ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

 

Одна из основных характеристик СВ - математическое ожидание:

                                                (32)

Математическое ожидание характеризует среднее значение СВ и обладает следующими свойствами:

1. M[c] = c.

2. M[c X] = cM[X].

3. M[X+c] = M[X]+c.

4. M[X1+X2] = M[X1]+M[X2].

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, т.е. то значение, для которого вероятность p i (для дискретной СВ) или f(x) (для непрерывных СВ) достигают максимума. Обозначения: Mx, Mo.

Медианой случайной величины X называется такое ее значение, для которого выполняется условие P{X<Me} = P{X Me}. Медиана, как правило, существует только для непрерывных случайных величин.

Квантилью p случайной величины X является такое ее значение, для которого выполняется условие P{X<p} = F(p) = p.

Начальный момент s-го порядка СВ X есть математическое ожидание s-й степени этой случайной величины: s  = M[X s].

Центрированной случайной величиной называется отклонение СВ от математического ожидания:

, .

Моменты центрированной случайной величины - центральные моменты.Центральный момент порядка s СВ X есть математическое ожидание s-й степени центрированной случайной величины:

.

Для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен 0.

Дисперсия случайной величины есть математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины.

 

Расчетные формулы:

(33)

Вычислить дисперсию можно и через второй начальный момент:

 .

Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания и обладает следующими свойствами:

1. D[c] = 0.

2. D[X+c] = D[X].

3. D[c X] = c2×D[X].

[c X] = c[X].

Средним квадратическим отклонением (СКО) СВ X называется характеристика

                                           .                                    (34)

СКО измеряется в тех же физических единицах, что и СВ, и характеризует ширину диапазона значений СВ.

Правило 3 s . Практически все значения СВ находятся в интервале:

                                             [ m - 3s; m + 3s; ].                               (35)

Пример 6.1. Из партии численностью 25 изделий, среди которых имеется шесть нестандартных, случайным образом выбраны три изделия. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нестандартных изделий, содержащихся в выборке.

Решение. По условию задачи CB X принимает следующие значения: x1=0; x2=1; x3=2; x4=3. Вероятность того, что в этой выборке окажется ровно
i (i = 0, 1, 2, 3) нестандартных изделий, вычисляется по формуле

откуда                                  p1=0,41; p2=0,43; p3=0,11; p4=0,05.

Дисперсию определим по формулам

D[X] = M[X2] - (M[X])2,

M[X] = 0 0,41 + 1 0,43 + 2 0,11 + 3 0,05 = 0,8 ,

M[X2] = 0 0,41 + 1 0,43 + 22 0,11 + 32 0,05 = 1,32 ,

D[X] = 1,32 - (0,8)2 = 0,68.

Тогда .

Пример 6.2. Непрерывная CB распределена по закону Лапласа: .

Найти коэффициент b, математическое ожидание M[X], дисперсию D[X], среднее квадратическое отклонение [X].

Решение. Для нахождения коэффициента b воспользуемся свойством нормировки плотности распределения , откуда     b = 1/2. Так как функция  - нечетная, то , дисперсия D[X] и СКО  соответственно равны:

,

.

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: