Одне із дзеркал рухається із постійною швидкістю.

інформацію - закон спектрального розподілу функції , Розділ оптики, у якому використовується ця ідея, називається фур’є-спектроскопією, оскільки у основі методу лежить рівняння (4.33).

На рис. 4.11 показано (умовно) оптичну схему фур’є- спектрометра. Світловий потік від джерела 1, роздво- юючись на світлоподільнику 2 (напівпрозоре напів- відбиваюче дзеркало), попадає на два дзеркала 3, 4, а далі, пройшовши знову світлоподільник 2, збирається у площині 5, де і спостерігається ІК. Тридзеркальна сис- тема інтерферометра Майкельсона використовується тут для створення двох еквівалентних когерентних джерел світла, одне з яких рівномірно рухається завдя- ки переміщенню дзеркала 4 між крайніми точками 6,

7. центральне положення дзеркала 4 симетричне дзер- калу 3 (відносно подільника 2).

Зазвичай два когерентних джерела створюють сис- тему інтерференційних смуг, локалізованих на сфері досить великого радіусу, як показано на рис. 4.12. Вид ІК у довільному двопроменевому інтерферометрі залежить від взаємного розташування діючих когерентних джерел і площини спостереження. Якщо ця площина

нормальна до падаючих на неї хвиль, то на поверхні сфери у точці А маємо ІК у вигляді концентричних кіл, у точці Б – у вигляді паралельних смуг, у точці B – у вигляді парабол. Центральна світла смуга (Б) відповідає нульовій різниці ходу, полярна (А) – умові ,  При зменшенні відстані між джерелами ширина кожної смуги збільшується. При цьому всі смуги, розширюючись, зміщуються від екватора і зни- кають на полюсах. При суміщені джерел нульова смуга поширюється на весь простір поверхні сфери, світловий потік від джерел у будь-якому напрямку однаковий і максимальний. При рівномірному зростанні відстані між джерелами зі швидкістю v, навпаки, всі смуги стають вужчими, центральна кругла пляма у області А мигкотить внаслідок лінійної зміни з часом t різниці фаз взаємодіючих хвиль

Рис. 4.12. Геометрична форма інтерференційних смуг у залежності від взаємного розташування ек- рану спостереження та джерел 1, 2.

 

 

                                                               (4.34)

частота мерехтіння  залежить від довжини хвилі Якщо тепер у площині 5 встановити у центрі ІК широкодіапазонний – за довжинами хвиль – фотодетектор (перетворювач інтенсивність струм), він буде реєструвати сумарний електричний сигнал, суперпозицію гармонічних коливань, що відповіда-

ють       різним  довжинам  хвиль . Амплітуда цих

коливань визначається інтенсивністю світла на від- повідних довжинах хвиль, яке досягло детектора, а також спектральною чутливістю детектора. Тому, якщо до отриманої суми застосувати фур’є-перетворення, то одержуємо інформацію про спектральний склад випромінювання.

Таким чином, фур’є-спектрометр складається з дво- променевого інтерферометра, у якому змінюється відносне запізнення хвиль (у розглянутому випадку – за лінійним законом), фотореєстратора інтенсивності центральної плями ІК та комп’ютера, що виконує ПФ над записаною інтерферограмою досліджуваного джерела.

 

27. Основне  інтегральне рівняння   фур’є- спектроскопії

У ІЧ-спектроскопії традиційно під частотою (хви-

 льовим числом) розуміють величину  а не

як звичайно, і вимірюють її у одиницях см–1. Цепов’язано з тим, що число  занадто велике і не зручне для використання, у той час як  означає число довжин хвиль, які вміщуються на довжині 1 см. Друге зауваження – прямо використати теорему Віне-

ра-Хінчина разом з рівнянням, яке пов’язує видність і

функцію автокореляції (4.11)  для знаходження спектру неможливо, оскільки  , як правило, – функ-

ція знакозмінна, а у експерименті вимірюваний контраст завжди  Тому, вважаючи, що на рис. 4.1 (або рис. 4.11) точкове джерело випромінює поліхроматичне світло, представимо густину амплітуд хвиль, які добігли до площини  різними шляхами, у вигляді суми  , причому, окремі коливання у двох каналах представляємо аналітичним сигналом (з одностороннім спектром! ):

(4.36)          

Тут  – фаза коливань, – кругова частота -го чи

-го випромінювача,  - пробігають однакові значення, оскільки відносяться до одного і того ж випромінювача. Згідно теореми Релея, інтенсивність  у точці

(4.37)

Тут враховано, що незалежні випромінювачі мають

випадкові фази, тому подвійні суми, у яких , не дають внеску у інтенсивність у точці Р (точніше,

 

вклад у  менший, порівняно з членами ; практично його можна вважати нульовим, оскільки   – кількість незалежних випромінювачів).

Замінимо дискретний розподіл неперервним, а ка- нали вважаємо ідентичними 

            

Тоді, ввівши заміну  маємо

                         (4.38)

причому у випадку

                                                         (4.39)

тобто, (4.38) можна записати так

          (3.40)

або

               (3.41)

Рівняння  (4.42)   зручніше   на   практиці,    бо  

 яка визначається з досліду як  сере-днє значення інтенсивності у ІК, тобто, відпадає потреба визначати інтеграл (4.39), хоча при сучасних методах і темпах цифрових обчислень то не є проблемою.

 

Отже, задача полягає у тому, щоб у будь-якому двопроменевому інтерферометрі, змінюючи різницю ходу , зафіксувати на будь-який носій розподіл інтенсивності залежно від різниці ходу  Далі, виконавши косинусне ПФ за допомогою рівняння (4.42), отримуємо розподіл інтенсивності від частоти  - – спектр випромінювання.

Практична реалізація ідеї реєстрації спектру через інтерферограму має особливості.

1.    Рух дзеркала супроводжується механічними вібраціями конструкції, неконтрольованим погіршенням юстування інтерферометра, результуюча інтенсивність  виявляється       функцією   не   тільки спектрального складу джерела, а також і неконтро- льованої випадкової величини – якості юстування. Після інтегрування (4.42) ця хиба проявляється як а) зниження роздільної здатності, б) адитивний шум у спектрі, в) навіть поява фантомних ліній, яких на- справді не існує. Це стримувало поширення методів фур’є-спектроскопії на видиму та УФ-області.

2.    Не можна (чи не потрібно) змінювати різницю хо- ду у нескінченних межах, на практиці буває достатньо кількох сантиметрів, хоча є повідомлення про унікальні прилади для астрономічних задач з різ- ницею ходу до 10 м, що відповідає фантастичній роздільній здатності 0, 001 см–1.

3.    Теоретично з рівняння (4.42) отримуємо спектр випромінювання у необмеженій області, оскільки у (4.41) частота  може бути (чи мусить бути) довіль- ною. У дійсності ж будь-яке спотворення первинної функції  , не пов’язане з діючим спектром (наприклад, спектральна характеристика застосованої оптики та детектора, газова суміш у приладі, корект- ність механіки), обмежує реальну спектральну область інфрачервоним діапазоном.

 

 4.   Замість дзеркал використовуються спеціальні рет- ровідбивачі, які є нечутливими до незначних пере- косів, тремтіння (вібрації) механіки. Прийнятною з огляду на доступність реалізації є система з використанням адаптивних дзеркал. У цьому випадку шляхом використання стабілізуючого зворотного зв’язку вда- ється контролювати кутове положення дзеркала з високою точністю відтворення у процесі поступально- го руху вздовж координати z. Контроль самого

переміщення  z виконується за допомогою частотно

стабілізованого лазера, його промінь проходить тим же шляхом, що і досліджуване світло, виділяється спеціальним фільтром і попадає на додатковий приймач, який і є генератором сигналів дійсного, фактичного переміщення дзеркала. Лінія лазера при цьому може з’явитись в досліджуваному спектрі (рис. 4.4).

5.    Найприйнятнішим інтерферометром для цієї мети виявився інтерферометр Майкельсона.

6.    Останнім часом набувають поширення більш пер- спективні твердотільні конструкції фур’є-спектромет- рів без будь-яких рухомих деталей. Стаціонарна ІК утворюється двома уявними джерелами у інтерферометрі типу «біпризма Френеля», реєструється одночасно за допомогою світлочутливої матриці та практично миттєво передається у комп’ютер для виконання ПФ. У ординарних випадках спектр отримується через ча- стки секунди, у випадку слабких джерел час зростає за рахунок накопичення сигналу у ПЗЗ-матриці. Габаритно-масові характеристики таких приладів, зручність реєстрації і форма сигналу на виході не за- лишають ніяких шансів іншим системам реєстрації спектрів, особливо у космічних дослідженнях.

7.    У фур’є-спектрометрах (ФС) з рухомим дзеркалом відбувається одночасно реєстрація всіх ділянок спектра, проте для послідовного проходження всіх

значень  (від –l до +l, наприклад) необхідний час. У

 

твердотільному ФС реєстрація відбувається одночасно і для всіх       (оскільки   кожний       детектор    у матрич-ному наборі відповідає певному значенню  всі вони працюють одночасно і незалежно). Це та- кож дає значну кількість переваг, особливо у співвідношенні сигнал/шум.

8.    Вузьким місцем ФС (щоправда, це стосується будь- якої спектрометрії) залишається спектральна залежність чутливості фотодетектора – результуючий сигнал (спектр) одночасно пропорційний цій характеристиці, що необхідно враховувати при абсолютних спектральних вимірюваннях.

 

Аподизація

 

Під аподизацією, як правило, розуміють покра- щення апаратної функції.

Апаратна функція (АФ) – це реакція приладу на си- гнал у вигляді  -функції, є важливою характеристикою будь-якого спектрометра, у т. ч. і фур’є- спектрометра. Для визначення АФ фур’є-спектрометра подаємо на його вхід монохроматичний сигнал виду. Спектр цього сигналу:

             .            (4.43)

З іншого боку, за теоремою Вінера-Хінчина квад- рат модуля спектра визначається як

                                                    (4.44)

де

           (4.45)

 

Проте у реальному приладі неможливо забезпечити нескінченні межі затримки     при застосуванні рівняння (4.44), можливо забезпечити у межах від до  -  максимальне переміщення дзеркала (рис. 4.11). Тоді:

      (4.46)

Вираз (4.46) є імпульсним відгуком або АФ фур’є-спектрометра. Ширина цієї функції визначена з умови (див. рис. 4.11)

                                                (4.47)

тобто,

      (рад ),                    (4.48)

Якщо виразити ширину АФ у см–1, то маємо 

                               (см )                               (4.48)

Навіть при = 1 см маємо = 1 см , що у види- мій області (500 нм) складає 0, 025 нм, а у області 5 мкм відповідно 2, 5 нм, що цілком пристойно для багатьох практичних потреб. Аподизація. Квадратичний детектор реагує на наявність енергії, тому   результуюча зареєстрована функція є квадрат модуля спектра  У ряді випадків це незручно: відгук на малий сигнал у околі потужного може сприйматися як пелюсток АФ цього потужного сигналу, інакше кажучи, загубитися у схожих зовні вторинних сплесках відгуку на потуж- ний сигнал. Аналіз показує, що пелюстковість результату ПФ з’являється тоді, коли під інтегралом (4.46) знаходиться функція, яка різко змінюється. У оптиці саме такі задачі є типовими, оскільки світлові потоки обмежуються екранами, діафрагмами, зреш- тою, оправами, які автоматично вмонтовують функцію Хевісайда (функцію включення) у будь-який

 

Рис. 4.13. Вигляд аподизуючих функцій:

 (крива 1);  (2)  (3).

 

сигнал. Навіть саме увімкнення-вимкнення реєстрації означає наявність двох функцій Хевісайда!

Вихід було знайдено у тому, щоб ПФ виконувати не у межах «прямокутного вікна»  а з поступовим затуханням на границях діапазону, штучно ввівши під інтеграл відповідну вагову функцію. Приклади таких функцій наведено на рис. 4.13. Для абсолютно моно- хроматичного сигналу з функцією включення типу 1 отримаємо розподіл енергії у спектрі

       (4.50)

Де

   (4.51)

             (4.52)

             (4.52)

Тут використано табличне значення інтегралу  Таким чином,

         (4.53)

Порівняємо розподіл енергії у спектрі (4.53), отри- маний з використанням аподизації із неаподизованим випадком (4.51): енергія зменшилась вдвічі, хід функ- ції більш плавний, хоча вона формально вдвічі ширша. У цьому випадку говорять про напівширину АФ, ма- ється на увазі ширина функції на половині її максимального значення, тому теоретично вона зрос- тає лише на 48 %. При використанні більш «лагідної» аподизуючої функції виду  напівширина зростає на 58 %, а із функцією  лише на 31 % (проявляється, все ж таки, незначна різкість включення). Крім того, значно зменшуються вторинні пелюстки АФ, у наведеному випадку перший з них майже у 5 разів, другий – майже у 8 (рис. 4.14).

 

29.  Граничні можливості фур’є-спектроскопії

 

Фур’є-спектроскопія – розділ спектроскопії, але, разом з тим, самостійна оригінальна відносно молода перспективна наука зі своїми теоретичними, інструментальними і практичними засадами, проте також і з традиціями. Є ряд особливостей, на яких варто зупинитися. Для будь-якого спектрометра ключовими є питання про світлосилу та роздільну здатність.

Виграш Жакіно полягає у тому, що інтенсивність світла реєструється у області максимуму центральної плями ІК (на противагу спектрометрам з призмою, де реєструється світло, що пройшло крізь дві вузькі щілини). Скористаємось моделлю інтерферометра, у якому уявні джерела знаходяться на нескінчен-

Рис. 4.14. Спектр функції G( ) (1) та спектральна залежність реакції детектора на монохроматичну лінію частоти  0:

2 - без аподизації; 3 - з аподизацією типу (1– | |/T).

 

ності і на відстані  одне від одного (рис. 4.15). У площині реєстрації хвилі майже плоскі, тому ІК спо- стерігається у фокальній площині об’єктива Об. Як видно із рис. 4.15

 

                                                          (4.54)

 

де порядок інтерференційного максимуму  відповідає центру ІК, а  – деякій ближній периферії ІК. Фотодетектор Ф використовуємо з такою площадкою  яка точно дорівнює розміру центрального світло-

Рис. 4.15. Реєстрація світлового потоку у фур’є- спектрометрі у межах центральної світлової плями.

 

го кільця , тобто, діаметр  відповідає діаметру першого   темного кільця). Тоді з (4.54) маємо  або

                                     ,                       (4.55)

де  саме відповідає випадку . З іншого бо ку, якщо ІК сформована об’єктивом з фокальною відстанню , то з центра об’єктива площадку  но під тілесним кутом ви

                                (4.56)

Роздільна здатність будь-якого інтерферометра R залежить від числа променів N та максимального порядку  і представляється із врахуванням (4.55), (4.56) формулою , тобто

                                          .                            (4.57)

Звичайно, формула (4.57) вказує на теоретичну те- нденцію, на практиці слід враховувати розмір джерела, залежність геометрії ІК від перебігу поряд- ків, проте реальний виграш, у порівнянні з призмовим приладом складає кілька десятків разів. Виграш Фелжета. Послідовний запис спектру традиційною апаратурою відбувається наступним чином. Якщо роздільну здатність приладу позначити ,  то увесь цікавий нам діапазон спектру  розпадається на   каналів, причому . Використовувати більш, ніж  каналів немає сенсу, – роздільна здатність при цьому не покращується. Якщо ж кіль- кість каналів менше , то роздільна здатність буде гіршою, а це означає погіршення інформативності запису. Повна інтенсивність джерела у діапазоні   є

                                      

де   – інтенсивність у межах одного каналу, заради простоти вважаємо, що скрізь однакова. Якщо рівень шумів  у системі реєстрації носить нормальний ха-

 

 

рактер, тобто,  то то при такій послідовній реєстрації кінцеве значення дуже важливого параметра сигнал/шум має вигляд

                                                           (4.58)

При реєстрації того ж діапазону   за допомогою фур’є-спектрометра всі   компонентів  реєструються одночасно у межах центрального інтерференційного максимуму:

                                                                            (4.59)

рівень шуму дорівнює відповідно

                                                                         (4.60)

а відношення типу (4.58)

                                                                        (4.61)

Із порівняння формул (4.58) та (4.61) видно, що фур’є-спектрометр має переваги перед традиційними щілинними спектральними приладами у характерис- тиці сигнал/шум у сотні-тисячі разів, оскільки реально . Ця перевага носить назву ви- граш Фелжета і особливо важлива при реєстрації світла слабких джерел, наприклад, у астрономії.

 

Просторова когерентність

 

Розміри джерела і просторова когерентність. Єди- ним критерієм відносно ступеня когерентності (у тому числі просторової) є контраст ІК. Скористаємось цим для визначення прийнятних розмірів джерела, при яких хвилі від цього джерела у області спостереження є когерентними. Звернемось до класичного досліду Т. Юнга. На рис. 4.16 точкове джерело монохромати- чного світла (довжина хвилі  ) знаходиться у площині А над оптичною віссю на висоті – відстані

 

Рис. 4.16. Схема класичного досліду Юнга.

між площинами  . У площині  є два дуже малі отвори (це можуть бути і вузькі щілини), розташовані симетрично відносно оптичної осі на відстані   від неї. У результаті дифракції світла на цих отворах екран   є одночасно освітленим двома когерентними джерелами, тому на ньому повинна спостеріггатись ІК. Визначимо -координату -ї яскравої смуги. Для цього спочатку знайдемо різницю ходу, яку мають хвилі, що пройшли до точки спостереження першим  

 та другим  шляхами. Із відповідних прямокутних трикутників, один з катетів яких зображено штриховою лінією, запишемо:

Вважаючи, що , знайдемо повну різницю ходу

                            ,   

звідки положення m-ої смуги визначається:

                                                                      (4.62)

Відстань між -ою смугою та :

 

 

 (4.63)

Видно, що ширина смуги залежить від відстані між щілинами h та відстані  між екранами  та . Якщо у площині розмістити ще одне джерело, координата якого то його ІК у площині  зміститься до рівня  Очевидно, вигляд результуючої ІК від двох джерел залежить від взаємного розташування смуг: ІК зникне повністю, якщо зміщення  При обидві ІК просто накладаються одна на одну, хоча вони утворені різними взаємно некогерентними джерелами. При зміщенні  ІК ще має певний контраст, у цьому випадку, за домовленістю, можна вважати, що два джерела створюють у області двох щілин когерентне поле, оскільки у подальшому воно спроможне створити ІК у площині С. Отже, при наявності ІК у схемі рис. 4.16 можна стверджувати, що розмір джерела складає приблизно  при великій відстані a його кутовий розмір буде порядку величини

                                                                  (4.64)

Оскільки не існує принципових обмежень для збіль-шення , можна скористатися цією ідеєю для вимірювання кутових розмірів досить віддалених об’єктів. Хвильова поверхня точкового монохроматичного джерела є сферою. Рівновіддалені від джерела точки знаходяться у однаковому коливальному стані, яке визначається фазою коливання у джерелі і запізненням за рахунок відстані  . Якщо джерело збільшити до розмірів  чи  , ситуація практично не зміниться, тобто, фаза результуючого коливання у то- чках спостереження, які знаходяться на тій же сфері, буде відрізнятися від такої у місці вимірювання одним і тим же множником  з помилкою, яка не перевищує  або  відповідно. Тому ми можемо прийняти, що квазіточкове джерело склада-

 

ється із багатьох однотипних елементарних випро- мінювачів, відстань між якими не перевищує .  Очевидно також, що при подальшому збільшенні розмірів джерела не можна напевне щось стверджу- вати відносно фазових співвідношень коливань на всій раніше побудованій сфері, можна лише допускати, що у дуже близьких точках на сфері фази коливань все ж можуть виявитися пов’язаними (саме внаслідок тісного сусідства точок).

Все сказане легко узагальнюється на випадок джерела, яке має елементарні випромінювачі немонохроматичних хвиль, для цього достатньо спектральну ділянку розбити на такі вузькі діапазони, щоб у кожному з них довжина когерентності була б більшою за радіус сфери .

 

30.1. Теорема ван Ціттерта-Церніке1

 

Розглянемо поле у точках 1 і 2 площини  (рис. 4.17), яке створюється елементарним випромінювачем  джерела S  у площині , яка розташована на відстані R від першої.

                             (4.65)

- напруженість поля на одиничній відстані від джерела , - – віддаленості точок спостереження від вказаного елементарного випромінювача. Щоб знайти у цих точках сумарне поле від всього джерела, яке знаходиться у площині , треба скласти всі елементарні вклади:

 

            (4.66)

Знайдемо взаємну кореляцію полів  у т. 1 і 2 при нульовій затримці :

(4.67)

Оскільки фази коливань елементарних випромінювачів розподілені за випадковим законом, при усередненні всі члени суми із випадковими фазами типу  дають нуль, ненульовий вклад у функцію кореляції забезпечують лише члени, де  тобто

                   (4.68)

Додавання нескінченного числа  елементів за- мінюємо інтегруванням по площині випромінювання , пам’ятаючи що

              (4.67)

Отже, коефіцієнт взаємної кореляції дорівнює

(4.68)

Із рис. 4.17 видно, що, знаючи координати початку 

 та кінця  відрізків  відповідно. можемо записати

 

Звідки, вважаючи, що знаходимо

                                            (4.71)

Поклавши  одержуємо:

 

                   (4.72)

Де  – кути, під якими видно джерело із точки спостереження . Тобто, інтегрування ведеться

Рис. 4.17. Утворення поля у точках 1, 2 від джерела S.

 

за кутовими координатами. Останній вираз за формою є нормований фур’є-образ  кутової яскравості джерела:

                                             (4.73)

причому змінні  відіграють роль просторових (кутових) частот і вимірюються у кутовій мірі. Таким чином, кутова світимість віддаленого джерела і функція просторової когерентності пов’язані між собою перетворенням Фур’є – цe твердження і є

змістом теореми ван Ціттерта-Церніке, сформульова- ної в 30-х роках минулого століття.

30.2. Зірковий інтерферометр

Ще Г. Фізо (Hippolyte Fizeau; 1819–1896) висловив припущення, що контраст інтерференційних смуг можна використовувати для визначення просторових характеристик джерела. Однак лише А. Майкельсон (Albert Abraham Michelson 1852–1931) довів цю ідею до досконалості. Навряд чи варто доводити, наскіль- ки важливим для науки є уміння визначати розміри зірок. Між тим інструменти, які традиційно викорис- товуються для оптичного спостереження, такої можливості не дають: кутові розміри зірок (окрім Бе- тельгейзе) менші, ніж кутова роздільна здатність найкращих телескопів світу.

У 1920 році А. Майкельсон запропонував і реалізу- вав ідею – визначати розміри зірок через функцію когерентності. Якщо на апертурі телескопу (рис. 4.18) встановити дві діафрагми (отвори) 1, 2 на відстані x одна від одної і спрямувати телескоп 3 на зірку, то отримане раніше зображення зірки у фокальній пло- щині об’єктива телескопу тепер виглядатиме значно ширшим (через обмеження пучків) і смугастим (5). Дійсно, отвори освітлюються просторово когерентним джерелом (розмір області когерентності випроміню- вання у     місцерозташуванні телескопа  перевищує відстань x ), отже, повинні бути інтерференційні сму- ги, як у інтерферометрі Релея чи Юнга. З іншого боку, паралельний світловий потік повинен, пройшо- вши об’єктив, зібратися у фокальній площині F      у вигляді кружка розсіяння Ейрі (якщо отвори круглі). Цей круг і спостерігається, але завдяки інтерференції він пересічений смугами. Контраст картини у області нульової смуги (що відповідає нульовій різниці ходу)

 

Рис. 4.18. Утворення зображення зірки у телескопі з двома вхідними щілинами в монохроматичному світлі. 1, 2 – щілини, 3 – об’єктив телескопу, 4 – розподіл інтенсив- ності при повністю некогерентному випромінюванні, 5 – зображення зірки при наявності кореляції в точках 1, 2, 6 – огинаюча інтерференційної картини.

визначається ступенем когерентності хвиль , які проходять у телескоп через діафрагми 1 і 2. На рис. 4.18 зображено випадок 100%-го контрасту у монохроматичному світлі, однак по мірі зростання x контраст смуг повинен зменшуватися.

Вважатимемо для простоти, що далеке   джерело  монохроматичного світла у площині  є квадрат зі стороною . Його фур’є-образ, наприклад, вздовж координати

                                                   (4.74)

Тут - – відстань до джерела (рис. 4.17). Змінюючи  , вимірюють контраст ІК   і отримують залежність, яка має вигляд як на рис. 4.19 (пунктирна крива). Очевидно, за визначенням  тоді як функція змінює знак у точках Із даних  легко відтворити функцію

 

Рис. 4.19. Залежність видності V та кореляції

12345678Следующая ⇒

Поделиться: