Функция распределения дискретной случайной величины

Исходной информацией для построения функции распределения дискретной случайной величины X является ряд распределения этой СВ.

 

x i	x1	x2	x3	...	x n	>x n
p i	p1	p2	p3	...	p n	0
F(x i)	0	p1	p1+p2		p1+…+p n-1	1

                                                    

           F(x i)=P{X<x i}=P{(X=x1)(X=x2) ... (X=x i -1)}= p1+...+p i-1.

Функция распределения любой дискретной СВ есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений.

 

 

 Непрерывная случайная величина (НСВ). Плотность вероятности

Вероятность попадания непрерывной случайной величины X на участок от x до x+x равна приращению функции распределения на этом участке:

P{x X <x+x}=F(x+x) - F(x).

Плотность вероятности на этом участке определяется отношением

            .    (28)

Плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке и обозначается f(x). График плотности распределения называется кривой распределения.

Пусть имеется точка x и прилегающий к ней отрезок dx. Вероятность попадания случайной величины X на этот интервал равна f(x)dx. Эта величина называется элементом вероятности.

Вероятность попадания случайной величины X на произвольный участок

[a, b[ равна сумме элементарных вероятностей на этом участке:

                                                                          (29)

Это соотношение позволяет выразить функцию распределения F(x) случайной величины X через ее плотность:

                                       (30)

В геометрической интерпретации F(x) равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и лежащей левее точки x.

Основные свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения неотрицательна: f(x) 0.

2. Условие нормировки:                                (31)

Пример 5.1. По одной и той же стартовой позиции противника производится пуск из пяти ракет, причем вероятность попадания в цель при каждом пуске одной ракеты равна 0,8. Построить ряд распределения числа попаданий.

Решение. Случайная величина X (число попаданий в цель) может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Найдем вероятность принятия величиной X этих значений, используя формулу Бернулли:

 ,

 ,

 ,

 ,

 ,

 .

Ряд распределения имеет вид:

 

x i	0	1	2	3	4	5
p i	0,00032	0,0064	0,0512	0,2048	0,4096	0,32768

Пример 5.2. Случайная величина X распределена по закону, определяемому плотностью вероятности вида

 

 

Найти константу c, функцию распределения F(x) и вычислить P{|x| < /4}.

Решение. Константу с вычислим исходя из условия нормировки:

 

,

откуда с = 0,5.

Так как плотность вероятности задана различными формулами на разных интервалах, то и функцию распределения будем искать для каждого интервала в отдельности.

Для x < -/2  ,

для -/2x/2  ,

для x > /2  .

 

Окончательно имеем

 

 

Вероятность P{|x| < /4}= .

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: