ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВУМЕРНЫХ ВЕЛИЧИН

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7

Рассмотрим основные числовые характеристики двумерной случайной величины (X, Y).

Начальный момент порядка k+s равен математическому ожиданию произведения X k и Y s:

. (64)

Центральный момент порядка k+s равен математическому ожиданию произведения центрированных величин и :

, (65)

где ;

Расчетные формулы:

(66)

(67)

где p ij - элементы матрицы вероятностей дискретной величины (X, Y);

f(x, y)-совместная плотность вероятности непрерывной величины (X, Y).

Рассмотрим наиболее часто используемые начальные и центральные моменты:

n0,0(x, y) = 0,0(x, y) = 1; n1,0(x, y) = m x; n0,1(x, y) = m y;

1,0(x, y) = 0,1(x, y) = 0; n2,0(x, y) = n2(x); n0,2(x, y) = n2(y);

2,0(x, y) = D x; 0,2(x, y) = D y; 1,1(x, y) = K xy.

Корреляционный момент K _xy характеризует степень линейной зависимости величин X и Y и рассеивание относительно точки (m x, m y).

Вычислить K xy можно и через начальные моменты:

K xy = n1,1(x, y) - m x m y. (68)

Коэффициент корреляции r xy характеризует степень линейной зависимости величин:

(69)

Для любых случайных величин |r xy| 1.

Если величины X и Y независимы, то r xy = 0.

Пример 10.1 Определить коэффициент корреляции величин X и Y (cм. пример 9.1).

Решение. Определим математические ожидания величин X и Y по формуле (66):

m x = n1,0(x, y)= 00,1 + 00,2 + 00 + 10,2 +

+ 10,3 + 10,2 = 0,7 ,

my = n0,1(x, y)= -10,1 - 10,2 + 00,2 + 00,3 +

+ 10 + 10,2 = -0,1 .

Найдем значение K xy по формуле (68):

K xy = - m x m y = 0(-1)0,1 + 000,2 + 010 +

+1(-1)0,2 + 100,3 + 110,2 - 0,7(-0,1) = 0,07.

Определим дисперсии величин X и Y по формуле (67):

Значение коэффициента корреляции r xy вычислим по формуле (69):

Пример 10.2 Двумерная случайная величина равномерно распределена в области D, ограниченной прямыми X = 0, Y = 0 и X + Y = 4. Определить коэффициент корреляции величин X и Y.

Решение. Запишем в аналитической форме совместную плотность вероятности:

Определим c, используя условие нормировки (50):

Найдем математическое ожидание и дисперсию величины X по формулам (66) и (67) соответственно:

mx = n1,0 (x,y) = ;

Dx = 2,0 (x,y)= .

Так как область D симметрична относительно осей координат, то величины X и Y будут иметь одинаковые числовые характеристики:

m x = m y = 4/3, D x = D y = 8/9.

Определим корреляционный момент K xy по формуле (68):

Коэффициент корреляции величин X и Y будет равен (69):

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1.

В задачах 1.1-1.5 подбрасываются две игральные кости.

1.1. Определить вероятность того, что сумма выпавших чисел равна восьми.

1.2. Определить вероятность того, что сумма выпавших чисел делится без остатка на шесть.

1.3. Определить вероятность того, что сумма выпавших чисел превышает 10.

1.4. Определить вероятность того, что выпадут одинаковые числа.

1.5. Определить вероятность того, что выпадут разные, но четные числа.

1.6. В урне четыре белых и пять черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что один из этих шаров - белый, а другой - черный.

1.7. В урне четыре белых и пять черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут одинакового цвета.

1.8. На десяти карточках написаны буквы А, А, А, М, М, Т, Т, Е, И, К. После перестановки вынимают наугад одну карточку за другой и раскладывают их в том порядке, в каком они были вынуты. Найти вероятность того, что на карточках будет написано слово “математика”.

1.9. Телефонный номер состоит из шести цифр, каждая из которых равновозможно принимает значения от 0 до 9. Найти вероятность того, что все цифры одинаковы.

1.10. Условие задачи 1.9. Вычислить вероятность того, что все цифры четные.

1.11. Условие задачи 1.9. Вычислить вероятность того, что номер не содержит цифры пять.

1.12. Условие задачи 1.9. Вычислить вероятность того, что все цифры различные и расположены в порядке возрастания (соседние цифры отличаются на 1).

В задачах 1.13-1.19 наудачу взяты два положительных числа x и y, причем x £ 5, y £ 2. Найти вероятность того, что y+ax-b £ 0 и y-cx £ 0.

1.13. a=1, b=5, c=1.

1.14. a=1, b=5, c=0,5.

1.15. a=1, b=5, c=0,25.

1.16. a=1, b=5, c=2.

1.17. a=2, b=10, c=2.

1.18. a=2, b=10, c=1.

1.19. a=2, b=10, c=0,5.

В задачах 1.20-1.23 из колоды в 36 карт (6,7,8,9,10,В,Д,К,Т) наугад извлекаются 3 карты.

1.20. Определить вероятность того, что будут вытащены карты одной масти.

1.21. Определить вероятность того, что будут вытащены три туза.

1.22. Определить вероятность того, что будут вытащены карты разных мастей.

1.23. Определить вероятность того, что среди извлеченных карт не будет 9.

1.24. На плоскости проведены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии 8 см. Определить вероятность того, что наугад брошенный на эту плоскость круг радиусом 3 см не будет пересечен ни одной линией.

1.25. В урне пять белых и восемь черных шаров. Из урны вынимают наугад один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут еще один шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже будет белым.

В задачах 1.26-1.30 номер автомобиля содержит четыре цифры, каждая из которых равновозможно принимает значения от 0 до 9 (возможен номер 0000).

1.26. Определить вероятность того, что вторая цифра номера равна четырем.

1.27. Определить вероятность того, что номер содержит хотя бы одну цифру 0.

1.28. Определить вероятность того, что первые три цифры номера равны пяти.

1.29. Определить вероятность того, что номер делится на 20 .

1.30. Определить вероятность того, что номер не содержит цифры 2.

Задание2.

В задачах приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны p₁=0,1; p₂=0,2; p₃=0,3; p₄=0,4; p₅=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

Задание 3.

3.1. На трех автоматических станках изготавливаются одинаковые детали. Известно, что 30% продукции производится первым станком, 25% - вторым и 45% - третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0,99 , на втором - 0,988 и на третьем - 0,98. Изготовленные в течение дня на трех станках нерассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.

3.2. Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрелков равны соответственно 0,2; 0,4; 0,6. При одновременном выстреле всех трех стрелков оказалось одно попадание. Определить вероятность того, что попал первый стрелок.

3.3. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3 , для второго - 0,5 , для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

3.4. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,075 , а на втором - 0,09. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Найти вероятность того, что наугад взятая с конвейера деталь нестандартна.

3.5. На распределительной базе находятся электрические лампочки, изготовленные на двух заводах. Среди них 60% изготовлено на первом заводе и 40% - на втором. Известно, что из каждых 100 лампочек, изготовленных на первом заводе, 90 соответствуют стандарту, а из 100 лампочек, изготовленных на втором заводе, соответствуют стандарту 80. Определить вероятность того, что взятая наугад лампочка с базы будет соответствовать стандарту.

3.6. Три стрелка производят по одному выстрелу по одной и той же мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,6 , для второго - 0,5 , для третьего - 0,4 . В результате произведенных выстрелов в мишени оказалось две пробоины. Найти вероятность того, что в мишень попали второй и третий стрелки.

3.7. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит выстрел. Цель поражена. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3 , для второго - 0,5 , для третьего - 0,8. Найти вероятность того, что выстрел произведен вторым стрелком.

3.8. На наблюдательный пункт станции установлены четыре радиолокатора различных конструкций. Вероятность обнаружения цели с помощью первого локатора равна 0,86 , второго - 0,90 , третьего - 0,92 , четвертого - 0,95. Наблюдатель наугад включает один из локаторов. Какова вероятность обнаружения цели?

3.9. Среди шести винтовок пристреленными оказываются только две. Вероятность попадания из пристреленной винтовки равна 0,9 , а из непристреленной - 0,2. Выстрелом из одной наугад взятой винтовки цель поражена. Определить вероятность того, что взята пристреленная винтовка.

3.10. Приборы одного наименования изготавливаются на трех заводах. Первый завод поставляет 45% всех изделий, поступающих на производство, второй - 30% и третий - 25%. Вероятность безотказной работы прибора, изготовленного на первом заводе, равна 0,8 , на втором - 0,85 и на третьем - 0,9. Определить вероятность того, что прибор, поступивший на производство, исправен.

3.11. Группа студентов состоит из пять отличников, 10 хорошо успевающих и семь занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что студент получит хорошую или отличную оценку.

3.12. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором - 10 белых и 10 черных шаров, в третьем - 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

3.13. В первой урне пять белых и 10 черных шаров, во второй - три белых и семь черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар - белый.

3.14. В тире имеется три ружья, вероятности попадания из которых соответственно равны 0,5; 0,7; 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если ружье выбрано наугад.

3.15. Прибор состоит из трех блоков. Исправность каждого блока необходима для функционирования устройства. Отказы блоков независимы. Вероятности безотказной работы блоков соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Определить вероятность того, что откажет два блока.

3.16. Условие задачи 3.15. Определить вероятность того, что откажет один блок.

3.17. Условие задачи 3.15. В результате испытаний прибор вышел из строя. Определить вероятность того, что отказал один блок.

3.18. Условие задачи 3.15. В результате испытаний прибор вышел из строя. Определить вероятность того, что отказали два блока.

3.19. Условие задачи 3.15. В результате испытаний прибор вышел из строя. Определить вероятность того, что отказали три блока.

3.20. Условие задачи 3.15. В результате испытаний два блока вышли из строя. Определить вероятность того, что отказали второй и третий блоки.

3.21. Условие задачи 3.15. В результате испытаний два блока вышли из строя. Определить вероятность того, что отказали первый и второй блоки.

3.22. Условие задачи 3.15. В результате испытаний два блока вышли из строя. Определить вероятность того, что отказали первый и третий блок.

3.23. Условие задачи 3.15. В результате испытаний один блок вышел из строя. Определить вероятность того, что отказал третий блок.

3.24. Условие задачи 3.15. В результате испытаний один блок вышел из строя. Определить вероятность того, что отказал первый блок.

3.25. Условие задачи 3.15. В результате испытаний один блок вышел из строя. Определить вероятность того, что отказал второй блок.

3.26. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором - 10 белых и 10 черных шаров, в третьем - 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули шар. Вычислить вероятность того, что шар белый.

3.27. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором - 10 белых и 10 черных шаров, в третьем - 20 черных шаров. Из каждого ящика вынули шар. Затем из этих трех шаров наугад взяли один шар. Вычислить вероятность того, что шар белый.

3.28. Приборы одного наименования изготавливаются на трех заводах. Первый завод поставляет 45% всех изделий, поступающих на производство, второй - 30% и третий - 25%. Вероятность безотказной работы прибора, изготовленного на первом заводе, равна 0,8 , на втором - 0,85 и на третьем - 0,9. Прибор, поступивший на производство, оказался исправным. Определить вероятность того, что он изготовлен на втором заводе.

3.29. Три стрелка производят по одному выстрелу по одной и той же мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,6 , для второго - 0,5 , для третьего - 0,4. В результате произведенных выстрелов в мишени оказалось две пробоины. Найти вероятность того, что в мишень попал второй стрелок.

3.30. Три стрелка производят по одному выстрелу по одной и той же мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,6 , для второго - 0,5 и для третьего - 0,4. В результате произведенных выстрелов в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.

Задание 4.

4.1. Вероятность изготовления стандартного изделия равна 0,95. Какова вероятность того, что среди десяти изделий не более одного нестандартного?

4.2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. По мишени производится четыре независимых выстрела. Найти вероятность того, что будет хотя бы одно попадание в мишень.

4.3. Техническая система состоит из пяти узлов. Вероятность нарушения режима работы в течение времени t для каждого узла равна 0,2. Система выходит из строя, если нарушения режима работы произойдут не менее чем в трех узлах. Найти вероятность выхода из строя этой системы за время t, если нарушение режима работы для каждого узла не зависит от состояния работы в других узлах.

4.4. Игральную кость подбрасывают двенадцать раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений “6”?

4.5. Вероятность изготовления изделия отличного качества равна 0,9. Изготовлено 50 изделий. Чему равны наивероятнейшее число изделий отличного качества и вероятность такого числа изделий отличного качества?

4.6. По данным технического контроля в среднем 2% изготавливаемых на заводе автоматических станков нуждается в дополнительной регулировке. Чему равна вероятность того, что из шести изготовленных станков четыре нуждаются в дополнительной регулировке?

4.7. Рабочий обслуживает 10 однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует внимания рабочего в течение часа, равна 0,05. Найти вероятность того, что в течение часа этих требований будет от трех до пяти.

4.8. В мастерской имеется десять моторов. При существующем режиме работы вероятность того, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент не менее восьми моторов работает с полной нагрузкой.

4.9. Вероятность появления события А в каждом из 15 независимых опытов равна 0,3. Определить вероятность появления события А по крайней мере два раза.

4.10. Вероятность появления события А в каждом из 15 независимых опытов равна 0,3. Определить вероятность появления события А 7 или 8 раз.

4.11. Монету подбрасывают восемь раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений герба?

4.12. Вероятность того, что данный баскетболист забросит мяч в корзину, равна 0,3. Произведено 12 бросков. Найти вероятность того, что будет 10 попаданий.

4.13. Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, будет три девочки и два мальчика. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

4.14. Монету подбрасывают восемь раз. Какова вероятность того, что шесть раз она упадет гербом вверх?

4.15. В результате многолетних наблюдений установлено, что вероятность выпадения дождя 1 октября в данном городе равна 1/7. Определить наивероятнейшее число дождливых дней 1 октября в данном городе за 40 лет.

4.16. Имеется 20 ящиков однородных деталей. Вероятность того, что в одном взятом наудачу ящике детали окажутся стандартными, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число ящиков, в которых все детали стандартные.

4.17. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. По мишени производится шесть независимых выстрелов. Найти вероятность того, что в мишени будет одно или два попадания.

4.18. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. По мишени производится шесть независимых выстрелов. Найти вероятность того, что в мишени будет три попадания.

4.19. Монету подбрасывают восемь раз. Какова вероятность того, что она ни разу не упадет гербом вверх?

4.20. При установившемся технологическом процессе 80% всей произведенной продукции оказывается продукцией высшего сорта. Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта в партии из 250 изделий.

4.21. Монету подбрасывают восемь раз. Какова вероятность того, что она четыре раза упадет гербом вверх?

4.22. Вероятность того, что данный баскетболист забросит мяч в корзину, равна 0,9. Произведено 12 бросков. Найти вероятность того, что будет 11 или 12 попаданий.

4.23. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. По мишени производится шесть независимых выстрелов. Найти вероятность того, что будет хотя бы одно попадание в мишень.

4.24. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. По мишени производится шесть независимых выстрелов. Найти вероятность того, что будет хотя бы пять попаданий в мишень.

4.25. Монету подбрасывают восемь раз. Какова вероятность того, что она ни разу не упадет гербом вверх?

4.26. Монету подбрасывают 100 раз. Какова вероятность того, что она ни разу не упадет гербом вверх?

4.27. Вероятность того, что данный баскетболист забросит мяч в корзину, равна 0,95. Произведено 10 бросков. Найти вероятность того, что будет девять попаданий.

4.28. Вероятность того, что данный баскетболист забросит мяч в корзину, равна 0,9. Произведено 12 бросков. Найти вероятность того, что будет не менее 11 попаданий.

4.29. Рабочий обслуживает десять однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует внимания рабочего в течение часа, равна 0,05. Найти вероятность того, что в течение часа будет хотя бы одно требование.

4.30. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. По мишени производится шесть независимых выстрелов. Найти вероятность того, что будет шесть попаданий в мишень.

Задание 5.

Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ с вероятностями p₁, p₂, p₃, p₄, p₅ соответственно (таблица 1). Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.

Таблица 1

Вариант	x ₁	x ₂	x ₃	x ₄	x₅	p₁	p₂	p₃	p₄	p ₅
5.1	1	2	3	4	5	0.2	0.2	0.2	0.2	0.2
5.2	1	2	3	4	5	0.1	0.2	0.3	0.2	0.2
5.3	1	2	3	4	5	0.4	0.1	0.1	0.3	0.1
5.4	1	2	3	4	5	0.3	0.3	0.1	0.1	0.2
5.5	-2	-1	1	3	7	0.2	0.2	0.2	0.2	0.2
5.6	-2	-1	1	3	7	0.1	0.3	0.2	0.2	0.2
5.7	-5	-2	0	1	2	0.5	0.1	0.1	0.2	0.1
5.8	-5	-2	0	1	2	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3
5.9	0	1	2	3	4	0.2	0.2	0.2	0.2	0.2
5.10	0	1	2	3	4	0.3	0.2	0.1	0.2	0.2
5.11	0	1	2	3	4	0.1	0.2	0.3	0.4	0
5.12	-1	0	1	2	3	0.6	0.1	0.1	0.1	0.1
5.13	-1	0	1	2	3	0.3	0.2	0.1	0.1	0.3
5.14	3	4	5	6	7	0.1	0.2	0.3	0.4	0
5.15	3	4	5	6	7	0.5	0.1	0.1	0.1	0.2
5.16	-5	-4	-3	5	6	0.1	0.3	0.2	0.2	0.2
5.17	-2	0	2	4	9	0.3	0.2	0.1	0.1	0.3
5.18	-2	0	2	4	9	0.3	0.1	0.1	0.2	0.3
5.19	-2	0	2	4	9	0.15	0.15	0.2	0.4	0.1
5.20	5	6	7	8	9	0.1	0.1	0.1	0.1	0.6
5.21	1	4	7	8	9	0.3	0.15	0.25	0.15	0.15
5.22	1	4	7	8	9	0.2	0.2	0.2	0.2	0.2
5.23	-10	-4	0	4	10	0.2	0.2	0.2	0.2	0.2
5.24	-10	-4	0	4	10	0.3	0.1	0.2	0.1	0.3
5.25	2	4	6	8	10	0.1	0.2	0.3	0.35	0.05
5.26	2	4	6	8	10	0.7	0.1	0.1	0.05	0.05
5.27	2	4	6	8	10	0.2	0.3	0.05	0.25	0.2
5.28	1	4	5	7	8	0.6	0.1	0.1	0.05	0.15
5.29	1	4	5	7	8	0.3	0.3	0.1	0.15	0.15
5.30	5	6	7	9	12	0.05	0.15	0.2	0.4	0.2

Задание 6.

Случайная величина Х задана плотностью вероятности

(таблица 2).

Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал

Таблица 2

Вариант	x , c )	a	b	a	b
6.1		1	2	0.5	1.5
6.2		0	1	0.5	1
6.3		-1	1	0	0.5
6.4		0	2	1	2
6.5		0	1	-2	2
6.6	с	-2	2	-1	1
6.7	csin(x)	0	p	0	p/2
6.8		0	p/2	p/4	p
6.9		0	p/3	-1	1
6.10		-p/2	p/2	0	1
6.11		0	p/4	0.5	1
6.12	c e^-x	0	4	1	2
6.13	c e^-2x	0		1	3
6.14	4 e^-cx	0		0	1
6.15	c	-2	2	1.5	2
6.16	c e^x	0	1	0	0.5
6.17	c x⁵	0	1	0.5	0.7
6.18	c x⁶	0	2	1	2
6.19	c x⁷	0	1	0	0.5
6.20	c x⁸	-1	1	0	2
6.21	c x⁹	0	1	0	0.25
6.22	c x¹⁰	-1	1	-0.5	0.5
6.23		1	4	2	3
6.24		1	2	1	1.5
6.25		1	2	1	1.5
6.26		1	3	1	2
6.27		1	2	1	1.5
6.28		1	2	0	1.5
6.29		1	2	1	2
6.30		1	2	1	3

Задание 7.

Случайная величина Х распределена равномерно на интервале (a,b) (таблица3). Построить график случайной величины Y=j(X) и определить плотность вероятности g(y).

Таблица 3

Вариант		a	b
7.1		-1	4	2
7.2		0	10	1
7.3		-3	2	3
7.4		-2	0	2.5
7.5		-4	1	10
7.6		-1	2	5
7.7		-1	2	0.5
7.8	x⁴	-2	1	0.5
7.9		-2	2	4
7.10		-2	1	0.5
7.11		-4	6	10
7.12		-3	7	3
7.13		1	5	0.3
7.14		-4	6	0.2
7.15		0	0.75p	0.5
7.16		0	p/2	0.4
7.17		p/6	p/3	0.5
7.18		-p/4	p/2	0.3
7.19	e^x	0	1	1
7.20		-1	2	2
7.21		1	2	0.75
7.22	x^1/3	-1	8	1
7.23	^1/3	-8	1	0
7.24		-p/2	p/3	0
7.25		-p/6	p/2	0.5
7.26		0	1.5p	0.5
7.27		0	4	1
7.28		-1	4	0.5
7.29		1	2	0.2
7.30	^1/4	-1	16	0.5

Задание 8.

Двумерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рис. 2 области D. Двумерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области D:

(таблица 4).

Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.

Рис. 2

Таблица 4

Вариант	x ₁	x ₂	x ₃	x ₄	x ₅	x ₆	y ₁	y ₂
8.1	0	0	1	1	1	1	1	2
8.2	0	2	2	2	2	2	1	2
8.3	0	0	1	0	1	2	1	2
8.4	0	2	4	4	4	4	1	2
8.5	0	0	3	2	3	4	1	2
8.6	0	2	5	6	5	4	1	2
8.7	2	0	5	4	5	6	1	2
8.8	0	0	2	2	4	4	1	2
8.9	0	0	1	2	1	0	1	2
8.10	0	0	4	4	2	2	1	2
8.11	0	2	3	2	3	4	1	2
8.12	0	2	5	4	5	6	1	2
8.13	0	2	4	2	4	6	1	2
8.14	0	4	5	4	5	6	1	2
8.15	0	2	2	4	2	0	1	2
8.16	0	0	5	4	5	6	1	2
8.17	0	0	4	4	4	4	1	2
8.18	0	4	4	4	4	4	1	2
8.19	0	0	2	0	2	4	1	2
8.20	0	2	6	6	6	6	1	2
8.21	0	0	4	2	4	6	1	2
8.22	0	0	4	4	4	6	1	2
8.23	0	0	2	4	2	0	1	2
8.24	0	0	6	6	4	4	1	2
8.25	0	4	6	4	6	8	1	2
8.26	0	4	7	6	7	8	1	2
8.27	0	2	6	4	6	8	1	2
8.28	0	2	4	4	6	6	1	2
8.29	0	2	4	4	5	6	1	2
8.30	0	2	5	4	6	7	1	2

ЛИТЕРАТУРА

1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. - М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика. – Учебник - 5-е издание, стереотипное. - М.: Высшая школа, 1999. - 576 с.

3. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1983. – 416 с.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш. шк., 1977. – 479 с.

5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - Уч. пособие, 5-е изд., - М.: Высш. шк., 1999. – 276 с.

6. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика/ Под ред. А.В. Ефимова. – М.: Наука, 1990. - 428 с.

7. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций/ Под ред. А.А.Свешникова. - М.: Наука, 1965. - 656 с.

8. Справочник по теории вероятностей и математической статистике/ В.С.Королюк и др. – М.: Наука, 1985. – 640 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица 1

Значения функции .

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,3989	3989	3989	3988	3986	3984	3982	3980	3977	3973
0,1	3970	3965	3961	3956	3951	3945	3939	3932	3925	3918
0,2	3910	3902	3894	3885	3876	3867	3857	3847	3836	3825
0,3	3814	3802	3790	3778	3765	3752	3739	3725	3712	3697
0,4	3683	3668	3653	3637	3621	3605	3589	3572	3555	3538
0,5	3521	3503	3485	3467	3448	3429	3410	3391	3372	3352
0,6	3332	3312	3292	3271	3251	3230	3209	3187	3166	3144
0,7	3123	3101	3079	3056	3034	3011	2989	2966	2943	2920
0,8	2897	2874	2850	2827	2803	2780	2756	2732	2709	2685
0,9	2661	2637	2613	2589	2565	2541	2516	2492	2468	2444
1,0	2420	2396	2371	2347	2323	2299	2275	2251	2227	2203
1,1	2179	2155	2131	2107	2083	2059	2036	2012	1989	1965
1,2	1942	1919	1895	1872	1849	1826	1804	1781	1758	1736
1,3	1714	1691	1669	1647	1626	1604	1582	1561	1539	1518
1,4	1497	1476	1456	1435	1415	1394	1374	1354	1334	1315
1,5	1295	1276	1257	1238	1219	1200	1182	1163	1145	1127
1,6	1109	1093	1074	1057	1040	1023	1006	0989	0973	0957
1,7	0940	0925	0909	0893	0878	0863	0848	0833	0818	0804
1,8	0790	0775	0761	0748	0734	0721	0707	0694	0681	0669
1,9	0656	0644	0632	0620	0608	0596	0584	0573	0562	0551
2,0	0540	0529	0519	0508	0498	0488	0478	0468	0459	0449
2,1	0440	0431	0422	0413	0404	0396	0387	0379	0371	0363
2,2	0355	0347	0339	0332	0325	0317	0310	0303	0297	0290
2,3	0283	0277	0270	0264	0258	0252	0246	0241	0235	0229
2,4	0224	0219	0213	0208	0203	0198	0194	0189	0184	0180
2,5	0175	0171	0167	0163	0158	0154	0151	0147	0143	0139
2,6	0136	0132	0129	0126	0122	0119	0116	0113	0110	0107
2,7	0104	0101	0099	0096	0093	0091	0088	0086	0084	0081
2,8	0079	0077	0075	0073	0071	0069	0067	0065	0063	0061
2,9	0060	0058	0056	0055	0053	0051	0050	0048	0047	0046
3,0	0044	0043	0042	0040	0039	0038	0037	0036	0035	0034
3,1	0033	0032	0031	0030	0029	0028	0027	0026	0025	0025
3,2	0024	0023	0022	0022	0021	0020	0020	0019	0018	0018
3,3	0017	0017	0016	0016	0015	0015	0014	0014	0013	0013
3,4	0012	0012	0012	0011	0011	0010	0010	0010	0009	0009
3,5	0009	0008	0008	0008	0008	0007	0007	0007	0007	0006
3,6	0006	0006	0006	0005	0005	0005	0005	0005	0005	0004
3,7	0004	0004	0004	0004	0004	0004	0003	0003	0003	0003
3,8	0003	0003	0003	0003	0003	0002	0002	0002	0002	0002
3,9	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0001	0001

Таблица 2

Значения функции Ф (х)= .

х	Ф (х)	х	Ф (х)	х	Ф (х)	х	Ф (х)	х	Ф (х)
0,00 0,0000		0,35 0,1368		0,70 0,2580		1,05 0,3531		1,40 0,4192
0,01 0,0040		0,36 0,1406		0,71 0,2611		1,06 0,3554		1,41 0,4207
0,02 0,0080		0,37 0,1443		0,72 0,2642		1,07 0,3577		1,42 0,4222
0,03 0,0120		0,38 0,1480		0,73 0,2673		1,08 0,3599		1,43 0,4236
0,04 0,0160		0,39 0,1517		0,74 0,2704		1,09 0,3621		1,44 0,4251
0,05 0,0199		0,40 0,1554		0,75 0,2734		1,10 0,3643		1,45 0,4265
0,06 0,0239		0,41 0,1591		0,76 0,2764		1,11 0,3665		1,46 0,4279
0,07 0,0279		0,42 0,1628		0,77 0,2794		1,12 0,3686		1,47 0,4292
0,08 0,0319		0,43 0,1664		0,78 0,2823		1,13 0,3708		1,48 0,4306
0,09 0,0359		0,44 0,1700		0,79 0,2852		1,14 0,3729		1,49 0,4319
0,10 0,0398		0,45 0,1736		0,80 0,2881		1,15 0,3749		1,50 0,4332
0,11 0,0438		0,46 0,1772		0,81 0,2910		1,16 0,3770		1,51 0,4345
0,12 0,0478		0,47 0,1808		0,82 0,2939		1,17 0,3790		1,52 0,4357
0,13 0,0517		0,48 0,1844		0,83 0,2967		1,18 0,3810		1,53 0,4370
0,14 0,0557		0,49 0,1879		0,84 0,2995		1,19 0,3830		1,54 0,4382
0,15 0,0596		0,50 0,1915		0,85 0,3023		1,20 0,3849		1,55 0,4394
0,16 0,0636		0,51 0,1950		0,86 0,3051		1,21 0,3869		1,56 0,4406
0,17 0,0675		0,52 0,1985		0,87 0,3078		1,22 0,3883		1,57 0,4418
0,18 0,0714		0,53 0,2019		0,88 0,3106		1,23 0,3907		1,58 0,4429
0,19 0,0753		0,54 0,2054		0,89 0,3133		1,24 0,3925		1,59 0,4441
0,20 0,0793		0,55 0,2088		0,90 0,3159		1,25 0,3944		1,60 0,4452
0,21 0,0832		0,56 0,2123		0,91 0,3186		1,26 0,3962		1,61 0,4463
0,22 0,0871		0,57 0,2157		0,92 0,3212		1,27 0,3980		1,62 0,4474
0,23 0,0910		0,58 0,2190		0,93 0,3238		1,28 0,3997		1,63 0,4484
0,24 0,0948		0,59 0,2224		0,94 0,3264		1,29 0,4015		1,64 0,4495
0,25 0,0987		0,60 0,2257		0,95 0,3289		1,30 0,4032		1,65 0,4505
0,26 0,1026		0,61 0,2291		0,96 0,3315		1,31 0,4049		1,66 0,4515
0,27 0,1064		0,62 0,2324		0,97 0,3340		1,32 0,4066		1,67 0,4525
0,28 0,1103		0,63 0,2357		0,98 0,3365		1,33 0,4082		1,68 0,4535
0,29 0,1141		0,64 0,2389		0,99 0,3389		1,34 0,4099		1,69 0,4545
0,30 0,1179		0,65 0,2422		1,00 0,3413		1,35 0,4115		1,70 0,4554
0,31 0,1217		0,66 0,2454		1,01 0,3438		1,36 0,4131		1,71 0,4564
0,32 0,1255		0,67 0,2486		1,02 0,3461		1,37 0,4147		1,72 0,4573
0,33 0,1293		0,68 0,2516		1,03 0,3485		1,38 0,4162		1,73 0,4582
0,34 0,1331		0,69 0,2549		1,04 0,3508		1,39 0,4177		1,74 0,4591
1,75 0,4599		1,93 0,4732		2,22 0,4868		2,58 0,4951		2,94 0,4984
1,76 0,4608		1,94 0,4738		2,24 0,4875		2,60 0,4953		2,96 0,4985
1,77 0,4616		1,95 0,4744		2,26 0,4881		2,62 0,4956		2,98 0,4986
1,78 0,4625		1,96 0,4750		2,28 0,4887		2,64 0,4959		3,00 0,49865
1,79 0,4633		1,97 0,4756		2,30 0,4893		2,66 0,4961		3,20 0,49931
1,80 0,4641		1,98 0,4761		2,32 0,4898		2,68 0,4963		3,40 0,49966
1,81 0,4649		1,99 0,4767		2,34 0,4904		2,70 0,4965		3,60 0,499841
1,82 0,4656		2,00 0,4772		2,36 0,4909		2,72 0,4967		3,80 0,499928
1,83 0,4664		2,02 0,4783		2,38 0,4913		2,74 0,4969		4,00 0,499968
1,84 0,4671		2,04 0,4793		2,40 0,4918		2,76 0,4971		4,50 0,499997
1,85 0,4678		2,06 0,4803		2,42 0,4922		2,78 0,4973		5,00 0,499997
1,86 0,4686		2,08 0,4812		2,44 0,4927		2,80 0,4974
1,87 0,4693		2,10 0,4821		2,46 0,4931		2,82 0,4976
1,88 0,4699		2,12 0,4830		2,48 0,4934		2,84 0,4977
1,89 0,4706		2,14 0,4838		2,50 0,4938		2,86 0,4979
1,90 0,4713		2,16 0,4846		2,52 0,4941		2,88 0,4980
1,91 0,4719		2,18 0,4854		2,54 0,4945		2,90 0,4981
1,92 0,4726		2,20 0,4861		2,56 0,4948		2,92 0,4982

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ

к контрольным работам по курсу

«Теория вероятностей»

для студентов всех специальностей

Составитель ст. преподаватель М.А. Науменко

Рецензент доцент А.В. Пашковский

Редактор

Подписано в печать 25.02.06 Формат 60 84 1/45

Усл.печ.л. 1.06 Тираж 50

Отпечатано в типографии

Невинномысского технологического института (филиал)

Северо-Кавказского государственного технического университета

357108, г. Невинномысск, ул. Гагарина, 1

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 67

Последнее изменение этой страницы: 2019-04-10; Просмотров: 267; Нарушение авторского права страницы