливаются последействия предшествующих скатов и опережающие сигналы последующих, потому что энергии некуда выйти из промежутка между максимумами.

Избыток энергии здесь увеличивается, и это приводит к уменьшению стоков энергии по прилегающим скатам.

Накопление энергии в промежутке между максимумами полностью прекращается на том уровне избытка, при котором сток энергии из зоны предшествующего максимума уравновешен переносом энергии через последующий максимум в процессе деформирования материи с подводом энергии.

С момента достижения этого уровня скорость распространения всех внутренних фаз череды становится одинаковой, что является условием сохранения ее формы.

Но внешние скаты крайних волн череды находятся в иных условиях и трансформируются как скаты одиночных волн.

Амплитуды крайних волн уменьшаются, что ослабляет защищенность от старения вторых от края волн.

Краевой эффект распространяется на все волны череды, поэтому череда трансформируется в цуг — последовательность волн, огибающая амплитуд которой имеет максимум в центре и плавно ниспадает к нулю на краях.

Цуг изображен на рис.4.

Волны срединной части цуга, мало отличающиеся по амплитуде, в наименьшей степени подвержены трансформации.

Скорости распространения всех фронтов в этой части очень близки, причем параметры состояния материи во фронтах максимумов волн соответствуют сжатию от начального состояния по адиабате Пуассона.

Поэтому скорость распространения срединной части цуга и цуга в целом можно считать равной скорости распространения фронта максимума, определенной по уравнению (12) С=С_о+ kV , где k =2/3.

Простота этой формулы, примененной в качественном анализе, компенсирует неудобства, связанные с некоторой переменностью числового коэффициента.

Цуг трансформируется как одиночная волна равной длины.

Следовательно, длина волн в передней части цуга больше, чем в задней части.

А со временем длина цуга и составляющих его волн увеличивается.

Последнее утверждение целесообразно подкрепить из других соображений.

Периодический волновой процесс есть процесс передачи энергии колебаний.

Значит, прохождение передней части цуга сквозь наблюдаемый участок материи связано с возмущением в нем колебаний некоторой частоты.

Реагируя на это возмущение, материя разбивается на полуволновые осцилляторы.

Действительно, распространяющуюся череду волн

 

где S — текущее значение смешения материального слоя от положения равновесия, можно представить в виде суммы двух систем стоячих волн, расположенных в той же области определимости со смещением одна от другой на четверть периода Т=λ/С.

С принятым в теории колебаний обозначением круговой частоты ω=2п/Т разложение примет вид:

.                        (14)

 

В каждом слагаемом правой части последняя тригонометрическая функция задает закон колебаний, а остальная часть — амплитуду колебаний материального слоя в функции от х

В случае цуга множитель амплитуды а — величина переменная, определяемая значением огибающей амплитуд.

Система стоячих волн, описываемая первым слагаемым, опережает колебания второй системы на четверть периода, поэтому в каждом сечении энергия колебаний передается от первой системы ко второй.

Но пространственно максимумы второй системы смещены вперед по направлению распространения цуга на четверть длины волны, поэтому за элементарную длительность взаимодействия энергия цуга и весь колебательный процесс смещаются вперед на элементарный путь распространения.

Изменяется участок определимости цуга, и, соответственно, смешаются слагаемые его разложения.

Для нас важно, что передача энергии происходит во взаимодействии колебаний осцилляторов, на которые разбивается материя в процессе приспособления к проходящему возмущению.

В теории колебаний показано, что частота затухающих колебаний меньше собственной.

Нарастающие колебания в нашем случае можно рассматривать как затухающие с отрицательным затуханием, поскольку передача возмущения от осциллятора к осциллятору осуществляется через посредство вязкой связи.

Поэтому в заднем скате цуга частота возвращаемого каждым осциллятором возмущения всегда меньше частоты возмущения, полученного им во время прохождения через него переднего ската цуга.

И поэтому частота возмущения в процессе распространения Цуга непрерывно снижается.

Поняв процесс распространения цуга как передачу энергии колебаний от осциллятора к осциллятору, мы не можем более утверждать, что число волн в цуге постоянно.

Уменьшение частоты возмущения в процессе его распространения устанавливает ограничение по количеству волн, распространяющихся в одной последовательности.

Непрерывное излучение породит не непрерывную череду волн, а череду цугов предельной длины, сформировавшихся в биениях. (Системы стоячих волн составляют исключение из этого правила.)

Взаимодействие волн внутри цуга сглаживает небольшие различия их амплитуд и длин, порожденные при излучении или возникающие в процессе распространения по слабо возмущенной материи.

В тихую морозную погоду возникают благоприятные условия для распространения акустических волн.

При таких условиях в открытом пространстве нормальная человеческая речь слышна на расстоянии сотни метров, но воспринимается неразборчиво.

Не отдавая себе отчета в том, что эта неразборчивость возникает по причине удлинения и взаимного перекрытия звуковых цугов, мы все-таки растягиваем звуки, желая быть услышанными на расстоянии.

Растягивает звуки и младенец, призывая мать.

По-видимому, факт удлинения звуковых цугов известен человечеству со столь давних времен, что вошел в состав его наследственной информации.

 

Особенности описания

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: