СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ

 

Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Достоверным называется событие , которое происходит в каждом опыте.

Невозможным называется событие , которое в результате опыта произойти не может.

Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно.

Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B, A B) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или оба одновременно.

Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается A B, A B) называется такое событие, которое заключается в том, что происходят оба события A и B вместе.

Противоположным к событию A называется такое событие , которое заключается в том, что событие A не происходит.

События A k  (k=1, 2, ..., n) образуют полную группу, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие.

При преобразовании выражений можно пользоваться следующими тождествами:

.

Классическое определение вероятности: вероятность события определяется по формуле

                                                  ,                                              (1)

где n - число всех элементарных равновозможных исходов данного опыта;

   m - число равновозможных исходов, благоприятствующих событию А.

 

Геометрическое определение вероятности. Пусть в некоторую

 область случайным образом бросается точка T, причем все точки области равноправны в отношении попадания точки T. Тогда за вероятность попадания точки T в область A принимается отношение

                                                ,                                           (2)

где S(A) и S() — геометрические меры (длина, площадь, объем и т.д.) областей A и соответственно.

 

Основные комбинаторные формулы

Пусть имеется множество X = {x1, x2, .., x n}, состоящее из n различных элементов. (n, r) - выборкой называется множество, состоящее из r элементов, взятых из множества X.

Упорядоченной называется выборка, для которой важен порядок следования элементов. Если каждый элемент множества X может извлекаться несколько раз, то выборка называется выборкой с повторениями.

Число P_k всех перестановок из k  различных элементов равно

                                      ,                                                         (3)

Число упорядоченных (n, r) - выборок (размещений) с повторениями  и без повторений  равно

                                                                                              (4)

 

                                                .                                            (5)

Число неупорядоченных (n, r) - выборок (сочетаний) с повторениями  и без повторений  равно

                                            ,                                      (6)

                                               .                                        (7)

Число различных разбиений множества из n элементов на k непересекающихся подмножеств, причем в 1-м подмножестве r1 элементов, во 2-м r2 элементов и т.д., а n = r1 + r2 +... + r k равно

                                      .                               (8)

Пример 1.1. В партии транзисторов n стандартных и m бракованных. При контроле оказалось, что первые k транзисторов стандартны. Найти вероятность p того, что следующий транзистор будет стандартным.

Решение. Всего осталось для проверки n+m-k транзисторов, из которых стандартных n-k. По формуле классического определения вероятности

Пример 1.2. Среди кандидатов в студенческий совет факультета три первокурсника, пять второкурсников и семь студентов третьего курса. Из этого состава наугад выбирают пять человек. Найти вероятность того, что все первокурсники попадут в совет.

Решение. Число способов выбрать пять человек из 3+5+7=15 равно числу сочетаний из 15 по 5 (неупорядоченная выборка без повторений):

.

Выбрать трех первокурсников из трех можно одним способом. Оставшихся двух членов совета можно выбрать способами:

.

Искомая вероятность p =66/3003=2/91.

Пример 1.3. Банковский сейф имеет кодовый замок, состоящий из шести дисков с восьмью буквами на каждом. Сейф открывается при наборе единственной комбинации букв. Злоумышленник пытается открыть сейф, причем на проверку одной кодовой комбинации у него уходит 10 секунд. Какова вероятность того, что злоумышленник успеет открыть сейф, если в его распоряжении 1 час?

Решение. Обозначим искомую вероятность через P(A). По формуле (1) она будет равна m/n . Здесь n - общее число исходов, равное числу кодовых комбинаций замка. Оно определяется по формуле (3) и равно 8⁶. m - число благоприятствующих исходов, в данном случае равное числу комбинаций, которые успеет испробовать злоумышленник за 1 час, т.е. 360. Таким образом, искомая вероятность будет равна

.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: