Базиси у просторі комплексних функцій

Якщо сукупність комплексних функцій заданих на множині дійсних чисел на проміжку , задовольняє умовам

(Д1.1)

то такі функції називаються ортогональними, а умова (Д1.1) - умовою взаємної ортогональності функцій. Функції називаються базисом або базисними функціями, причому простір , як правило, не- скінченний в обох напрямках числової осі. Набір функцій можна використати як базис для представлення довільної функції , яка існує у цьому ж просторі x. Її можна однозначно представи ти лінійною комбінацією функцій Під простором можна розуміти час або Декартів про- стір . Наприклад, положення точки у просторі однозначно задається розкладом радіус-вектора точ ки в одиничних векторах декартових осей (ортах), проте в чотиривимірному просторі даного базису уже недостатньо.

Розклад у базисі функціонального простору значно спрощує аналіз функції , звівши його до аналізу поведінки функцій базису, які, будучи взятими з пев- ними ваговими коефіцієнтами, і формують функцію . Функція , яка розкладається в ряд (або інтеграл) Фур’є, взагалі кажучи, може бути розкладена і за іншим набором базисних функцій що задовольняють умову ортогональності (Д1.1). Якщо існує

дві системи ортонормованих функцiй i (два базиси), то розкладання функції може бути виконане за будь-якою із них, причому, між коефіцієнтами , цих розкладів можна віднайти зв’язок, використавши рівняння

(Д1.2)

Помножимо почленно рiвнiсть (Д1.2) на комплексно спряжену

i проінтегруємо на проміжку існування базису:

(Д1.3)

Отже, при відомих коефіцієнтах розкладу Аm функцiї у одному із базисів (базисі 1) коефіцієнти її розкладу в іншому базисі (базисі 2) визначаються за допомогою матриці коефіцієнтів переходу від базису 1 до базису 2.

Перетворення Гільберта

Інтегральна операція

(Д2.1)

називається перетворенням Гільберта. При підінтегральний вираз прямує в нескінченність, тому інтеграл слід розуміти як межу:

Зазначимо, що справедливе і обернене перетворення:

(Д2.2)

Уявна частина називається спряженим сигналом. Таким чином, аналітичний сигнал, який відповідає заданому дійсному, одержується простим додаванням спряженого сигналу (Д2.1) до дійсного, тобто, його можна отримувати не лише за правилом (1.118), але і використовуючи спряжений сигнал (Д2.1). Як уже зазначалось, його зміст наочно демонструється на прикладі гармонічних коливань. Приклад. Нехай є дійсне коливання На Рис. Д2.1. рис. Д2.1. значення відкладаємо вздовж осі . Знаходимо спряжений сиг- нал, виконуючи перетворення Гільберта:

(Д2.3)

Тут використана заміна , а також значення інтегралів і . Величину відкладаємо вздовж осі . Таким чином, аналітичний сигнал є вектор , який обертається проти годинникової стрілки із кутовою швидкістю

(Д2.4)

що можна визначити також із рис. Д2.1. Нехай , знайдемо спряжений сигнал . Для цього скористаємося отриманим результатом (Д2.3). Дійсному сигналу у відповідності із (Д2.3) повинен відпо-відати спряжений сигнал

(Д2.5)

Аналітичний сигнал при цьому має вигляд:

(Д2.6)

йому відповідає вектор A, що обертається в комплексній площині за годинниковою стрілкою із швидкістю , і відстає по фазі на відносно значення кута . При конструюванні аналітичного сигналу в цьому випадку відбулось занулення області від'ємних частот із всього спектру дійсного сигналу.

В обох розглянутих випадках спряжений сигнал дорівнює по модулю дійсному сигналу і відстає по фазі на 90 . Цей результат може бути отриманий безпосередньо застосуванням перетворень Гільберта до функції

Одержаний аналітичний сигнал репрезентується, як і раніше, вектором довжини | A |, що обертається в комплексній площині з частотою . Тому є проекція вектора A на дійсну вісь, а є проекцією того ж вектора на уявну вісь. Проекції мають рівні амплітуди, обертаються з однаковою швидкістю з відносною різницею фаз .

Визначимо спектральну функцію спряженого і комплексного коливань. Хоч відповідь нам по суті уже відома, її корисно отримати, використавши перетворення Гільберта.

За визначенням фур'є-образу

(Д2.7)

Введемо нову змінну змінимо порядок інтегрування:

(Д2.8)

На рис. Д2.2. показано хід функцій і раховуючи асиметрію першої функції, зазначимо, що інтеграл від неї в симетричних межах дорівнює нулю, інтеграл від другої дорівнює та для випадків i відповідно. Оскільки

Рис. Д2.2. Хід функцій та

перший інтеграл є фур'є-образ, то

(Д2.9)

Для спектру комплексного сигналу маємо у кінцевому підсумку

(Д2.10)

Останнє співвідношення цікаве тим, що дозволяє одержати комплексний сигнал, застосовуючи ПФ, якщо відомий спектр дійсного сигналу.

3. Фазоконтрастний мікроскоп

Роботу ФКМ, використовуючи метод зон Френеля, можна пояснити наступним чином. Нехай світло паралельним пучком S падає на однорідне середовище із обмеженою апертурою A, на якому є мала, майже точкова флуктуація показника заломлення, показана на пластинці у вигляді малої області B. Плоска хвиля S, дійшовши до області B, частково дифрагує у вигляді сферичної хвилі C. Таким чином, у деяку віддалену точку D, розташовану на осі, дійдуть дві хвилі: сферична хвиля C′, яка отримає запізнення по фазі завдяки пробігу відстані BD, та плоска S, яка у точці D створює збудження S′ лише половиною центральної зони Френеля, причому фаза його відстає від фази центральної зони (або, що те ж саме, від фази сферичної хвилі С) на кут 2 α = π /2 (рис. Д3.1). Природньо, зони Френеля ми розташовуємо у площині А. Хоч хвилі C′ , S′ когерентні і повинні створювати інтерференційну картину, результуюча інтенсивність

(Д3.1)

дорівнює простій сумі інтенсивностей інтерферуючих хвиль, оскільки α = π /2. Очевидне співвідношення між інтенсивностями двох хвиль: .

Поставимо на оптичній осі лінзу L так, щоб у спряженій з A площині E отримати зображення B′ то-чки B (рис. Д3.2). Освітленість екрана E у довільній точці x утворюється двома когерентними хвилями – C′ , що дифрагувала на об’єкті B, та залишками прямої хвилі S′ , яка пройшла по всій площі A (крім малої області B) і не брала участі у дифракції на об’єкті B. Розподіл інтенсивностей цих хвиль умовно зображено на рис. Д3.2. Очевидно, знову отримуємо рівномірно освітлене поле на екрані E, тобто, у будь-якій точці x результуюча інтенсивність складається з суми двох

Рис. Д3.1. Падаюча плоска хвиля S та розсіяна на

об’єкті B сферична хвиля C; D – точка на осі, в яку

приходять обидві хвилі (а). Співвідношення між фаза-

ми кожної із хвиль у віддаленій точці D (б).

Рис. Д3.2. Утворення зображення в ФКМ.

ль у цій точці x. Звернувшись до формули (Д3.1), мусимо констатувати: у будь-якій точці екрану E різниця фаз інтерферуючих хвиль строго дорівнює π /2 (хоча сама фаза плоскої хвилі змінюється квадратично при віддалені точки x від центра до периферії).

Другий суттєвий момент явища – інтерференція когерентних хвиль відбувається в спільній області перекриття цих хвиль. Цей очевидний факт зводить нанівець існуючі популярні пояснення роботи ФКМ. З тих пояснень виходить, що в ФКМ видима картина являє собою амплітудну модуляцію, яка однозначно пропорційна фазовій, однак це не так Очевидно, щоб суттєво змінити розподіл інтенсив ності на екрані E в області точки B′, зробити її зримою, треба в рівнянні (Д3.1) довести різницю фаз до 0° або 180° - це і досягається встановленням у фокальній площині F, де збирається вся хвиля S, тонкої фазової пластинки, яка створює відповідне запізнення хвилі S′ на π /2 або на 3π /2. Додатковий виграш в контрасті буде, якщо приблизно вирівняти інтенсивності інтерферуючих полів. Практично для цього потрібно ослабити хвилю S′ , тобто, фільтр в площині F мусить бути амплітудно-фазовим. 302 Розглянемо приклад. На пластинці A (рис. Д3.2) міститься тонкий шар рідини – пляма діаметром λ і товщиною λ /10. В полі E мікроскопа при цьому буде видно світле кільце на сірому фоні. Збільшимо діаметр плями до 10λ (100 λ , 1000 λ ) при незмінній товщині λ /10. В полі зору ФКМ будемо бачити на сі рому тлі світле кільце діаметром 10 λ (100 λ , 1000 λ ), причому в середині кільця таке ж сіре тло, як і ззовні його. Це означає, що у ФКМ спостерігається не сама функція ϕ, а її похідна ϕ /dxd. Вказаний ефект з очевидністю спостерігається на всіх фотографіях, починаючи з перших наукових повідомлень Ф. Церніке (рис. Д3.3). Зображення в ФКМ виглядає більш складно, оскільки має місце невідповідність обраної моделі (точкова неоднорідність) і реального просторового об’єкту. Проте висновки, отримані в даній моделі, є правильними – сигнал на виході пропорційний похідній від сигналу на вході.

Рис. Д.3. Фотографія зображення в ФКМ [14].

4. Скануючий інтерферометр Фабрі-Перо:

інтерференція різночастотних коливань

Інтерферометр Фабрі-Перо (ІФП) використовується як спектральний прилад високої роздільної здатності з фотографуванням (наприклад, рис. Д4.1) або фотоелектричною реєстрацією спектру. Фотоелектрична реєстрація має безсумнівні переваги: окрім чисто технічних зручностей з’являється можливість дослідження спектру, який змінюється в часі. Оптичну схему для цього випадку зображено на рис. Д4.2. Світло від досліджуваного джерела Σ за допомогою лінзи Л1 формується у систему паралельних пучків, які, пройшовши дзеркальну систему ІФП (1, 2) та камерний об’єктив Л2, в площині Д створюють картину кілець, радіус яких в межах робочого діапазону однозначно пов’язаний з довжиною хвилі у

спектрі. Товщина L еталону 3 може змінюватись в межах (1 – 2)λ за допомогою п’єзокерамічного рушія 3. З усієї інтерференційної картини (ІК) в площині Д реєструється через досить малий отвір центральна частина її, світло з центрального порядку інтерференції попадає на ФЕП, сигнал якого у найпростішому випадку подається на вертикальний канал осцилографа або через аналого-цифровий перетворювач (АЦП) заноситься в пам’ять комп’ютера.

Рис. Д4.2. Формування зображення у ІФП.

Залежність результуючого розподілу спектру випромінювання від координат та товщини L еталону 3 після ІФП, як відомо, дається формулою Ейрі. Отримати висновки щодо результуючого спектрального розподілу випромінювання після скануючого ІФП можливо, використовуючи два підходи: 1) кожному значенню L відповідає певна довжина хвилі, яка і реєструється детектором ФЕП: неперервний рухомий процес замінюється дискретними квазістаціонарними положеннями дзеркал; λ

2) незначну зміну відстані L виражають через швид кість руху дзеркала; причому частота випромінювання ω ₀ при відбиванні від рухомого дзеркала змінюється на деяку величину Ω (допплерівське зміщення частоти). В цьому випадку маємо одну незалежну змінну, отримуємо спектральний розподіл випромінювання в центрі ІК залежно від часу.

На рис. Д4.3. показано послідовне відбивання хвилі у паралельних одне одному дзеркалах М₁ та М₂, у результаті чого утворюється система джерел плоских хвиль, їхня швидкість і напрям руху позначені для відповідних площин цифрами 1, 2, 3...7. Хвиля 2, наприклад, існує як відбиття хвилі 1 в дзеркалі М₂, а хвиля 3 – як відбиття хвилі 2 в дзеркалі М₁.

Вважаємо, що уявне джерело 1 (первинна хвиля) протягом часу t випромінює в напрямку осі z плоску електромагнітну хвилю, амплітуда якої дорівнює U₀частота ω ₀, k = π /2 λ , λ – довжина хвилі:

(Д4.1)

Щоразу після відбивання від рухомого дзеркала та подвійного проходу відстані між дзеркалами характеристики відповідної хвилі змінюються, причому врахувати ці зміни можливо двома способами. Розглянемо традиційний підхід отримання формули Ейрі. Хвиля у положенні 1 (z = 0) має вигляд:

(Д4.2)

наступних відповідних площинах хвилю можна описати такими виразами (швидкість дзеркала υ ):

(Д4.3)

Вираз для сумарної хвилі, що рухається зліва направо у порожнині між дзеркалами,

(Д4.4)

Рис. Д4.3. Врахування ефекту Допплера у скануючо-

му інтерферометрі Фабрі-Перо. М₁ і М₂ – нерухоме та

рухоме дзеркало відповідно, v – швидкість руху дзер-

кала, L – відстань між дзеркалами, цифрами 2, 3…7

показано послідовні положення хвиль U₂, U₃…;

фігурними дужками (I - V) показано послідовність

утворення уявних хвиль (2, 3…7).

є геометричною прогресією, знаменник якої Тому

(Д4.5)

а результуюча інтенсивність хвилі

(Д4.6)

Це відома формула Ейрі. Максимальна інтенсивність спостерігається при виконанні умови (m =,...2, 1, 0 )

(Д4.7)

обто, маємо однозначний зв’язок між довжиною хвилі і появою відповідного їй максимуму інтенсивності у певний момент часу.

епер знайдемо вираз для спектрального розподілусумарної інтенсивності хвиль, про які відомо, що кожна наступна відрізняється від попередньої на однаковий частотний інтервал (допплерівське зміщення частоти). Хвиля у положенні 1 задана формулою Д4.2, у наступних послідовних положеннях 3, 5, 7… хвилі описуються виразами:

(Д.4.8)

Комплексні амплітуди хвиль (Д4.8) утворюють геометричну прогресію, знаменник якої

(Д4.9)

тому їхня сума визначається за формулою:

(Д4.10)

а інтенсивність I(t) центральної моди інтерферометра – за формулою

( Д4.11)

Вона також змінюється у часі, оскільки величина φ є функцією часу. Максимум інтенсивності з’являється при виконанні умови

( Д4.12)

Оскільки формули (Д4.7) і (Д4.12) описують одне і те ж явище, прирівнюючи почленно їхні ліві і праві частини, отримуємо вираз для допплерівського зміщення частоти

(Д4.13)

де υ - швидкість руху дзеркала. Поява світла із довжиною хвилі λ ₁ однозначно відбудеться у момент часу t₁, а із λ ₂ - відповідно у момент t₂.

У реальних конструкціях скануючого ІФП еталон 3 (рис. Д4.2) виготовлений із п’єзоелектричного матеріалу, затискається між дзеркалами 1 та 2, на нього 308 подається пилкоподібна напруга розгортки осцилографа, завдяки чому товщина L періодично змінюється лінійно у часі з амплітудою 1 – 2 мкм. Цього досить для огляду спектру в області m-го порядку робочого інтервалу ІФП. Спектр можна спостерігати візуально в реальному часі, якщо сигнал ФЕП подати на вертикальні пластини того ж осцилографа. На рис. Д4.4 наведено приклад дослідження за допомогою скануючого ІФП частот мод гелійнеонового лазера одночасно в двох ортогональних поляризаціях П1 та П2. Реєстрування інтенсивності мод

Рис. Д4.4. Генерація двомодового гелій-неонового

лазера. ν – частота прозорості ІФП, вздовж вертикаль-

ної осі – сигнал ФЕП. Парними та непарними цифрами

позначено моди, які генеруються у відповідних

ортогональних поляризаціях П1 та П2.

проводилось за допомогою двох ФЕП окремо у кожній з поляризацій. Положення мод у межах контуру підсилення лазера змінюється внаслідок теплового видовження резонатора. Показано результат сканувань тривалістю 1 сек, повторюваних протягом 800 сек., ν – частота прозорості ІФП, вздовж вертикальної осі – сигнал ФЕП. П1 та П2 – площини поляризації взаємно ортогональних мод. Цифрами позначено номер моди, яка генерується.

Подібний контроль за частотою лазера протягом тривалого часу може давати досить корисну інформацію. Наприклад, видно, як мода 2, пройшовши контуром підсилення, зникає на його низькочастотному краю, натомість на високочастотному краю виникає мода 4, проте, не дійшовши до низькочастотного краю, зникає у центрі контуру підсилення; одночасно виникає мода 4′ у іншій поляризації. У той же момент мода 5 також змінює площину поляризації на ортогональну. Повна вихідна енергія лазера при цьому майже не змінюється, видно, як вона перерозподіляється між модами. Отже, за досить складною динамікою генерації лазера можна прослідкувати, лише досліджуючи поведінку спектра, який, виявляється, не такий вже й стабільний. Наприклад, через видовження резонатора спектр генерації реагує на невелику зміну температури в приміщенні. У такому випадку утримувати частоту лазера в заданих межах дозволяє використання від’ємного зворотного зв’язку (рис. Д4.5). Таким чином, на основі використання відомого явища – різночастотної інтерференції – ми отримали відому формулу Ейрі, що дозволяє поглянути під новим кутом зору на процеси, які відбуваються у ІФП. Наведені ілюстрації використання ІФП для дослідження випромінювання двомодового гелійнеонового лазера показують динаміку поведінки мод у резонаторі і можливості її візуалізації.

Рис. Д4.5. Запис протягом 130 с

випромінювання лазера, стабілізованого за частотою.

ν – частота випромінювання; вздовж вертикальної осі

– інтенсивність випромінювання (в.о.).

У позиціях 0 - 10, 50 - 130 система стабілізації працює,

10 - 25 – система стабілізації вимкнена, 25 - 50 – процес

захоплення частоти при вмиканні зворотного зв’язку.

5. Деякі математичні співвідношення

Тригонометричні рівності:

Формули Ейлера

Ряд Тейлора

де f(x) - дійсна функція, що в інтервалі a ≤ x ≤ b має n -ту похідну

Розклад деяких функцій у ряд Тейлора

Параксіальне наближення

Комплексне представлення числа

Виділення повного квадрата

Інтеграл [22, C.116]

Інтеграл Пуассона [22, C.200]

Інтеграл у комплексній області вздовж контуру С, згідно теореми про лишки, дорівнює:

однозначна аналітична функція в області, об меженій контуром C, за винятком особливих точок zk. Зокрема, якщо особлива точка z≈ z_k є простим полюсом, а функція де та -аналітичні в точці z_k функції, причому , то