ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Если A и B - несовместные события, то

 

Если A и B - несовместные события, то

                                           P(A B)=P(A)+P(B).                                       (9)

Если имеется счетное множество несовместных событий A1, ... , A n, то

                                   .                          (10)

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей каждого из событий минус вероятность их совместного появления:

                                     P(A B) = P(A)+P(B)-P(A×B),                              (11)

         P(A B C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A×B)-P(B×C)-P(A×C)+P(A×B×C).   (12)

Событие A называется независимым от события B , если возможность наступления события A не зависит от того, произошло событие B или нет.

В противном случае события являются зависимыми. Условной вероятностью события B при наличии A называется величина

                                            P(B/A)=P(A×B)/P(A)                                     (13)

(при этом полагается, что P(A) не равно 0).

Для независимых событий P(B/A)=P(B).

Вероятность произведения (пересечения, совмещения) двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого.

                             P(A×B) = P(A) P(B/A) = P(B) P(A/B).                       (14)

Для независимых событий

                                           P(A×B) = P(A) P(B).                                     (15)

Вероятности P(A) и P( ) связаны соотношением

                                             .                                       (16)

Вероятность суммы n событий удобнее вычислять по формуле

                         .                   (17)

Вероятность произведения n событий  равна

              

                                        ,                                 (18)

где  - вероятность появления события A_k, при условии, что события  в данном опыте произошли. В случае независимых событий данная формула упрощается:

                         .                   (19)

Пример 2.1. Сообщение передается одновременно по n каналам связи, причем для надежности по каждому каналу оно повторяется k раз. При одной передаче сообщение (независимо от других) искажается с вероятностью p . Каждый канал связи (независимо от других) «забивается» помехами  с вероятностью q; «забитый» канал не может передавать сообщения. Найти вероятность того, что адресат получит сообщение без искажений.

Решение. Обозначим события:

A = {хотя бы один раз сообщение передано без искажений};

B i  = {по i-му каналу сообщение хотя бы один раз было передано без искажений}.

Для выполнения события i-й  канал, во-первых, не должен быть забит помехами и, во-вторых, хотя бы одно сообщение по нему не должно быть искажено.

Вероятность того, что канал не «забит» помехами равна 1-q.

Вероятность того, что хотя бы одно сообщение передано без помех равна 1-p k (p - вероятность того, что все сообщения переданы с искажениями).

Тогда P(B) = (1 - q) (1 - p k).

Вероятность события A, состоящего в том, что хотя бы на одном канале произойдет событие, равна

    

                     

2.2. Какова вероятность угадать в спортлото “5 из 36” не менее трех номеров?

Решение. Событие А - угадать не менее трех номеров в спортлото, разбивается на сумму трех несовмеcтных событий:

А₃ - угадать ровно три номера;

А₄ - угадать ровно четыре номера;

А₅ - угадать ровно пять номеров.

При этом P(A)=P(A₃)+P(A₄)+P(A₅), так как события несовместны.

Найдем вероятность P(A₃). Для этого воспользуемся формулой (1). Здесь общее число комбинаций n по формуле (6) будет равно числу возможных заполнений карточек:

                                   .

Число благоприятствующих комбинаций m в этом случае определяется следующим образом. Выбрать три номера из пяти выигравших можно  способами. Однако каждый выбор трех правильных номеров сочетается с выбором двух неправильных номеров.

Число таких выборок равно . Таким образом, число благоприятствующих событий равно произведению найденных чисел:

.

Тогда .

Аналогично вычисляются , . Таким образом, искомая вероятность будет равна

.

 

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: